Урок Непрерывность обратных функций План урока

Формулируются теоремы о множестве значений непрерывной на промежутке функции, доказывается теорема Больцано-Коши о нуле непрерывной функции. Формулируется и доказывается достаточное условие непрерывности для монотонной функции. Эти утверждения применяются для обоснования непрерывности широкого класса элементарных функций.

Например, функция на отрезке строго возрастает. Отсюда следует, что если , , и , то при будем иметь неравенство , а при — неравенство , то есть различным значениям из отрезка соответствуют различные значения функции .

Когда функция , рассматриваемая на множестве , имеет обратную, то для определения обратной функции нужно знать множество значений функции . В нахождении множества значений непрерывной функции часто помогает следующее утверждение.

Эту теорему иногда называют теоремой о промежуточных значениях непрерывной функции.

Теорему о промежуточных значениях непрерывной функции можно применять для доказательства существования корней некоторых уравнений.

Пример 1. Доказать, что уравнение имеет корень, принадлежащий интервалу .

Доказательство. Функция непрерывна на всей числовой прямой. Рассмотрим отрезок . Функция непрерывна на этом отрезке, , , а число находится между числами и . Поэтому по теореме 11 существует такое число из интервала , что . Следовательно, уравнение на отрезке имеет какой-то действительный корень.

+

4.2. Теорема о нуле непрерывной функции

Разберем доказательство теоремы 12, использующее метод деления пополам.

Доказательство. Пусть, для определенности, и . Обозначим , . Тогда , . Далее шаг за шагом выполним следующие построения.

I шаг. Разделим точкой отрезок на два равных отрезка и вычислим . Если , то теорема доказана и процесс заканчивается. Если , то обозначим , ; если же , то обозначим , . В результате получаем, что , .

II шаг. Разделим точкой отрезок пополам и вычислим . Если , то теорема доказана и процесс заканчивается. Если , то обозначим , ; если же , то обозначим , . В результате получаем, что , .

И так далее: получив на очередном шаге отрезок , делим его точкой пополам, вычисляем и, аналогично предыдущему, либо заканчиваем процесс, либо строим отрезок так, что , .

В том случае, когда указанный процесс не заканчивается через конечное число шагов, появляется последовательность вложенных друг в друга отрезков, длина которых стремится к нулю. По аксиоме Кантора найдется единственная точка , общая для всех отрезков, причем , .

По условию функция непрерывна на отрезке , а поэтому непрерывна в точке . Следовательно, и . Но так как , то , откуда . С другой стороны, , а поэтому , откуда следует равенство . Тем самым теорема 11 доказана.

(Приложение – портрет, рис. 1)

(Приложение – портрет, рис. 2)

(Приложение – портрет, рис. 3)

Доказательство. Предположим для определенности, что функция является строго возрастающей. Возьмем произвольную точку . Для любого положительного числа рассмотрим числа и (если , то примем , если , то примем ). На промежутке найдутся такие числа и , что , . Пусть . Тогда в силу строгой монотонности функции для любого из -окрестности числа выполняются неравенства , откуда следует непрерывность функции в точке . В случае строго убывающей функции доказательство совершенно аналогично. Легко понять, как изменить доказательство, если точка является одним из концов промежутка .

Из теоремы 13 следует, что функция непрерывна в каждой точке своей области определения.

Аналогично определяется логарифмическая функция при и доказывается ее непрерывность.

Вопрос. Как доказать, что



4.6. Непрерывность обратных тригонометрических функций
Напомним, что функция , рассматриваемая на отрезке , строго возрастает, непрерывна и принимает все значения из отрезка . Поэтому обратная к ней функция определена на отрезке , строго возрастает и принимает все значения из отрезка . Отсюда по теореме 13 получаем непрерывность функции в каждой точке своей области определения.

Аналогично доказывается непрерывность функций и на всей области определения.

Для этого возьмем произвольную точку и, обозначив через наименьшее расстояние от до концов промежутка , рассмотрим последовательности и . Предположим для определенности, что функция является строго возрастающей.

1. 
   Покажите, что последовательности и имеют пределы.
   
2. 
   Обозначив эти пределы через и , объясните, почему .
   
3. 
   Объясните, почему для любого выполняется неравенство , а для любого выполняется неравенство .
   
4. 
   Приведите к противоречию предположение .
   
5. 
   Почему ?
   
6. 
   Возьмите любое положительное число и покажите, что для любого достаточно большого номера выполняются неравенства.
   

1. 
   Возьмите любую такую последовательность , что , , и покажите, что найдется такое число , что для всех будут выполнены неравенства .
   
2. 
   Придите к выводу, что для любого положительного числа найдется такое число , что для всех будут выполнены неравенства
   

Какие изменения нужно внести в рассуждения, если точка совпадает с одним из концов промежутка ? Как изменить полученное доказательство непрерывности монотонной функции, множество значений которой является промежутком, для случая строго убывающей функции?

И наконец, докажите, что у произвольной монотонной функции точки разрыва могут быть только первого рода (см. урок 2).
Проверь себя. Непрерывность обратных функций
Задание 1. Укажите правильный вариант ответа.
Каково множество значений функции на отрезке :

1. ; 2. ; 3. ; 4. ?

(Правильный вариант: 1)

(Правильный вариант: 3)

(Правильный вариант: 2)

(Правильный вариант: 1)

(Правильный вариант: 3)

(Правильный вариант: 4)

(Правильные варианты: 1, 2)

Какая из функций является обратной к функции , рассматриваемой на промежутке :

1. ;

2. ;

3. ;

4. ?

(Правильные варианты: 3, 4)

а) , , ;

б) , , ;

в) , , ;

г) , , ;

д) , , .

2. Найдите множество значений функции на отрезке , если:

а) , , ;

б) , , ;

в) , , ;

г) , , .

3.** Найдите множество значений функции на всей области определения:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) ;

е) .

4.** С точностью до найдите:

а) корень уравнения из интервала ;

б) корень уравнения из интервала ;

в) корень уравнения из интервала ;

г) корень уравнения из интервала .

5. Докажите, что функция непрерывна в точке , если:

а) и ;

б) и ;

в) и ;

г)  и .

6.* Найдите предел:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е)  .

7. Докажите, что функция непрерывна в точке , если:

а) и ; б) и ; в)  и ; г) и .

8. Найдите предел:

а) ; б) ; в) .

9. Найдите предел:

а)  ; б)  ; в)  ; г)  ; д)  ; е)  .

10.* Найдите предел:

а)  ; б)  ; в)  .

11.** Докажите, что .

12.** Докажите, что функция не имеет предела в нуле.
Словарь терминов
Монотонная функция. Монотонные – общее названии для функций, изменяющихся в одном направлении, то есть для возрастающих, строго возрастающих, убывающих, строго убывающих. Функция называется возрастающей на множестве , если для любых чисел и из неравенство влечет неравенство . Функция называется строго возрастающей на множестве , если для любых чисел и из неравенство влечет неравенство . Функция называется убывающей на множестве , если для любых чисел и из неравенство влечет неравенство . Функция называется строго убывающей на множестве , если для любых чисел и из неравенство влечет неравенство .
Непрерывность функции в точке. Функция называется непрерывной в предельной точке области определения, если . Часто дают немного отличное от приведенного определение непрерывности функции в точке – функция называется непрерывной в точке из области определения , если для каждого положительного числа найдется такое, что при всех , удовлетворяющих условиям и , выполняется неравенство . Это определение позволяет считать функцию непрерывной во всякой изолированной точке своей области определения.
Непрерывность функции на множестве. Функция называется непрерывной на множестве , если непрерывна в каждой точке множества .

Рисунки (названия файлов)
Рисунок 1. – Bolzano_3.jpg

Рисунок 2. – Cauchy.jpg