Решение уравнения ctgx=a Введение. График функции y=ctgx, x

На уроке рассматривается понятие функции арккотангенс, как обратной для функции котангенс на промежутке .

По теореме о существовании обратной функции прямая функция должна быть непрерывной и монотонной.

Функция  не непрерывна и не монотонна на всей своей области определения, а на промежутке  она непрерывна, монотонна и пробегает все значения из области значений. Значит, существует обратная функция для нее на этом промежутке, она называется арккотангенс.

По графику   на промежутке  (рис. 1) можно находить значения арккотангенсов некоторых углов.

Рис. 1.

Определение:

Арккотангенсом числа  называется такой угол  из промежутка , котангенс которого равен числу  

Свойство 1: для любого числа

Пример 1. Найти

Решение:

2-й способ: по свойству

Свойство 2: для любого числа

Пример 2. (проверка свойства):



3. Некоторые значения арккотангенса на единичной окружности с линией котангенсов

Построим единичную окружность и проведем линию котангенсов. Отметим на окружности точки , найдем соответствующие точки на линии котангенсов (рис. 2).

Рис. 2.

Пример 4. Решить уравнение

Решение: отметим на линии котангенсов точку   и соответствующие точки  на единичной окружности (рис. 3).

Рис. 3.

Ответ:

Решение уравнения  в общем виде:

Пример 5. Решить уравнение 

Решение: запишем решение по общей формуле относительно значения :

Ответ: