С. П. Радзевич векторное представление зубчатых пар

В статье рассматриваются зубчатые пары общего вида, характерной особенностью которых является то, что оси вращений зубчатого колеса и шестерни перекрещиваются одна с другой. Зубчатые пары такого типа являются пространственными; их принято называть винтовыми зубчатыми парами. Зубчатые пары с пересекающимися и с параллельными осями вращения зубчатого колеса и шестерни, так же как и передачи “зубчатое колесо – рейка”, могут быть интерпретированы как частные случаи винтовых зубчатых пар.

С зубчатой парой связан набор векторов, совокупность которых предложено называть векторной диаграммой зубчатой пары. В качестве примера построены векторные диаграммы для винтовых зубчатых пар (a) внешнего и (b) внутреннего зацепления, а также для (c) аналога пространственной передачи “зубчатое колесо – рейка”. Последняя может быть названа винтовой передачей “зубчатое колесо – рейка”.

Зубчатая пара состоит из находящихся в зацеплении зубчатого колеса и шестерни, размещенных в стойке. В случае одноступенчатых зубчатых передач термины (a) зубчатая пара и (b) одноступенчатая зубчатая передача эквивалентны один другому. Часто зубчатые пары наращиваются одна на другую, образуя таким путем многоступенчатые трансмиссии с требуемыми эксплуатационными параметрами. В случае многоступенчатых зубчатых передач термины (a) и (b) не эквивалентны один другому, что очевидно.

Передаточное отношение зубчатой пары либо постоянно, либо переменно во времени. На рис. 1 приведены примеры зубчатых пар с переменным во времени передаточным отношением. Физически передача вращения от одного вала к другому при помощи зубчатых передач такого типа не только возможна, но и находит применение на практике. Однако в данной статье рассмотрение вопроса ограничено зубчатыми парами с постоянным передаточным числом.

Рис. 1. Зубчатые пары с переменным передаточным отношением.

Зубчатые пары с постоянным передаточным числом используются для передачи вращения между параллельными, пересекающимися и перекрещивающимися осями вращения. Вырожденный вид зубчатых пар с постоянным передаточным числом, а именно передача “зубчатое колесо – рейка”, используется для преобразования вращательного движения в поступательное и наоборот.

Обычно для изучения свойств зубчатых пар принято использовать аксоиды зубчатого колеса и шестерни. Для винтовой зубчатой пары аксоидами являются два касающихся один другого однополостных гиперболоида вращения. Ниже показано, что использовать аксоиды зубчатой пары не всегда удобно. Более удобным оказалось использование векторного представления зубчатых пар, построение которого базируется на (a) относительном расположении в пространстве осей вращения зубчатого колеса и шестерни, (b) величинах угловых скоростей зубчатого колеса и шестерни.

Для определения относительного расположения в пространстве осей вращения зубчатого колеса и шестерни достаточно знать длину межосевого перпендикуляра и угол перекрещивания осей вращения зубчатого колеса и шестерни.

Сущность использованного подхода

Чтобы было ясно, что собой представляет векторная диаграмма зубчатой пары, в качестве примера рассмотрим показанную на рис. 2 гипоидную пару и связанные с ней векторы вращений зубчатого колеса и шестерни.

Рис. 2. К построению векторной диаграммы зубчатой пары с постоянным передаточным отношением.

Векторы вращений ω_g и ω_p являются скользящими векторами. Они могут быть приложены в любой точке на оси вращения зубчатого колеса и шестерни соответственно. Для зубчатой пары общего вида, так же как и для ее частных случаев (где это возможно), в качестве точки приложения векторов ω_g и ω_p предпочтительно выбирать точку пересечения межосевого перпендикуляра с соответствующей осью вращения. В случае пересекающихся осей вращений и точкой приложения векторов вращений служит точка пересечения этих осей.

Вращения ω_g и ω_p согласованы одно с другим. Связанная с зубчатым колесом и с шестерней пара векторов ω_g и ω_p положена в основу построения векторной диаграммы зубчатой пары. По заданным векторам вращений ω_g и ω_p строится (a) вектор мгновенного относительного вращения, (b) расположенные вдоль межосевого перпендикуляра векторы и , а также (c) направленные вдоль осей вращения и векторы и . Векторы и используются для аналитического представления положения вектора мгновенного вращения относительно векторов вращений и . Положение середины ширины зубчатого венца определяется векторами и . Перечисленные векторы схематически показаны на рис. 3.

Рис. 3. Векторы, связанные с винтовой зубчатой парой.

Нетрудно заметить, что для каждой зубчатой пары может быть построена векторная диаграмма, которая для заданной зубчатой пары является единственной.

Следует обратить внимание как минимум на два важных преимущества векторного представления зубчатых пар по сравнению с применением для аналогичных целей их аксоидов.

Во-первых, строить векторы вращений и существенно проще и удобнее, чем изображать аксоиды зацепляющихся колес, что часто практикуется. Более того, в некоторых частных случаях форма аксоидов изначально может быть не очевидной, как того хотелось бы.

Во-вторых, использование векторов вращений и делает однозначным ответ на вопрос об угле перекрещивания этих осей вращений и . Последнее иллюстрируется рис. 4, на котором показаны две перекрещивающиеся прямые и . Межосевой перпендикуляр проходит через точки и наибольшего сближения прямых и . Параллельным переносом, например, прямой из точки в точку строится дополнительная прямая линия (рис. 4, a). Угол между построенной дополнительной прямой и прямой равен углу перекрещивания прямых и . При этом угловое расположение прямых может определяться либо острым углом , либо дополняющим его до тупым углом . Таким образом, появляется неоднозначность в определении углового положения двух перекрещивающихся прямых. Эта неоднозначность в определении угла перекрещивания снимается договоренностью использовать для измерений острый угол . Хотя с неменьшим успехом для этих целей можно использовать тупой угол .

Если же со перекрещивающимися прямыми и связаны направляющие векторы и , то угол перекрещивания прямых определяется однозначно, и никакая дополнительная договоренность в этом случае не требуется. Величина угла определена двумя векторами и , а именно . Как следует из рис. 4, угол перекрещивания прямых и является острым в случае, показанном на рис. 4, b, а в случае, показанном на рис. 4, c угол перекрещивания тупой ().

а)	b)	c)
Рис. 4. Угол перекрещивания осей вращения колес зубчатой пары.

Физически существует три вида зубчатых пар: (a) внешнего зацепления, (b) внутреннего зацепления и (c) реечного типа. Зубчатые пары реечного типа можно интерпретировать как предельный (критический) случай зубчатых пар вида (a) или (b).

Вид зубчатой пары определяется (a) величиной соотношения угловых скоростей ω_g и ω_p, (b) величиной угла Σ между векторами вращений ω_g и ω_p, и длиной межосевого перпендикуляра C. Не вдаваясь в детали вывода аналитического выражения для критерия, позволяющего идентифицировать некоторую зубчатую пару как относящуюся либо к зубчатым парам внешнего, либо внутреннего зацепления, либо к зубчатым парам реечного типа (об этом ниже), остановимся на рассмотрении зубчатых пар каждого из трех видов. При этом предполагаем, что о рассматриваемой зубчатой паре заведомо известно, к какому виду зубчатых пар она относится.

Зубчатая пара внешнего зацепления может быть охарактеризована определенным набором параметров , , и . Два вращения и могут быть сведены к одному мгновенному вращению вокруг некоторой прямой линии, которая является осью мгновенного вращательного движения . Каждой паре векторов вращений и соответствует вектор мгновенного вращения .

a)	b)
Рис. 5. Векторная диаграмма зубчатой пары внешнего зацепления.

После того, как вектор мгновенного вращения построен, ось проекций π₁/π₂ проведена параллельно вектору . Удобство и простота построений – единственное, что послужило причиной для принятого на рис. 5, a расположения оси проекций π₁/π₂.

Вектор мгновенного вращения проецируется на плоскость проекций без искажений. Проекции на π₂ векторов вращений и обозначены через и соответственно. Векторы вращений и параллельны оси . Эти составляющие векторов вращений и приводят к чистому качению аксоидов зубчатого колеса и шестерни. Для них выполняется соотношение

.

(1)

Здесь расстояние точки от оси обозначено через . Расстояние той же точки от оси обозначено через . Углы и находятся из соотношений и соответственно.

Очевидно, что имеет место равенство

.

(2)

Для определения положения точки в пределах межосевого перпендикуляра воспользуемся условием чистого вращения.

Чтобы выполнялось условие чистого вращения, расстояния и должны удовлетворять очевидному условию

.

(3)

Здесь обозначено и .

В общем случае абсолютные величины и векторов чистого вращения и не равны одна другой (<). Равенство имеет место только в частном случае, при равенстве чисел зубьев и зацепляющихся колес. Здесь и обозначают числа зубьев зубчатого колеса и шестерни соответственно.

Из (2) можно записать, что . Подставив это выражение для в (3), приходим к формуле для расчета расстояния

.

(4)

Далее, расстояние находится из приведенного выше уравнения . Это выражение для может быть преобразовано к виду

.

(5)

Для зубчатой пары внешнего зацепления точка находится между осями вращения зубчатого колеса и шестерни .

Две другие составляющие и векторов вращений и перпендикулярны оси мгновенного вращательного движения . Эти составляющие без искажений проецируются на фронтальную плоскость проекций π₃. Вращения и приводят к чистому скольжению аксоидов колес зубчатой пары. Векторы вращений скольжения и одинаковы по величине и противоположны по направлению ().

Вектор линейной скорости скольжения , создаваемого зубчатым колесом, равен

.

(6)

Вектор линейной скорости скольжения , создаваемого шестерней, равен

.

(7)

Поскольку для зубчатой пары выполняются соотношения и , то составляющая скорости скольжения , создаваемая зубчатым колесом, всегда больше составляющей скорости скольжения , создаваемой шестерней ().

Векторы линейных скоростей и относительного скольжения направлены в противоположные стороны. Вектор линейной скорости результирующего скольжения зубчатого колеса относительно шестерни равен разности

.

(8)

.

(9)

.

(10)

.

(11)

Совокупностью двух движений, а именно: (a) мгновенного вращательного , совершаемого с угловой скоростью , и (b) поступательного , совершаемого со скоростью , является мгновенное винтовое движение. Параметр этого винтового движения равен

.

(12)

.

(13)

.

(14)

.

(15)

На рис. 5, b показано расположение основных векторов относительно аксоидов зубчатого колеса A_g и шестерни A_p. Здесь следует повториться, указав, что сами по себе аксоиды для анализа кинематики зубчатой пары в статье не используются.