Работа №5 Расчет страховых тарифов по рисковым видам страхования

5.3. Основные определения и соотношения

Для массовых рисковых видов страхования в страховой практике наиболее распространены два способа расчета страховых тарифов:

1) по Методике расчета страховых тарифов по рисковым видам страхования в соответствии с распоряжением № 02-03-36 Федеральной службы РФ по надзору за страховой деятельностью от 8 июля 1993 г.;

2) с использованием методов математической статистики (при необходимости учета динамики страховых процессов).

Конечной целью проведения актуарных расчетов является определение величины нетто-ставки (по данному виду страхования), которая гарантировала бы с вероятностью, близкой к единице, что страховая организация не разорится. При этом под разорением понимается вполне конкретная ситуация, когда страховые резервы, формируемые из нетто-премий, не обеспечивают выплату всех страховых возмещений (по данному виду страхования).

Математически задача обеспечения гарантии того, что страховая организация не разорится, формулируется следующим образом:

где:

γ – величина гарантии безопасности, задаваемая самой страховой организацией (как правило, находится в пределах от 85 до 99%).

Сумма выплат X является случайной величиной и складывается из выплат по всем договорам данного вида:

,

где X_i - выплата (убыток) страховой организации по i-му договору, n – количество договоров.

Формула нетто-ставки выводится при следующих допущениях:

1) Убытки страховой организации по одному договору страхования не зависят от выплат по другим договорам. Это допущение справедливо в подавляющем большинстве ситуаций, за исключением таких, когда один страховой случай провоцирует наступление других убытков (например, при пожаре, когда огонь от одного загоревшегося здания перекидывается на другие объекты, или в случае распространения эпидемии). Данное предположение позволяет считать все застрахованные риски полностью независимыми.

2) Для массовых рисковых видов страхования предполагается наличие большого числа однородных застрахованных объектов с малым разбросом значений страховых сумм, что предполагает незначительный разброс убытков (выплат). Математически это предположение сводится к тому, что законы распределения и числовые характеристики (в частности, математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение) всех рассматриваемых случайных величин можно считать одинаковыми.

Из принятых допущений следует, что случайная величина X представляет собой сумму большого числа одинаково распределенных случайных величин X_i, среди которых нет превалирующей величины. Тогда согласно центральной предельной теореме можно утверждать, что случайная величина X распределена по нормальному закону, а ее функция плотности распределения имеет вид

где ее математическое ожидание m_x и среднеквадратическое отклонение σ_x определяются суммированием соответствующих параметров случайных величин X_i по формулам:

При известных параметрах m_x и σ_x случайной величины X значение α, которое с вероятностью γ гарантировало бы превышение собранных премий над выплатами, определяется с помощью функции CDFNORM(numexpr), которая реализует функцию распределения Ф(α) для центрированной нормированной случайной величины

при этом величина α (зависящая от вероятности γ) называется квантилем нормального распределения.

В соответствии с методикой Росстрахнадзора от 8 июля 1993 г.№ 02-03-36 для определения страховых тарифов по массовым рисковым видам страхования предлагаются два метода расчета в зависимости от наличия статистических данных по данному виду страхования, позволяющих оценить вероятность и ожидаемую величину ущерба.

Первая метод предполагает наличие страховой статистики или иной статистической информации, позволяющей оценить следующие показатели:

а) вероятность наступления страхового случая p;

б) среднюю страховую сумму по одному ДС (∑S_n)/n;

в) среднее страховое возмещение по одному ДС (∑W)/m.

Нетто-ставка (Т_н) представляет собой сумму двух составляющей – основной части (Т_о) и рисковой надбавки (Т_р):

Т_н = Т_о + Т_р.

Основная часть нетто-ставки выражается в процентах и равна убыточности страховой суммы по данному виду договоров:

Т_о = q×100.

Для компенсации возможных колебаний значения убыточности вокруг расчетной величины с течением времени необходимо обеспечить запас устойчивости, который создается за счет введения в нетто-ставку рисковой надбавки Т_р, вычисляемой (также в процентах) по следующей формуле (для каждого риска):

где α(γ) – квантиль нормального распределения, зависящий от гарантии безопасности γ. При этом среднеквадратическое отклонение возмещений при наступлении страховых случаев (σ_w) определяется согласно соотношению:

Если в страховой организации отсутствует информация относительно вероятности и ожидаемой величины ущерба, предусматривается упрощенная методика расчета. Упрощение касается двух моментов: 1) относительно выбора величины тяжести ущерба (риска), вызванного страховым случаем, т.е. отношения среднего возмещения по одному договору страхования (при наступлении страхового случая) к средней страховой сумме на один договор; и 2) относительно определения рисковой надбавки.

При определении рисковой надбавки из-за отсутствия информации относительно величины среднеквадратичного отклонения возмещений при наступлении страховых случаев (σ_w) используется упрощенная приблизительная формула для расчета рисковой надбавки:

Т_р = 1,2 × Т_о × α(γ) × .

Брутто-ставка Т_б рассчитывается по формуле

Т_б = ,

где f(%) – доля нагрузки в брутто-ставке.

Второй метод, учитывающий динамику страховых процессов, используется в тех схемах страхования, когда возникает задача прогнозирования двух специфических процессов: С(t) – временной зависимости реальной цены застрахованного объекта (с учетом его морального и физического износа) и вероятности Р(t) наступления страхового случая. К таким видам страхования можно отнести: имущественное страхование, страхование ответственности (когда речь идет о компенсации причиненного материального ущерба), страхование здоровья (инвалидность, утрата профессиональной квалификации и т.д.). Динамика страхового процесса требует значительно более частого пересмотра методик расчетов, чем в страховании жизни.

Математическое ожидание предстоящих выплат представляет собой интеграл вида

,

поэтому ошибка в определении хотя бы одной временной функции может заметно повлиять на оценку конкурентоспособности либо финансовой устойчивости страховой организации.

Методика расчета страховых тарифов ставок по рисковым видам страхования в соответствии с распоряжением № 02-03-36 Федеральной службы РФ по надзору за страховой деятельностью от 8 июля 1993 г. (для массовых рисковых видов страхования) рекомендует алгоритм расчета трех элементов: основной части нетто-ставки (Т_о), рисковой надбавки (Т_р), нетто-ставки (Т_н) и брутто-ставки (Т_б). При этом специфика динамики страховых процессов учитывается при расчете только первых двух показателей.

Основная часть нетто-ставки (Т_о) равна прогнозируемому уровню убыточности страховой суммы на год, следующий за анализируемым периодом. Прогноз осуществляется с помощью модели линейного тренда, согласно которой фактические данные по убыточности страховой суммы выравниваются с использованием линейного уравнения

где – выровненный показатель убыточности страховой суммы; a₀, a₁ – параметры линейного тренда; i – порядковый номер соответствующего года.

Параметры линейного тренда определяются методом наименьших квадратов путем решения следующей системы уравнений с двумя неизвестными:

,

,

где n – число анализируемых лет.

При отсчете лет с середины ряда данная система упрощается. Если n – нечетное число, то , и система уравнений примет вид:

,

,

откуда

Если в линейное уравнение в качестве i подставить год, следующий за последним анализируемым годом, для которого имеется страховая статистика, можно определить основную часть нетто-ставки (на этот год).

Рисковая надбавка (Т_р) определяется по формуле:

,

где σ – среднеквадратическое отклонение фактических уровней убыточности

Величины нетто-ставки (Т_н) и брутто-ставки (Т_б) рассчитываются по формулам, приведенным выше.

Если зависимость убыточности страховой суммы q_i от времени не предполагается, то отпадает необходимость в прогнозировании убыточности страховой суммы на следующий за анализируемым периодом год. В этом случае расчет страховых тарифов основан на оценке страховых рисков.

Страховой риск, под которым понимается вероятность наступления страхового события, выражает объем возможных страховых обязательств по тому или иному виду страхования и измеряется с помощью таких стандартных статистических параметров, как дисперсия и среднеквадратическое отклонение, характеризующих разброс (рассеяние) исследуемого показателя вокруг его среднего. С увеличением разброса показателя вокруг среднего они возрастают, и, следовательно, повышается степень риска.

Между дисперсией (D) и среднеквадратическим отклонением (σ) существует следующее соотношение:

,

при этом дисперсия относительно выборочного среднего () находится по формуле

где n – количество наблюдений, – выборочное среднее случайной переменной x.

Среднеквадратическое отклонение можно использовать для оценки доверительных границ, в пределах которых с заданной вероятностью следует ожидать значение случайной переменной. Такая оценка будет корректной, если наблюдаемое распределение приближенно описывается нормальным законом распределения. Обоснованность такого приближения проверяется методами математической статистики. Так, например, с вероятностью 68% можно утверждать, что значение случайной переменной x находится в границах ±σ, а с вероятностью 95% – в пределах ±2σ и т.д.

Расчет нетто-ставки основан на вычислении убыточности страховой суммы за период, предшествующий расчетному моменту времени (в общем случае за n лет). Основная часть нетто-ставки (Т_о), равная средней убыточности страховой суммы за предшествующий период, вычисляется по формуле

где n – число периодов.

Рисковая надбавка (Т_р) равна

Т_р = tσ,

где σ – среднеквадратическое отклонение убыточности страховой суммы за предшествующий период, которое определяется по формуле:

Величины нетто-ставки (Т_н) и брутто-ставки (Т_б) рассчитываются по формулам, приведенным выше.

Если допущения, на которых основаны рассмотренные выше методики, либо не имеют место на практике, либо не могут быть проверены, используется метод расчета страховых тарифов с построением доверительных интервалов. Кроме того, данный метод можно использовать для оценки точности рассчитанных страховых тарифов, что представляет значительный практический интерес.

В данной работе рассматриваются три задачи расчета страховых тарифов, формулируемые следующим образом.

Страховая организация проводит страхование от несчастных случаев. Вероятность наступления несчастного случая – 0,05. Средняя страховая сумма – 80 тыс. руб. Среднее страховое возмещение – 30 тыс. руб. Количество заключенных договоров – 6000. Доля нагрузки в тарифной ставке -24%. Среднеквадратическое отклонение – 8 тыс. руб.

Требуется рассчитать страховой тариф при гарантии безопасности 0,95.

Задача 2 [1, с. 8 - 9]

Определить брутто-ставку при страховании имущества юридических лиц на основе страховой статистики за 5 лет с учетом прогнозируемого уровня убыточности страховой суммы на следующий год (при заданной гарантии безопасности 0,9):

Определить брутто-ставку при страховании имущества юридических лиц на основе страховой статистики за 5 лет с учетом прогнозируемого уровня убыточности страховой суммы на следующий год (при заданной гарантии безопасности 0,9):

5.4. Порядок выполнения работы

5.4.1. Для расчета страховых тарифов в системе SPSS следует ввести ряд переменных с соответствующими именами:

verojat – вероятность наступления страхового случая,

stsumma – средняя страховая сумма,

stvozmej – среднее страховое возмещение,

dogovor – количество заключенных договоров,

nagruzka – доля нагрузки в тарифной ставке,

sqvotkl – среднеквадратическое отклонение,

osnovnaj – основная часть нетто-ставки,

garbez – уровень гарантии безопасности,

nadbavka – рисковая надбавка,

netto – нетт0-ставка,

brutto – брутто-ставка.

В процессе решения задачи 1 основная часть нетто-ставки Т₀ определятся с помощью процедуры Compute (Вычислить) меню Transform по формуле:

verojat*( stvozmej/ stsumma)*100 = 1.875% (рис. 5.1):

Рис. 5.1. Вычисление основной части нетто-ставки

Рисковая надбавка Т_р определяется с помощью функций IDF.NORMal(p,mean,stddev) и SQRT(numexpr) и равна 0,18 (рис. 5.2):

Рис. 5.2. Вычисление рисковой надбавки

Нетто-ставка Т_н рассчитывается по формуле:

Т_н = Т₀ + Т_р = 1,875 + 0,18 = 2,055%.

Брутто-ставка Т_б рассчитывается по формуле:

(Рис. 5.3).

Рис. 5.3. Вычисление брутто-ставки

5.4.2. Для решения задачи 2 следует ввести новые переменные:

ubyt – фактическая убыточность страховой суммы (в %),

god – номер года.

Для определения основной части нетто-ставки Т₀ стоится модель линейного тренда

,

где – выровненный показатель убыточности страховой суммы; i – порядковый номер соответствующего года. Параметры линейного тренда

a₀ и a₁ определяются с помощью процедуры Analyze – Regression – Linear:

В окне диалога Linear Regression:

имя переменной ubyt переносится в поле Dependent, а имя переменной god – в поле Independent(s). Щелчком по кнопке Statistics открывается окно Linear Regression Statistics и ставится метка в поле Estimates Regression Coefficients:

Возврат в окно Linear Regression осуществляется щелчком по кнопке Continue. Затем щелчком по кнопке Options открывается окно Linear Regression: Options и ставится метка в поле Include constant in equation (Включить в уравнение константу):

после чего щелчком по кнопке Continue осуществляется возврат в окно Linear Regression. После этого щелчком по кнопке OK запускается процедура анализа.

В результате получим уравнение линейной регрессии:

.

Прогнозируемая убыточность страховой суммы за год, следующий за последним анализируемым, составит:

.

Следовательно, основная часть нетто-ставки на следующий за рассматриваемым периодом год (Т₀) равна 3,76% от страховой суммы.

Рисковая надбавка (Т_р) определяется по формуле:

,

где σ – среднеквадратическое отклонение фактических уровней убыточности

,

β – коэффициент, зависящий от заданной гарантии безопасности γ (т.е. вероятности того, что собранных взносов хватит на страховые выплаты);

n – число анализируемых лет (при γ = 0,9 и n = 5 β = 1,984). Остатки

(q_i – q_i^*) можно вычислить в процессе построения уравнения линейной регрессии, если в окне Linear Regression Statistics щелчком по кнопке Save открыть окно Linear Regression:Save, пометить в нем Unstandartized (Нестандартизованный) Residual (Остатки):

и вернуться в окно Linear Regression (щелчком по кнопке Continue) и выполнить вычисления щелчком по кнопке OK. Возведением остатков в квадрат и последующим суммированием квадратов остатков вычисляется = 0,044, откуда .

Итак, рисковая надбавка Т_р равна:

.

Вычислив нетто-ставку Т_н по формуле:

Т_н = Т_о + Т_р = 3,76 +0,208 = 3.968%

определяют брутто-ставку Т_б :

.

5.4.3. Сначала задача 3 решается путем построения уравнения линейной регрессии

Y = 0,14 + 0,052 × t,

где Y – фактическая убыточность страховой суммы, t – порядковый номер года. С помощью построенного уравнения рассчитывается прогнозное значение убыточности страховой суммы Y на 6-ой год:

Y (t = 6) = 0,452.

Расчетная величина прогноза убыточности страховой суммы принимается за оценку математического ожидания искомой рисковой ставки.

Для получения точечной оценки рисковой ставки определяются: дисперсия (D = 0,00017) и среднеквадратическое отклонение (σ = 0,013) исходных данных убыточности страховой суммы. Умножением среднеквадратического отклонения σ на поправочный коэффициент β (γ = 0,9; n = 5) = 1,984 определяется надбавка: 1,984 × 0,013 = 0,026.

Точечная оценка прогноза принимается за рисковую ставку, на основании которой рассчитывается нетто-ставка 0,452 + 0,026 = 0,478.

Брутто-ставка Т_б определяется по формуле:

.

Величину нетто-ставки можно определить, построив доверительные интервалы с использованием распределения Стьюдента в соответствии с формулами:

;

;

.

В данном примере: k = 2 (в линейной модели два параметра), L = 1. Поэтому:

; ; ;

.

Тогда 3,182 × 0,015 × 1,45 = 0,069 и . Отсюда P{0,382 < y < 0,521} = 0,9.

В качестве нетто-ставки принимается правая граница 0,521 доверительного интервала, которая отличается от ранее полученной величины (0,478).

Брутто-ставка Т_б определяется по формуле:

.
2.5. Требования к отчету
Отчет должен содержать:

а) фамилию, инициалы и группу студента;

б) номера пунктов задания работы;

в) таблицу исходных данных заданного преподавателем варианта (приложение 1);

г) использованные процедуры системы SPSS;

д) заполненную таблицу результатов (по форме приложения 2).

ЛИТЕРАТУРА

1. Баланов Т.А., Алехина Е.С. Сборник задач по страхованию: Учеб. пособие. – М.: ТК Велби. Изд-во Проспект, 2004.80 с.

2. Корнилов И.А. Основы страховой математики: Учеб. пособие для вузов. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2004. – 400 с.

Приложение 1

Задача 1

Рассчитать по страхованию домашнего имущества согласно методике Росстрахнадзора от 8 июля 1993 г. № 02-03-36:

1. 
   основную часть нетто-ставки на 100 руб. страховой суммы;
   
2. 
   рисковую (гарантированную) надбавку при условии гарантии безопасности 0,95 и коэффициента, зависящего от гарантии безопасности, - 1,645;
   
3. 
   нетто-ставку на 100 руб. страховой суммы;
   
4. 
   брутто-ставку на 100 руб. страховой суммы.
   

Исходные данные

Вероятность наступления страхового случая	0,04
Средняя страховая сумма, тыс. руб.	120 х N
Среднее страховое возмещение, тыс. руб.	58 х N
Количество заключенных договоров	1350 х N
Доля нагрузки в структуре тарифа, %	28

N – порядковый номер студента по списку

Задача 2

Исходные данные по одному из видов страхования имущества юридических лиц заданы в таблице

Показатель	Годы
	1	2	3	4	5
Фактическая убыточность страховой суммы (в %)	0,18 х N	0,26 х N	0,29 х N	0,36 х N	0,39 х N

Нагрузка в брутто-ставке составляет 22%,

N – порядковый номер студента по списку.

Приложение 2

Таблица результатов

Ф.И.О. студента, номер группы	Порядковый номер по списку	Основная часть нетто-ставки	Рисковая надбавка	Нетто-ставка	Брутто-ставка

жүктеу/скачать 315 Kb.

Достарыңызбен бөлісу: