Рабочая программа учебной дисциплины ен. Р «Функциональный анализ»

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА

учебной дисциплины

( шифр и наименование дисциплины по рабочему учебному плану ООП)

( шифр и название специальности)

Составитель(и) / разработчик(и) программы

(Ф.И.О., должность и степень)

Новокузнецк

*Указания о контроле на момент переутверждения программы		Сведения об учебниках			Соответствие ГОС (для федеральных дисциплин) или соответствия требованиям ООП (для региональных и вузовских) - указание на недостаточно отраженные в учебнике разделы	Количество экземпляров в библиотеке на момент переутверждения программы
Дата	Внесение, продление или исключение / Подпись отв. за метод работу	Наименование, гриф	Автор	Год издания
1	2	3	4	5	6	7
	Внесение	1. Функциональный анализ : Учебник. - 3-е изд., испр. - М. : Физматлит, 2002. - 488с. - Гриф МО "Рекомендовано". 2. Задачи и упражнения по функциональному анализу : Учебное пособие для вузов - 2-е изд., испр. и доп. - М. : Физматлит, 2002. - 240с. - Гриф МО "Рекомендовано".	Треногин В.А. Треногин В.А.	2002 2002	Соответствует Соответствует	35 35

Содержание

1.1 Пояснительная записка 4

1.2 Учебно – тематический план 5

1.3 Содержание курса 6

1.4 Требования к уровню освоения программы .8

1.5 Учебно – методическое обеспечение дисциплины……..……..……………10

1.5.1 Основная и дополнительная учебная литература…………………….10

1.5.2 Методические рекомендации для преподавателей………………….. 11

1.5.3 Методические указания студентам ……………………………………12

1.5.3.1 Общие указания (пояснительная записка)………………..............12

1.5.3.2 Темы семинарских занятий 15

1.5.3.3 Указания по выполнению самостоятельных работ 16

1.5.3.4 Указания по оформлению работ 22

1.6 Формы текущего, промежуточного и итогового контроля 23

1.7 Организация самостоятельной работы студентов 24

2 Тематика и перечень контрольных (самостоятельных) работ, заданий и задач 25

3 Тесты для промежуточного контроля знаний 34

4 вопросы и задачи для экзамена…………………………………. 65

5 Глоссарий 73

1.1 Пояснительная записка
Дисциплина «Функциональный анализ» для студентов специальности 010501 «Прикладная математика и информатика» входит в состав Государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования (ГОС ВПО). Ее место – в ряду общих математических и естественнонаучных дисциплин федерального компонента учебного плана. Она является составной частью общей цели ООП – подготовить высококвалифицированных специалистов – математиков для работы в отраслях народного хозяйства, научных и учебных заведениях соответствующего профиля.

Цель курса – дать студентам базовые понятия функционального анализа, которые в последующем можно использовать в прикладных исследованиях, в частности, для доказательства существования решений дифференциальных уравнений при обосновании численных методов.

Для этого необходимо обеспечить уровень подготовки студентов по функциональному анализу таким, чтобы они умели:

• 
  устанавливать сходимость последовательностей в функциональных метрических пространствах;
  
• 
  проверять выполнение аксиом скалярного произведения при построении евклидовых пространств;
  
• 
  доказывать ограниченность линейных операторов, действующих в функциональных пространствах;
  
• 
  применять понятия сильной и слабой сходимости для получения обобщенных решений дифференциальных уравнений;
  
• 
  давать оценки спектрального радиуса линейного оператора;
  
• 
  использовать принцип неподвижной точки при решении дифференциальных уравнений в банаховых пространствах.
  

• 
  метрические линейные и нормированные пространства;
  
• 
  бесконечномерные полные гильбертовы пространства;
  
• 
  линейные операторы и условия их обратимости;
  
• 
  ограниченные функционалы и сопряженные пространства;
  
• 
  элементы спектральной теории линейных операторов;
  
• 
  принцип неподвижной точки для нелинейных операторов;
  
• 
  основы теории дифференциальных уравнений в банаховых пространствах.
  

Тема 2 – Банаховы и гильбертовы пространство. Понятия полноты и определение банаховых пространств. Евклидовы пространства, способы введения скалярного произведения. Гильбертовы пространства, ортонормированные системы и разложение в ряд Фурье. Соболевские пространства обобщенных функций как результат пополнения множества интегрируемых функций.

Тема 3 – Пространство линейных операторов. Общее понятие оператора. Линейные операторы, образ и прообраз. Непрерывность и ограниченность линейных операторов. Нормированное пространство линейных операторов. Условия существования обратного оператора. График оператора, теорема о замкнутом операторе.

Тема 4 – Функционалы и сопряженное пространство. Понятия линейного ограниченного функционала. Сопряженное пространство и слабая сходимость. Теорема Хана – Банаха и ее следствия. Линейные функционалы в гильбертовых пространствах, теорема Рисса. Сопряженные и самосопряженные операторы.

Тема 5 – Компактные множества вполне непрерывные операторы. Компактные множества в нормированных пространствах. Теорема Хаусдорфа и теорема Асколи – Арцела. Линейные вполне непрерывные операторы. Нормально разрешимые операторы и теоремы Фредгольма. Линейные уравнения с точки зрения вычислений.

Тема 6 – Элементы спектральной теории линейных операторов. Собственные значения и собственные векторы линейных операторов. Резольвентное множество и спектр линейного оператора. Спектральное разложение САмосопряженного оператора.

Тема 7 – Теоремы о неподвижных точках операторов. Нелинейные операторные уравнения. Степенные операторные ряды. Принцип сжимающий отображений. Итерационный процесс Ньютона. Принцип Шаудера и его применение.

Тема 8 – Дифференциальные уравнения в банаховых пространствах. Понятие обобщенных решений краевых задач. Существование решения, единственность и непрерывная зависимость от начальных данных и правой части. Простейшие разностные схемы, их устойчивость и сходимость.

• 
  линейное, метрическое, нормированное, евклидово, гильбертово пространство;
  
• 
  линейный, непрерывный, ограниченный и неограниченный оператор;
  
• 
  линейный ограниченный функционал и сопряженное пространство;
  
• 
  компактные множества и вполне непрерывные операторы;
  
• 
  теорема Хана-Банаха и лемма Рисса;
  
• 
  понятие спектра и собственного вектора;
  
• 
  ортонормированные системы и ряды Фурье;
  

• 
  сходимость в нормированных пространствах и понятие банахова пространство;
  
• 
  связь непрерывности и ограниченности линейного оператора;
  
• 
  норма линейного оператора и функционала;
  
• 
  интеграл Лебега и пространства Соболева;
  
• 
  фактор пространство и процедура пополнения пространства;
  
• 
  слабая и сильная сходимость последовательностей;
  
• 
  постановка задачи Дирихле для уравнения Лапласа;
  
• 
  критерий компактности множества и слабая компактность;
  
• 
  резольвентное множество и спектральный радиус линейного оператора;
  
• 
  обобщенное решение дифференциального уравнения;
  

• 
  теорема Хана-Банаха о продолжении линейного функционала и ее следствия;
  
• 
  теорема Банаха о замкнутом графике;
  
• 
  теорема Арцела о компактности непрерывных функций;
  
• 
  лемма Рисса об общем виде линейного ограниченного функционала в гильбертовом пространстве;
  
• 
  критерий компактности Хаусдорфа;
  
• 
  теорема Банаха-Штейнгауза о сильной сходимости операторов;
  
• 
  теорема Банаха об обратном операторе;
  
• 
  альтернатива Фредгольма для интегральных операторов;
  
• 
  итерационный процесс Ньютона;
  
• 
  принцип Шаудера;
  

3 балла – решение правильное;

2 балла – решение правильное, но с недочетами;

1 балл – путь решения правильный;

0 баллов – решение неправильное, или отсутствует.

При сдаче экзамена можно получить в сумме от нуля до 9 баллов. Предварительная оценка «отлично» на экзамене считается, если количество набранных баллов – от 8 до 9, «хорошо» – от 6 до 7, «удовлетворительно» – от 4 до 5 баллов.

1. 
   Канторович Л.В., Акилов Г.П., Функциональный анализ в нормированных пространствах. – М.: Физматгиз, 1959.
   
2. 
   Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа. – М.: Наука, 1965.
   
3. 
   Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. – М.: Гостехиздат, 1954.
   
4. 
   Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. – Новосибирск: Изд-во СО АН СССР, 1962.
   
5. 
   Иосида К. Функциональный анализ. – М.: Мир, 1967.
   
6. 
   Рудин У. Функциональный анализ. – М.: Мир, 1975.
   
7. 
   Лебедев В.И. Функциональны анализ и вычислительная математика. – М., Физматгиз, 2000. – 295 с.
   

• 
  лекции, на которых закладываются теоретическая база знаний по дисциплине «Функциональный анализ»;
  
• 
  практические занятия, где студенты приобретают навыки в решении задач по отдельным разделам курса;
  
• 
  самостоятельная работа студентов, которая осуществляется в двух формах: индивидуального выполнения заданий и индивидуально-аудиторного – с консультацией у преподавателя;
  
• 
  разбор сложных вопросов и задач на плановых консультациях.
  

• 
  дополнительные разъяснения труднопонимаемых положений теории;
  
• 
  иллюстрирование материала графиками и таблицами;
  
• 
  подкрепление теоретических вопросов примерами.
  

• 
  теоретическую часть, излагать в форме, доступной для студентов – математиков;
  
• 
  определения абстрактных понятий желательно иллюстрировать примерами и сравнивать с аналогичными понятиями математического анализа;
  
• 
  комментировать область возможного приложения вводимых понятий в задачах математической физики.
  

• 
  повторить основные положения соответствующей лекции (теория);
  
• 
  разобрать вариант типовой задачи;
  
• 
  предложить практические задачи (5-10 минут размышлений и вызов к доске, желательно по списку);
  
• 
  задавать задание «на дом»;
  
• 
  периодически проводить контрольные работы, тематика которых должна соответствовать темам самостоятельных работ.