Сандар сыр шертеді

Искакова А.Д.

Математиканың күнделікті адам өміріндегі мәні орасан зор.Санай білмей, сандарды қосуды, азайтуды, көбейтуді, бөлуді дұрыс орындай білмей тұрып адам қоғамының дамуы мүмкін деп ойлауға болмайды. Арифметикалық төрт амал,ауызша және жазбаша есептеу ережелері бастауыш сыныптардан бастап оқылады.Бұл ережелерді бір адам ойлап шығарған немесе тапқан емес.Арифметика күнделікті практика талаптарынан,адамдардың еңбектеніп әрекет жасауындағы өмірлік мұқтаждықтарынан туған.Арифметика өте баяу және ұзақ уақыт дамыды.

Сонау ерте замандардың өзінде-ақ адамдарға өздерінің күнделікті өмірінде кездесіп отыратын әр түрлі нәрселерді санауға тура келген.Сонда адамның тек екіге дейін ғана санай білетін шағы болған.Екі саны адамның көру және есту мүшелерімен,жалпы алғанда нәрселердің нақтылы бір жұбымен байланыстырылған.Үнділердің «көз»,тибеттіктердің «қанат» деген сөздері «екі» санын білдірді.Егер нәрселер саны екіден көп болса,алғашқы қауым адамы олар туралы тек көп дейтін.Адам бірте-бірте ғана үшке дейін,кейін беске,онға дейін санап үйренді.

Өндірістің және сауданың дамуына байланысты санау тәсілі басқа жиындарға, нәрселер саны барған сайын көбейе берген жиындарға қолданылады.Өлшей білу қажеттігі өлшеу тәсілдерінің,сондай-ақ санау техникасы мен сандарға амалдар қолдану ережелерінің пайда болуына және дамуына себепкер болды.

Сонымен, арифметиканың пайда болуы және дамуы адамдардың еңбектену әрекеттері мен қоғамның дамуымен байланысты.

Біз қолданылатын осылайша санау тәсілі,яғни он-оннан топтап санау системасы немесе ондық нумерация деп аталады.Он саны ондық санау системасының негізі деп аталады.

Ал, неліктен біз он-оннан санаймыз, яғни ондық санау системасы қалай пайда болды? Балалар саусақтарын санап үйренетіні сияқты,адамдар да қоғам дамуының алғашқы кезеңдерінде санау үшін екі қолының он саусағын пайдаланатын.Осыдан барып – ондық санау системасы шыққан.

Алайда кейбір жерлердегі, атап айтқанда,Африкадағы тайпалар мен халықтар санағанда бестік санау системасы қолданған.Бұл системада алғашқы бес санның ғана атаулары бар.Мысалы, «алты» санын «бес-бір» деп атаған.Ең көне санау системасы – екілік санау системасы, ғалымдардың болжауы бойынша, бұл системамен бір кезде мысырлықтар пайдаланған.Ал басқа бір,жиырмалық санау системасының жұрнақтары осы уақытқа дейін, мысалы,қазіргі грузин және француз тілдерінде сақталып қалған: ол тілдерде «сексен» деудің орнына «төрт жиырма» делінеді.Ежелгі вавилондықтар алпыстық санау системасын пайдаланған.Қазіргі уақытта дүние жүзінің барлық халықтары ондық санау системасын қолданады.Ондық санау системасында 999 миллионға дейінгі барлық натурал сандарды атау үшін небары 13 сөз пайдаланады: бір, екі, үш, төрт, бес, алты, жеті, сегіз, тоғыз, он, жүз, мың, миллион.Қазіргі уақытта ондық санау системасымен қатар екілік санау системасы да практика жүзінде кеңінен қолданылып жүр.Көбінесе жылдам есептегіш машиналарда қолданылады.

Қандай үлкен санды алсақ та небары он сандық таңба,яғни он цифр арқылы жазып көрсетуге болады, олар:1,2,3,4,5,6,7,8,9,0.Цифрларды да, арифметика ережелері сияқты, ешкім бірден ойлап шығарған не тапқан емес.Осы заманғы цифрлар сан ғасырлар бойы қалыптасып

жасалған.Цифрлардың сызба таңбалары жазудың дамуымен қатар жетіліп кемелдене берген. Әуелде әріптер болмаған. Адам ойын, сөзін жартастардың, үңгір қабырғаларының, тастардың беттеріне салған суреттері арқылы білдірген.Сандарды есте сақтау үшін адам ағаштарға, таяқтарға шертіп белгі салуды және жіптерге түйіндер жасауды қолданған.Мұнан кейін бір санын бір сызықшамен, екі санын екі сызықшамен белгілеудің келіп шығуы табиғи нәрсе.Бірақ үлкен сандарды сызықшалармен белгілеу қолайсыз болған.Сонда жеке сандарды белгілеу үшін ерекше таңбамен, иероглифпен белгілеген. Мысалы, мұны қытайдың иероглиф цифрларынан көруге болады.

Ежелгі мысырда бұдан 4000 жылдай бұрын сандарды белгілеу үшін басқа таңбалар мен иероглифтер қолданылған.Бірді қазықпен, ондық қос қол тәрізденіп белгіленген, жүздік бүктелген пальма жапырағымен, мың молшылық символы ретіндегі лотос гүлімен, жүз мың бақамен белгіленген,өйткені Ніл тасығанда бақалар тіпті көбейіп кететін.Мұнан беріректе жеке дыбыстарды белгілеу үшін айрықша таңбалар, яғни әріптер пайда бола бастады.Әріптер цифрлар ретінде де қолданылған уақыт болған.Ежелгі гректер, славяндар және басқа да халықтар осылай істеген.Әріптерді сандардан айыру үшін славяндар сандарды белгілейтін әріптердің үстіне «титло» деп аталған айрықша таңба салатын.Алфавиттік нумерация да бара-бара қолайсыз болып шықты.Практика қажеттері, өндіріс пен сауданың дамуы осы заманғы қолайлырақ цифрлардың жасалуына және қазіргі жазбаша нумерацияның пайда болуына септігін тигізді.

Мына рим цифлары бәрімізге де мәлім:

I V X L C D M

1 5 10 50 100 500 1000

Бұл жеті таңбаның кейбіреулері әріптер ретінде де пайдаланылады.Римдіктер М әрпімен мың санын белгілеген.Мысалы,38784 саны былай жазылатын:XXXVIII_mDCCLXXXIV.

Біздің ондық системамызға қарағанда рим системасы қолайсыз болған: сан ұзақ-ұзақ шұбалыңқы жазылатын, көбейту және бөлу амалдарын орындауға болмайтын.Барлық амалды ойша орындау керек болатын.Тіпті санды атап айту үшін ауызша қосу не шегеру керек-ті, өйткені сол жеті рим цифрларының әрқайсысы қайда тұрса да бір ғана санды білдіретін.Мысалы,VI санында да,IV санында да V тек бес бірлікті

білдіретін.Ал осы күнгі жазбаша нумерацияда цифрдың мәні тек оның түріне, кескініне байланысты болмайды, оның басқа цифрлар арасындағы алып тұрған орнына, жағдайына, позициясына да байланысты болады.Мысалы, 15 санында 5 цифры 5 бірлікті білдіреді, ал 53 санында сол 5 цифрі 5 ондықты, яғни елу бірлікті білдіреді.Міне сондықтан да біздің нумерация позициялық нумерация деп аталады.Қазіргі цифрларымыз сияқты, бұл система да , шамалап айтқанда, бұдан 1500 жыл бұрын пайда болған.Алайда бұл – Үнді цифрлары әуел бастан-ақ қазіргідей болған еді деген сөз емес.Халықтан халыққа ауыса отырып, әуелгі үнді цифрлары сан ғасырлар бойы әлденеше рет өзгере келе қазіргі түріне түскен.Арабтар үнділердің цифрларын және позициялық ондық системасын қабылдаған, ал европалықтар оларды арабтардан үйренген.Сондықтан біздің цифрларымызды айыру үшін өзгеше, араб цифрлары деп атайтын болды.

А.С. Пушкиннің араб цифрларының шығуына өз көзқарасы болған. Ол араб цифрларының жазылуын мына фигура көмегімен түсіндірген.

Ал расында оларды үнді цифрлары деп атау дұрысырақ болар еді. Бұл цифрлар біздің елімізде XVII ғасырдан бастап қолданылды. Ал рим цифрлары тек ерекше жағдайларда ғана қолданылады.

Нәрселердің кез келген топтарын санай білу қажет болғандықтан натурал сандар пайда болды:1, 2, 3, 4... Адамзаттың мәдени дамуының алғашқы кезеңдерінде натурал қатар азынаулақ сандардан құралған.Онан әрі даму барысын да натурал қатарға жаңа және үлкен сандар қосылып отырды.Алайда талай уақыт бойы натурал қатар шектеулі деп есептелді, яғни адамдар қандай да бір ақырғы,ең үлкен сан бар деген ұғымда болды.

Мысалы, Ежелгі Русьте «тьма» (сансыз көп) деп аталған 10⁴ санын ақылға сыймайтын үлкен сан деп білген кез болған. «Тьма тем» түпсіз тұңғиық деп аталған 10¹² саны туралы ескілікті орыс жазбаларында былай делінген: «Адам ақылы жететін бұдан үлкен сан болмайды...».Алайда қоғамдық даму барысында адам ақылы жетуге тиісті сандар үлкею үстіне үлкейе түсті де, натурал қатарда ең үлкен сан болады- мыс деген ойдан бас тартуға тура келді, бірақ та бұл ақиқатты әр халық әр уақытта ұғынды.

Ежелгі Грекияның асқан ұлы ғалымы Архимед б.э. дейінгі III ғасырла «Псаммит», яғни «Құм түйіршіктерін есептеу» деп атап, арифметикаға арналған кішкене кітапша жазды, сол кітапшасында ол кейбір адамдардың жалған пікірін, яғни жер бетіндегі құм түйіршіктерінің көптігі сондай, оны сөзбен жеткізуге болмайды,сірә, онан үлкен сан болмайды-мыс деген пікірін теріске шығарды.Архимедтің дәлелдеуінше, бүкіл дүние кеңістігі, бүкіл әлем құм түйіршіктерімен толтырылған болса, онда түйіршіктер саны 10⁶³ санынан, яғни 63 нолі бар бірліктен құралған саннан артпайды және, әрине, бұдан да артық, мейлінше үлкен сандар бар. Сонымен Архимед «Псаммит кітапшасында» санау процесін шектеусіз жүргізе беруге болатындығын, натурал қатар шексіз екенін дәлелдеді.Алайда бұл идея көпшілікке аян болу үшін жүздеген жыл уақыт керек болды.

10⁶³ саны үлкен сандарды қазіргіше жазудың мысалы болып табылады.n нолі бар бірлік түріндегі әрбір сан 10ⁿ түрінде қысқаша жазылады және онның n–ші дәрежесі деп аталады.Мысалы, жүз – онның екінші дәрежесі (10² =10*10=100), мың – онның үш дәрежесі (10³=10*10*10=1000) т.с.с. Дәреже ұғымын пайдаланып, үлкен сандарды тек қысқаша жазу ғана емес, оларды анағұрлым қысқарақ атауға болады, ал осы заманғы ғылым мен техникада кездесетін үлкен сандар көбінесе жуық сандар болады.Мысалы, Жер массасы тонна есебімен мөлшерлеп алғанда алты секстиллион болады, ал бұл санды 21 нолі бар алты цифрі арқылы шұбырты жазбай, әлдеқайда қысқаша 6*10²¹ түрінде жезуға және «алты жерде онның жиырма бірінші дәрежесі» деп оқуға болады.Үлкен сандарды осылайша жазу тәсілі әсіресе осы заманғы физика және астрономияда өріс алған.

Натурал сандар нәрселерді санау нәтижесінде пайда болғандығы мәлім.Адамға шамаларды өлшеу қажет болғандығының және өлшеу нәтижесі әрдайым бүтін сандармен өрнектеле бермейтіндігінің салдарынан натурал сандар жиынын ұлғайтуға тура келді.Ноль және бөлшек сандар енгізілді.

Сан ұғымының тарихи даму процесі мұнымен аяқталмады.Алайда сан ұғымының ұлғаюына әрдайым алғашқы түрткі болып табылған жағдай адамдардың тек практикалық қажеттері ғана емес еді.Математиканың өз міндет-мақсаттары сан ұғымының ұлғаюын талап еткен жағдайлар да болған.Теріс сандардың пайда болуы дәл осылайша болған.Теріс ұғымы алгебралық теңдеулерді шешу практикасында пайда болды.

Натурал сандар жиынын бөлшек сандарға жеткізе ұлғайтқаннан кейін кез келген бүтін санды басқа бүтін санға бөлуге мүмкін болды.Ал азайтқыш азайғыштан артық болып келген жағдайда бүтін санды басқа бір бүтіннен азайту көпке дейін мүмкін емес болып көрінді.Алайда теңдеулерді шешкенде аз саннан көп санды азайтуға тура келетін жағдай жиі кездесетін, сондықтан теріс сан ұғымына тап болуға тура келетін.

Мысырлықтар мен вавилондықтар түгіл ежелгі гректер де теріс сандарды білмеген.Теріс сан ұғымы сызықтық теңдеулер системасын шешкенде пайда болады.Есептеп шығару жұмысымен шұғылданғанда ол кездегі математиктер есептеу тақтасымен пайдаланған, ал бұл тақтада сандар есептеу таяқшалары арқылы кескінделетін.Ол уақытта + және – таңбалары болмағандықтан оң сандарды қызыл түсті таяқшалармен ,ал теріс сандарды қара таяқшалармен кескіндеп көрсеткен.Теріс сандарды көп уақыт бойы «борыш», «кемшін» мағынасындағы сөздермен атаған.Тіпті VII ғасырдың өзінде Үндістан оң сандарды мүлік, теріс сандарды борыш ретінде қарастырған. Ежелгі Қытайда оң және теріс сандарды қосу және азайту ережелері ғана белгілі болған; көбейту және бөлу ережелері қолданылмаған.

Талай ғасырлар бойы түрліше халықтардың тілдерінде сынық сан деп бөлшектерді атаған. Адамзат қоғамы дамуының өте ерте кезеңінен өзінде-ақ бөлшек туралы түсінік қажет болған.

Бөлшекті санның бөлігі ретінде, бірлік үлестердің қандай да бір мөлшері ретінде түсініп ұғыну сонау Ежелгі Мысыр папирустарында, вавилондықтардың саз-балшық таблицаларында кездеседі.

Бүтін сан туралы ұғым сияқты, бөлшек туралы ұғым да уақыт озуымен байланысты дамып, ұлғайып отырған.Грек ғалымдары Евклид өзінің «Бастамаларында» және Никомах өзінің «Арифметикаға кіріспесінде» бөлшектерге жоламаған, өйткені оларды сан деп есептемеген.Ал Архимед бөлшектерді қолданғанмен оларды сан деп білмеген.Тек XVIII ғасырдың екінші жартысында ғана бөлшек ұғымы санның И.Ньютон тағайындаған жалпы анықтамасына сай қалыптасты. Ньютон санды бір шаманың сол тектес бір, бірлік ретінде қабылданған, шамаға қатынасы ретінде анықтайды.Бұл анықтама бөлшек ұғымына да тура келеді.

Петербург академиясының мүшесі ұлы математик Эйлердің өзінің «Универсал арифметикасында» баяндаған пікірінше ½ ұғымы қаншалықты заңды болса, 7/3 ұғымы да соншалықты заңды. Алайда ол бүтін сан болмағанмен, біз оны бөлшектер, немесе сынық сандар, деп аталатын ерекше текті сандар деп түсінеміз.

Бөлшектер үш типке бөлінеді: 1) бірлік бөлшектер немесе үлестер, мысалы 1/2 1/3 1/4 …т.с.с.; 2) системалық бөлшектер, яғни бөлімі берілген бөлшектер түрі үшін қабылданған санның дәрежесі болып келетін бөлшектер , мысалы бөлімі 10-ның немесе 60-тың дәрежелері болатын бөлшектер.Бөлімі 60, 60·60, 60·60·60 сандар болып келетін осы сияқты бөлшектерді ерте кезде вавилондық кемеңгерлер пайдаланған және әр түрлі операциялар қолданған 3) жалпы түрдегі бөлшектер, яғни алымы да, бөлімі де кез келген бүтін сан болуы мүмкін бөлшектер. Алымы бөлімінен артық бөлшектер орта ғасырда «жалған» бөлшектер деп атап, оларды дұрыс бөлшектерге,яғни «нақты» деп бөлшектреге кереғар қойған. Тек 17 ғасырдың екінші жартыжсында бөлшектерді жалған және нақты деп бөлмейтін болған. Бөлшектің қазіргі жазудың бастапқы нұсқасы 8 ғасырда

Үндістанда ойланып табылған. Сонан кейін бұл жазу Орта Азия елдеріне, олардан Европаға тараған.

Ондық бөлшекті жазғанда нөл цифры жиі қолданылады. Нольдың шығу тегінің, атауының, таңбасының қызық тарихы бар.

Абсолютті позициялық нумерацияның қай – қайсысында болса да санда жоқ разрядты білдіретін таңба қажет болады. Алпыстық позициялық нумерация алғаш өріс алған ежелгі Вавилонның өзінде ондық, кейініректе алпыстық та разрядтарды бір-бірінен айыруға арналған таңба біздің эрамызға дейінгі 5 ғасыр шамасында пайда болған, алайда бұл ьаңба үнемі қолданылып отырмаған.

Алпыстық бөлшектерді пайдаланған грек астрономдары разрядтарды бір-бірінен айыру үшін айрықша таңба қойған. Ол таңба «О» әрпі тәрізді болған. Ежелгі үндістанда 7- ғасырдың өзінде-ақ ондық позициялық санау системасы қолданылған еді де, онымен бірге ноль үнемі қолданылып отырған, оны нүктемен, кішкене дөңгелекпен белгілеген. Кейбір ғалымдардың пікірінше нольды дөңгелекпен белгілеуді гректер енгізді.

Үнділер нольды «сунья» деп атаған, бұл- санда разряд жоқ деген мағынадағы «бос» деген сөзді білдіретін. Европалықтар ондық позициялық санау системасын арабтардан үйренген, ал арабтар Үндінің «сунья» деген сөзін арабша «аз-сифр» деп аударған. Сондықтар 17 ғасырға дейін ноль «цифр» деп аталып келген. Магницкий де өзінің «Арифметикасында» нольды осылайша атаған. Европалықтар әуелде үнді арифметикасының нольдың бір құпия сыры бар деп есептеді. Сондықтан, құпия жазу атаулының бәрін «цифр» немесе «шифр» деп атайтын. «Ноль» деген сөз латынның «Nulla» «ешқандай» деген сөзінен шықты.

Қазіргі кездегі түсінігімізше ноль – разрядтарды айыру үшін қолданылатын таңба ғана емес, ол сан, басқа сандар сияқты, оны қосуға, азайтуға, көбейтуге,бөлуге болады. Тек міндетті бір ғана шарт- нольге бөлуге болмайды.

Есептеуде жай бөлшектерді ондық бөлшектерге айналдырып алу көп жағдайда тиімді болатын көрінеді, өйткені ондық бөлшектерге амалдар қолдану оңайлау болады.

Жай бөлшектерді ондық бөлшектерге айналдыру ісімен тіпті XVII ғасырдың өзінде итальян математигі Бонавентура Кавальери, ағылшын математигі Джон Валлис және басқа да ғалымдар шұғылданған.Бұл ғалымдар шексіз бөлу процесімен байланысты болатын периодты бөлшектерге кездескен. XVIII ғасырда периодты бөлшектер неміс ғалымы Иоганн Ламберт және Леонард Эйлер де қарастырып зерттеді.Периодты бөлшектердің толық теориясын XIX ғасырдың басында неміс математигі Карл Фридрих Гаусс жасады.

Шексіз қайталай беретін цифрлар тобына қатысты қолданылатын «период» термині гректің «периодос» - айналма, шеңбер бойымен деген сөзінен шыққан.

Ерте заманғы құрылыстарды – пирамидаларды, сарайларды, ғибатханаларды салғанда қолданылған плиталар мен кірпіштердің беттері үшбұрыш, төртбұрыш, квадрат және басқа да фигуралар тәрізді болатын.Жер танаптарын бөлгенде, оларды өлшегенде адамға осындай фигуралар кездесетін.Әр түрлі геометриялық фигуралармен таныса келе, адам олардың жалпы қасиеттерін де аңғара бастады.Осылайша, бірте-бірте фигуралар жөніндегі ғылым – геометрия қалыптаса бастады.Ежелгі Грекияда Пифагор мектебінде геометрия өрлей дамып, биік дәрежеге көтерілді.

Пифагор және оның шәкірттері тек геометрияны ғана емес, арифметиканы да дамытты, сонда олардың сандар жөніндегі ілімі геометриялық фигуралар жөніндегі іліммен тығыз ұштасып отырды.Пифагоршылар ұсақ сүйектерден немесе түйіршік тастардан әр түрлі фигуралар жасады,сандарды геометриялық фигуралар жасай топталатын нүктелер түрінде кескіндеді.Сандарды осылайша кескіндеу пифагоршылардың сандар қасиеттерін зерттеудегі жұмысын жеңілдетті.Геометриялық фигураларды пайдаланып кескіндеуге болатын сандар ілгері уақытта фигуралық сандар деп аталатын болды.Фигуралық сандар тек пифагоршыларда ғана емес, басқа да грек ғалымдарында: Эратосфенде, Никомахта, Диофантта және басқа ғалымдарда кездеседі.Үнді математиктері де фигуралық сандармен айналысты.

Фигуралық сандардың ең қарапайымдары – үшбұрыштық сандар: 1; 3; 6; 10; 15; 21; 28; 36; ...

Үшбұрыштық сандардың тізбегін былайша жасауға болады: натурал сандар қатарынан: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 11, 12, ...

әуелі 1 санын, сонан кейін алғашқы екі санның қосындысын (1+2=3), онан әрі алғашқы үш санның қосындысын,алғашқы төрт санның қосындысын т.с.с. аламыз.

Квадраттық сандар деп: 1, 4, 9, 25, 36; ...

Қатарының сандарын, яғни 1, 2, 3, 4, 5, 6,... натурал сандардың квадраттарын атайды.Сонымен квадраттық сандар қатарындағы n-ші сан n² болады.

Әр түрлі практикалық есептерді шығарғанда бір тектес шамаларды өзара салыстыруға, бүтін немесе бөлшек сандармен өрнектелген шамалардың қатынасын табуға тура келеді. Ерте заманда және бүкіл орта ғасырлар бойында дерлік тек натурал санды ғана, санау нәтижесінде шыққан бірліктер жиынын ғана сан деп түсінетін.Ал бір санды екінші санға бөлу нәтижесі болып табылатын қатынас сан болып саналмайтын.

Бірақ Орта Азия математиктері Омар Хайям мен Насыреддин ат-Туси еңбектерінде қатынас та сан, бүтін сандарға қолданылатын амалдарды қатынастарға да қолдануға болады деген пікір баяндалған болатын.

Санның жаңа анықтамасын айқын түрде тұңғыш рет XVII ғасырда ағылшынның дана ғалымы Исаак Ньютон баяндап берді.Ол өзінің «Жалпыға бірдей арифметикасында» былай деп жазды: «Біз сан деп бірліктер жиынын ғана түсінбей, бір шаманың бірлік ретінде алынған басқа бір шамаға дерексіз қатынасын сан деп түсінеміз».

Бұл анықтама бүтін сандарды да, бөлшек сандарды да қамтиды.

Тетелес жай сандардың шектеусіз тізбегі, яғни 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 19, 31, 41, 43, 47, … тізбегі жөнінде бірқатар сұрақ туады.Олардың тек кейбіреулеріне ғана оңай жауап беруге болады.

Мәселен, ең кіші жай сандар бар ма деген сұрақ туындайды.Ондай сандардың жоқ екенін дәлелдеу оңай. Шынында да тетелес натурал сандардың әрбір екеуінің бірі жұп, демек, егер ол 2-ден артық болса, ол құрама сан болады.

Дегенмен екеуі де жай сандар болатын көптеген тетелес тақ сандар пары бар, мәселен 3 пен 5, 5 пен 7, 11 мен 13, 17 мен 19, 29 бен 31, 41 мен 43 парлары.Осындай пар сандарды біз егіз сандардың парлары деп атаймыз. 30 миллионға дейінгі сандар ішінде осындай 152892 пар сандар бар.

1742 жылы Петербург ғылым академиясының мүшесі Христиан Гольдбах 2-ден артық әрбір жұп сан екі жай санның қосындысына тең болады, тақ санды үш жай санның қосындысы түрінде жазуға болады деген болжам айтты.

Мысалы: 12=5+7 32= 19+13 13=3+5+5 23=5+7+11

Осы болжам күні бүгінге дейін дәлелденгенде, теріске шығарылған да жоқ. Ол 100000-ға дейінгі барша сандар үшін тексерілген.

Математикада өзіне ғана тән қасиеттері бар көптеген қызықты сандар кездеседі, олардың кейбіреуіне атақты ғалымдардың аттары берілген. Мысалға, Капрекар тұрақтысы, Армстронг сандары, Фиббоначи сандары және т,б. Осылар сияқты басқа да сандардың өзіндік қасиеттері бар. Төменде сондай сандардың бір қатары қарастырылмақшы.

142857 саны. Егер бұл санды 1 мен 6 –ның арасындағы бүтін сандарға көбейтсек, онда шығатын көбейтінді тек осы санның цифрларынан жасалады.

142857 Х 1 = 142857

142857 Х 2 = 285714

142857 Х 3= 428571

142857 Х 4= 571428

142857 Х 5= 714285

142857 Х 6= 857142

u₁=u₂=1 u_n+2=u_n+ u_n+1 (n=1,2,3,…) шарттарымен анықталатын Фиббоначи тізбегін қарастырайық. Бұл тізбектің алғашқы мүшелері мыналар:

u₁=1 u₂=1 u₃=2 u₄=3 u₅=5 u₆=8 u₇=13 u₈=21, ...

n=3,4,5,7,11,13, 17,23, 29. 43, 47 үшін u_n сандары жай сандар болатыны дәлелденген.

1,1,3,5,8,13,21,...

v₁ =1 v₂=3 v_n+2=v_n+v_n+1 (n=1,2,3,…) анықталатын v_n қарастырайық. Бұл тізбектің алғашқы мүшелері:

1,3,4,7,11,18,29,47,...

1,3,5,7,9,11,13,15, ... тізбегін пайдаланамыз. u₁=1 аламыз, тізбектің u₁-ден артық ең кіші саны 3, бұл u₂. Алғашқы тізбектің әрбір үшінші санын сызып тастайық. Осы жолмен төмендегі тізбек құрамыз:

1,3,7, 9, 13, 15,...

Осы әдіспен шексіз u₁ , u_2,... тізбегін шығарып аламыз. Оның 100-ден кіші мүшелері: 1,3,7,9,13,15,21,25,31,33,37,43,49,51,63,67,69,73,75,79,87,93,99. Бұл тізбектегі сандарды бақытты сандар деп аталған.

Саусақты бүгіп санау ерте заманда кең қолданып келді. Адамның саусақтары мен олардың буындары, сондай-ақ саусақтарын бүгу және жазу, қолдарын бүгу мен жазу олардың ондаған және жүздеген мыңға дейін санай алуына ғана емес, сол сияқты,кейбір арифметикалық амалдарды орындауына да мүмкіндік берді.

Мысалы, ежелгі римдіктер 5 пен 10 сандарының арасындағы сандарды саусақпен былайша көбейткен. Айталық 6-ны 7-ге көбейту керек болсын.

Сол қолымыздың жұдырығын жазбастан, бір-бірлеп саусағымызды жаза отырып, 6-ға дейін санаймыз. Ал оң қолымыздың саусақтарымен дәл соны қайталап, 7-ге дейін санаймыз. Оң қолдың жазылған екі саусағын сол қолдың жазылған бір саусағының үстіне саламыз. Жазылған саусақ небары 3-еу болады, бұл- 3 ондық, яғни 30 болады. Қалған төртеуі 3-ке көбейтіледі. Сонда 12 шығады. Сөйтіп, 30+12=42

Саусақпен санау орта ғасырда да практикалық өмірде кең тараған болатын.

«Уақытты санау хақынды» кітап жазған ирландия ғалымы монах Беда Достопочтенный саусақпен санауға бүтін бір тарауды арнаған. Мәселен, 13-ті 14-ке көбейту былайша орындалады.

1. 
   10 x 10 =100 екені белгілі
   
2. 
   Бұдан кейін: бір қолдың 3 саусағын, екінші қолдың 4 саусағын бүгеді..
   
3. 
   3+4=7 бұл- ондықтар, яғни 7х 10=70
   
4. 
   3x4=12 бұл бірліктер,
   
5. 
   Сонымен: 13х14=10x10 + 7x10 +3x4 = 182
   

Позициялық ондық санау системасы толық қалыптасқан соң саусақпен санау келе-келе біртіндеп қалып қойған. Ал Европада 18 ғасырға дейін қолданылған.

Мысырлық математика папирустарында бөлшектерді «бірліктерге» жіктеу таблицалары, кейбір геометриялық фигураларды аудандарын және көлемдерін есептеп шығару ережелері, ескерткіштердің салмағын анықтауға берілген есептер, статуялар орнату үшін қажетті құрылыс материалдары мен күн санын табуға берілген және басқа да практикалық есептер бар. Осы папирустарды зерттей келе, натурал сандарды арифметикалық қосу мен азайту амалдары мысырлықтарда негізінен қазіргі кездегідей орындалатын, ал көбейту мен бөлуді мысырлықтар тізбектеп екі еселеумен қосуға келтіретін.

Мысалы. 15х13

Шешуі: /1 15 15х13= (1+4+8)=15+60+120=195

2. 
   30
   

/8 120
Сөйтіп, екі баған құрастырамыз, біріншісінің басында 1, ал екіншісінің басында көбейгіш 15 тұратын болсын. Сол жақ бағандағы кейбір сандарды қоса отырып, 13 көбейткіші шыққанға дейін, ол сандар бірте-бірте екі еселенеді. Ізделінді көбейтіндіні шығарып алу үшін қосу керек болатын оң жақ бағанның сандарысол жақбағанның қиғаш сызығымен белгіленген сандарына сәйкес келеді.

Бөлу көбейтуге кері бағытта келтіріледі:

195 / 15 = (15+60+120) / 15=1+4+8=13.

Көне мысырлық тәсілге «орысша көбейту тәсілі» деп аталатын тәсіл жақын, оны революцияға дейінгі деревня шаруалары қолданып келген. Ол біреуі қайталанып екі еселенетін, ал екіншісі бір саны шыққанға дейін екіге айырылатын көбейткіштің көбейтіндісін тізбектеп алмастыруға негізделген.

Сандардың атаулары, шығу тарихында көптеген сыр жатыр. Апта күндері «сенбі» сөзінің алдына парсының 1-жек, 2- дүй, 3—сей, 4-сәр, 5-бей реттік сан есімдерін қою арқылы жасалған. Ағылшын тіліндегі апта күндерінің атауларын қарастырайық: Sunday- жексенбі, Monday –дүйсенбі, Tuesday –сейсенбі, Wednesday-сәрсенбі, Thursday-бейсенбі, Friday –жұма, Saturday –сенбі. Қазақ тілінде апта күндерінің атауларының жоғарыдағы жасалуын ескере отыра, ежелде апта барлық халықтарда жексенбіден басталған деп ойлаймын.