Справочник по математическим формулам и графикам функций для студентов

С. Старков

978591180830

Содержание

Некоторые обозначения .......................................................... 13

Часть 1. Формулы .........................................................15

1. Формулы сокращенного

умножения и другие тождества ...............................................17

2. Формулы разложения многочленов на множители .......... 18

Разложения на множители некоторых многочленов 2-й, 3-й и 4-й степе-

ни _ Схема Горнера деления многочлена на двучлен _ Теорема о подбо-

ре корней многочлена с целочисленными коэффициентами _ Разложе-

ние многочлена n-й степени на простейшие множители

3. Действия с дробями .............................................................. 20

4. Средние величины. Пропорции. Проценты ........................ 21

5. Модуль (абсолютная величина) .......................................... 22

6. Степени и корни. Логарифмы .............................................. 27

Степени с натуральным, целым и рациональным показателем. Арифме-

тический корень _ Свойства арифметических корней _ Свойства степени

с действительным показателем _ Свойства логарифмов

Арифметическая прогрессия _ Геометрическая прогрессия

Рациональные уравнения _ Уравнения, содержащие знак модуля _ Ир-

рациональные уравнения _ Показательные уравнения _ Логарифмичес-

кие уравнения _ Тригонометрические уравнения

Рациональные неравенства _ Неравенства, содержащие знак модуля

_ Иррациональные неравенства _ Показательные неравенства _ Лога-

рифмические неравенства _ Тригонометрические неравенства

Основные тождества _ Свойства четности и нечетности _ Формулы сло-

жения _ Формулы кратных углов _ Формулы половинных углов _ Фор-

мулы преобразования суммы в произведение _ Формулы преобразования

произведения в сумму _ Выражение функций через тангенс половинного

угла _ Формулы приведения _ Обратные тригонометрические функции

_ Дополнительные тождества _ Связь радианной и градусной меры угла

_ Таблица значений тригонометрических функций

Треугольники _ Вычисление площади треугольника _ Теорема Пифагора

_ Теорема синусов _ Теорема косинусов _ Четырехугольники _ Вычисле-

ние площади четырехугольника _ Окружность и круг _ Вычисление объ-

емов и площадей поверхности

13. Векторы............................................................................... 39

Прямоугольные и полярные координаты точки на плоскости _ Пря-

моугольные и цилиндрические координаты точки в пространстве

_ Прямоугольные и сферические координаты точки в пространстве

_ Проекция вектора на ось _ Проекции вектора на оси прямоугольной

системы координат OXYZ _ Задание вектора в координатной форме

_ Расстояние между двумя точками _ Модуль (длина) вектора _ На-

правляющие косинусы вектора _ Единичный вектор _ Нулевой вектор

_ Вектор, противоположный вектору _ Равенство векторов _ Сложение

и вычитание векторов _ Умножение вектора на число _ Орт ненулевого

вектора _ Признак коллинеарности двух ненулевых векторов _ Линей-

ная комбинация векторов _ Линейная независимость системы ненулевых

векторов _ Линейная зависимость системы векторов _ Связь коллинеар-

ности и линейной зависимости двух векторов _ Связь компланарности

и линейной зависимости трех векторов _ Разложение вектора по базису

в пространстве _ Разложение вектора по трем некомпланарным векто-

рам _ Разложение вектора по базису прямоугольной системы координат

OXYZ _ Преобразование координат в пространстве _ Преобразование ко-

ординат на плоскости при параллельном переносе и повороте осей _ Вы-

числение скалярного произведения в координатной форме _ Угол меж-

ду векторами _ Условие перпендикулярности двух ненулевых векторов

_ Вычисление векторного произведения в координатной форме _ Усло-

вие коллинеарности двух векторов _ Вычисление смешанного произве-

дения в координатной форме _ Условие компланарности трех векторов

Содержание 7

Уравнение прямой, проходящей через заданную точку перпендику-

лярно заданному вектору _ Общее уравнение прямой _ Неполные

уравнения прямой _ Нормальное уравнение прямой _ Уравнение пря-

мой в полярных кординатах _ Уравнение прямой с угловым коэффици-

ентом _ Уравнение прямой «в отрезках» _ Параметрическое уравнение

прямой, проходящей через заданную точку параллельно заданному век-

тору _ Каноническое уравнение прямой, проходящей через заданную

точку параллельно заданному вектору _ Уравнение прямой, проходя-

щей через две заданные точки _ Угол между двумя прямыми _ Рассто-

яние от точки до прямой _ Расстояние от начала координат до прямой

_ Условие пересечения двух прямых и координаты точки пересечения

_ Условие совпадения двух прямых _ Условие принадлежности трех

заданных точек одной прямой

Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикуляр-

но заданному вектору _ Общее уравнение плоскости _ Неполные уравне-

ния плоскости _ Нормальное уравнение плоскости _ Уравнение плоскос-

ти «в отрезках» _ Уравнение плоскости, проходящей через три различные

точки, не лежащие на одной прямой _ Расстояние от точки до плоскости

_ Угол между двумя плоскостями _ Параметрическое уравнение прямой

в пространстве, проходящей через заданную точку параллельно заданному

вектору _ Каноническое уравнение прямой в пространстве _ Уравнение

прямой в пространстве, проходящей через две различные точки _ Угол

между прямой и плоскостью _ Задание прямой в пространстве как линии

пересечения двух непараллельных плоскостей

Эллипс _ Окружность _ Гипербола _ Парабола _ Архимедова спираль

_ Астроида _ Декартов лист _ Улитка Паскаля _ Кардиоида _ Конхоида

Никомеда _ Лемниската Бернулли _ Локон Аньези _ Циклоида _ Эпи-

циклоиды _ Эпитрохоиды _ Розы _ Гипоциклоиды _ Гипотрохоиды

17. Канонические уравнения поверхностей 2-го порядка ...... 57

Эллипсоид _ Однополостной гиперболоид _ Двухполостной гипербо-

лоид _ Конус второго порядка _ Эллиптический параболоид _ Гипер-

болический параболоид _ Эллиптический цилиндр _ Гиперболический

цилиндр _ Параболический цилиндр _ Пара пересекающихся плоскос-

тей _ Пара параллельных плоскостей

Определитель первого порядка _ Определитель второго порядка _ Опре-

делитель третьего порядка _ Определитель n-го порядка _ Алгебраичес-

кое дополнение _ Свойства определителей _ Решение системы n линей-

ных алгебраических уравнений с n неизвестными по формулам Крамера

19. Матрицы .............................................................................. 61

Прямоугольные матрицы размера m×n _ Равенство матриц _ Нулевая

матрица _ Противоположная матрица _ Сложение матриц одинакового

размера _ Умножение матрицы на число _ Умножение матриц согласо-

ванного размера _ Свойства единичной матрицы _ Обратная матрица

_ Вычисление обратной матрицы методом присоединенной матрицы

_ Решение системы n линейных алгебраических уравнений с n неиз-

вестными методом обратной матрицы _ Ранг матрицы _ Теорема Кро-

некера–Капелли о совместности систем m линейных уравнений c n не-

известными

Свойства сходящихся последовательностей _ Сходимость монотонной

и ограниченной последовательности _ Критерий Коши сходимости пос-

ледовательности _ Свойства функций, имеющих предел (правила вы-

числения пределов) _ Односторонние пределы функции _ Условие су-

ществования предела функции _ Пределы функции «на бесконечности»

_ Бесконечные пределы _ Замечательные пределы _ Бесконечно малые

и бесконечно большие функции _ Таблица эквивалентных бесконечно

малых _ Точки разрыва _ Свойства функций, непрерывных на отрезке

21. Производная и дифференциал.......................................... 70

Конечные и бесконечные производные _ Односторонние производные

_ Условие существования производной функции _ Существование произ-

водной и непрерывность _ Производные основных элементарных функций

(таблица производных) _ Производные гиперболических функций _ Пра-

вила дифференцирования _ Производная сложной функции _ Производ-

ная обратной функции _ Производная функции, заданной параметрически

_ Производная функции, заданной неявно _ Производная показательно-

степенной функции _ Производные высших порядков _ Формулы Тей-

лора и Маклорена _ Теорема Ферма. Необходимое условие экстремума

функции _ Теорема Ролля _ Теорема Лагранжа _ Теорема Коши _ Прави-

ло Лопиталя для раскрытия неопределенностей _ Уравнение касательной

к графику функции _ Уравнение нормали к графику функции _ Прибли-

Содержание 9

женные вычисления с помощью дифференциала _ Дифференциалы вы-

сших порядков _ Выражение производных через дифференциалы

Первообразная _ Неопределенный интеграл _ Свойства неопределенно-

го интеграла _ Таблица интегралов _ Метод интегрирования с помощью

замены переменной _ Метод интегрирования по частям _ Интегрирова-

ние рациональных дробей _ Интегрирование простейших рациональных

дробей _ Интегралы от некоторых рациональных дробей _ Интегралы от

некоторых иррациональных функций _ Интегралы от некоторых показа-

тельных и логарифмических функций _ Интегралы от некоторых триго-

нометрических функций

23. Определенный интеграл .................................................... 85

Связь определенного и неопределенного интеграла _ Формула Ньюто-

на–Лейбница _ Свойства определенного интеграла _ Оценки значения

определенного интеграла _ Метод интегрирования с помощью замены

переменной _ Метод интегрирования по частям _ Вычисление площадей,

длин дуг и объемов с помощью определенного интеграла

Несобственные интегралы 1-го рода _ Несобственные интегралы 2-го рода

_ Гамма-функция _ Значения некоторых несобственных интегралов

25. Частные производные

и дифференциалы функций нескольких переменных .... 91

Частная производная функции _ Производная функции по направле-

нию _ Частные производные высшего порядка _ Полная производная

сложной функции _ Частные производные сложной функции _ Част-

ные дифференциалы _ Полный дифференциал _ Дифференциалы n-го

порядка _ Формула Тейлора _ Необходимые условия экстремума фун-

кции _ Достаточные условия экстремума функции _ Уравнение каса-

тельной плоскости и нормали к поверхности

Вычисление двойного интеграла через повторные _ Свойства двой-

ного интеграла _ Вычисление двойного интеграла в полярных корди-

натах _ Вычисление площадей и объемов с помощью двойного инте-

грала _ Вычисление тройного интеграла через повторные _ Свойства

тройного интеграла _ Вычисление тройного интеграла в цилиндри-

ческих и сферических кординатах _ Вычисление объемов с помощью

тройного интеграла

Вычисление криволинейных интегралов 1-го рода _ Вычисление криво-

линейных интегралов 2-го рода _ Формула Грина _ Вычисление поверх-

ностных интегралов 1-го рода _ Вычисление поверхностных интегралов

2-го рода _ Формула Стокса _ Формула Гаусса–Остроградского

28. Дифференциальные операции векторного анализа ......... 98

Оператор Гамильтона _ Градиент функции _ Производная функции по

направлению _ Дивергенция вектор-функции _ Ротор вектор-функции

_ Оператор Лапласа. Дифференциальные операции 2-го порядка

Сходящиеся и расходящиеся числовые ряды _ Свойства сходящихся число-

вых рядов _ Необходимое условие сходимости числового ряда _ Достаточ-

ное условие расходимости числового ряда _ Знакопостоянные числовые

ряды. Достаточные признаки сходимости и расходимости _ Знакопере-

менные и знакочередующиеся числовые ряды. Абсолютная и условная

сходимость _ Сложение и умножение степенных рядов _ Дифференци-

рование и интегрирование степенных рядов _ Разложения функций в сте-

пенные ряды _ Значения сумм некоторых числовых рядов

30. Тригонометрические ряды Фурье ................................... 105

31. Элементы теории

обыкновенных дифференциальных уравнений ............ 106

Дифференциальное уравнение с разделенными переменными _ Диффе-

ренциальное уравнение с разделяющимися переменными _ Дифферен-

циальное уравнение, однородное относительно аргумента и функции

_ Линейное дифференциальное уравнение 1-го порядка _ Уравнение

Бернулли _ Уравнение в полных дифференциалах _ Линейное одно-

родное дифференциальное уравнение 2-го порядка с постоянными ко-

эффициентами _ Линейное однородное дифференциальное уравнение

Степени числа i _ Алгебраическая форма комплексного числа _ Равенс-

тво комплексных чисел _ Комплексно сопряженное число _ Модуль ком-

плексного числа _ Аргумент комплексного числа _ Множество значений

аргумента _ Действия над комплексными числами в алгебраической фор-

ме _ Свойства действий над комплексными числами _ Тригонометричес-

кая форма комплексного числа _ Действия над комплексными числами

в тригонометрической форме _ Показательная форма комплексного числа

Содержание 11

_ Действия над комплексными числами в показательной форме _ Рас-

стояние между точками _ Уравнение прямой _ Уравнение окружности

_ Разложение многочлена на линейные множители _ Основная теорема

алгебры

33. Элементы теории

функций комплексной переменной ................................ 116

Основные функции комплексной переменной _ Гиперболические функ-

ции _ Производная функции комплексной переменной _ Вычисление

интегралов _ Формула Ньютона–Лейбница _ Теорема Коши _ Инте-

гральная формула Коши _ Ряды Тейлора _ Ряды Лорана _ Особые точ-

ки _ Классификация изолированных особых точек _ Вычеты. Основная

теорема о вычетах

34. Элементы теории вероятностей ...................................... 120

Число сочетаний без повторений из n элементов по k _ Число размеще-

ний без повторений из n элементов по k _ Число перестановок без пов-

торений из n элементов по n _ Число размещений с повторениями из

и умножения событий _ Правило сложения вероятностей _ Условная

вероятность. Независимые события _ Правило умножения вероятнос-

тей _ Формула полной вероятности _ Формула Байеса. Пересчет ве-

роятностей гипотез _ Повторение испытаний с двумя исходами. Фор-

мула Бернулли _ Функция распределения случайной величины _ Ряд

распределения дискретной случайной величины _ Плотность распреде-

ления непрерывной случайной величины _ Математическое ожидание

и дисперсия дискретной случайной величины с n значениями _ Математи-

ческое ожидание и дисперсия непрерывной случайной величины _ Сред-

нее квадратическое отклонение _ Биномиальное распределение _ Распре-

деление Пуассона _ Равномерное распределение _ Нормальное распреде-