Министерство образования и науки Российской Федерации
Санкт-Петербургский национальный исследовательский
университет информационных технологий,
механики и оптики
Региональная студенческая
математическая олимпиада
Санкт-Петербурга
2013 г.
Санкт-Петербург
2013
В 2000-2013 гг. студенческая олимпиада г. Санкт-Петербурга по математике проводилась Санкт-Петербургским национальным исследовательским университетом информационных технологий, механики и оптики (до 2011 года носившем название Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, СПбГУ ИТМО). В 2013 году каждый вуз мог выставить на олимпиаду одну или две команды по 3 человека (в командный зачет входили все участники команды) и студентов в личный зачет. В личном зачете участвовали все заявленные студенты. Результат вуза в командном зачете определялся по результату лучшей из его команд (если их две).
Олимпиада проводилась в воскресенье 20 октября 2013 года. На решение задач отводилось 4 часа. Пользоваться справочной литературой не разрешалось. Студентам всех групп было предложено 12 задач. Каждая задача оценивалась в 10 баллов.
Председателем жюри был профессор СПбГУ Н.А. Широков. В оргкомитет олимпиады входили: ректор НИУ ИТМО чл.-корр. РАН Васильев В.Н., проф., д.ф.-м.н Попов И.Ю., доц., к.ф.-м.н. Фролов В.М., доц., к.т.н. Блинова И.В.
Составители: проф., д.ф.-м.н. Н.А. Широков, проф., д.ф.-м.н. Попов И.Ю., доц.: к.ф.-м.н. Фролов В.М., к.ф.-м.н. Рыжков А.Е., к.ф.-м.н. Трифанова Е.С., к.т.н. Блинова И.В., ст. преп. Родина Т.В., асс., к.ф.-м.н.: Трифанов А.И., ст. преп. Петтай П.П., асс. Попов А.И.
Задачи студенческой математической олимпиады Санкт-Петербурга
20 октября 2013 года
1. Существует ли непрерывная функция , график которой пересекает каждую невертикальную прямую бесконечное число раз?
2. Дифференцируемые функции линейно независимы. Доказать, что среди производных по крайней мере 2012 линейно независимых функций.
3. - вещественная функция, определенная при всех , кроме и , и удовлетворяющая функциональному уравнению .
Найти все такие .
4. Определить радиус наибольшей окружности, которая может лежать на эллипсоиде
5. Найти
6. Установить, при каких , , существует решение следующей задачи, и найти это решение:
, ,
7. - непрерывная функция на . Доказать:
8. , , - строго убывающая последовательность положительных вещественных чисел такая, что . Найти наименьшую константу такую, что неравенство выполнено для всех .
9. Функция определена на положительных целых числах и принимает неотрицательные целые значения. Известно, что , , и для любых , : , где . Найти .
10. Найти все полиномы , удовлетворяющие для всех x: .
11. Найти .
12. Матрица имеет размер , а матрица - . Известно, что . Найти .
Решения задач
1. Да. Например, . С одной стороны, у нее бесконечное число нулей, а с другой стороны, для любой невертикальной прямой бесконечное число значений в точках по модулю превосходят значение ординаты на прямой.
2. Возьмем максимальное множество линейно независимых производных. Не умаляя общности, можно считать, что это , где . Если , то и могут быть представлены как линейные комбинации , то есть существуют вещественные числа такие, что:
Значит
Исключая и из этой системы, получим линейную комбинацию , которая обнуляется. Противоречие. Значит
3. В заданном уравнении
(1)
подставим вместо и получим
(2)
В (1) подставим вместо и получим:
(3)
Складывая (1) и (3) и вычитая (2), находим
, (4)
то есть если решение есть, оно дается формулой (4). Подставляя функцию (4) в (1), проверяем, что она удовлетворяет уравнению.
Ответ: .
4. Так как параллельные сечения эллипсоида – всегда подобные эллипсы, круговое сечение увеличивается в размере при переходе к параллельному ему, проходящему через центр эллипсоида. Всякая плоскость, проходящая через , дающая круговое сечение, пересекается с плоскостью . Поэтому диаметр кругового сечения должен быть одним из диаметров эллипса (т.е. отрезков, соединяющих точки эллипса и проходящих через его центр) . Значит, радиус круга . Аналогичное рассуждение для плоскости дает: . Значит, . Это и есть искомый радиус. Чтобы показать, что круговое сечение радиуса существует, достаточно взять плоскость : .
5. Замена переменных дает:
.
Но сумма этих интегралов есть . Поэтому каждый из них равен . Предел также равен .
6. Пусть . Тогда задача сводится к задаче Коши:
Ее решение:
Подставим в формулу для и получим Решение есть при :
Ответ:
7. По неравенству Коши-Буняковского:
.
Участником олимпиады Бабушкиным М.В. (НИУ ИТМО) было замечено, что при другом порядке применения неравенства Коши-Буняковского оценка получается лучше:
8. Учитывая свойства , имеем:
для любого . Значит,
.
То есть подходит, обеспечивая даже строгое неравенство для любого . Покажем, что константу нельзя уменьшить. Возьмем семейство последовательностей с , определенную следующим образом: , , Очевидно, эта последовательность строго монотонно убывающая для любого такого и сумма ее равна 1. Заметим, что:
Поэтому для любого найдется такое, что требуемое неравенство нарушается для Значит, минимальное значение есть 1.
9. Так как , имеем для любого , то есть неубывающая. Так как , должно быть . Имеем , то есть
Для любого
Так как , должно быть выполнено: для всех Следовательно, . Поскольку , имеем:
10. Если , то или . Пусть - непостоянный полином. Тогда . Действительно, , допустим, Тогда , где и Из данного условия получаем:
или что невозможно, так как
С другой стороны, если для некоторого , то , что влечет .
Действительно, если , то , то есть мы можем последовательно получить бесконечное число различных корней полинома , что невозможно.
Заметим, что старший коэффициент полинома равен 1, что следует из заданного соотношения. Так как по теореме Виета ( - все корни ), то имеем: . Из и получаем . Это значит, что . Ясно, что Легко проверить, что:
.
Значит Ответ:
11. Пусть . Тогда при :
Значит .
12. Прямым вычислением находим Также вычисляем квадрат матрицы и получаем . Заметим, что Но имеет размер , поэтому Значит, невырожденная и существует . Отметим, что . Умножаем это равенство дважды слева на и получаем:
Количество участников, решивших задачи (определено по формуле: полная сумма набранных всеми участниками баллов за задачу, деленная на 10 (стоимость задачи)).
№ задачи
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
10
|
11
|
12
|
Кол-во решивших
|
38,1
|
24,8
|
15,2
|
10,4
|
15,7
|
22,3
|
12,7
|
5,5
|
39,2
|
5,9
|
8
|
6,3
|
Достарыңызбен бөлісу: |