В задачах 1 – 6 вычислить интегралы
жүктеу/скачать 55.41 Kb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- ТЕМА 6. КРИВОЛИНЕЙНЫЙ ИНТЕГРАЛ
- ТЕМА 7. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПОВЕРХНОСТНОГО
- Q = dS.
- Q = dS, где D = пр xoz Q.
5.3. Задачи для самостоятельного решения
В задачах 1 – 6 вычислить интегралы.1. Ответ. О (0, 0), A (4, 0), B (4, 2), C (0,2). Ответ. 24. 4.  , где Г – первая арка циклоиды х = a (t – sin t),
y = a (1 – cos t). Ответ. 4 а 5.  , где Г – четверть эллипса  = 1, лежащая в первом квадранте. Ответ.  .
6.  , где Г – окружность х2 + у2 = а х.
Ответ. 7. Найти длину дуги полукубической параболы у2 = х3 от начала координат до точки (4, 8). Ответ. 8. Найти длину кардиоиды r = a (1 + cos ). Ответ. 8 а. 9. Найти длину петли линии x = t2, y = t - Ответ. 4 10. Найти массу участка линии у = ln x между точками с абсциссами х1 и х2, если плотность линии в каждой точке (х) = х2. Ответ. 11. Найти массу первого витка винтовой линии х = а сos t, y = а sin t, z = b t, плотность которой в каждой точке равна квадрату полярного радиуса этой точки. Ответ. 5.4. Варианты проверочной работы Вариант 11. Найти массу дуги окружности х = cos t, y = sin t (0 t ), если линейная плотность ее в каждой точке равна у. 2. Найти длину отрезка прямой у = 2 – х от точки А (3, -1) до В (0, 2).
Вариант 21. Найти длину отрезка прямой у =  + 1 от точки
А (2, 2) до В (4, 3). 2. Найти массу дуги окружности x = R cos t, y = R sin t, 0 t Вариант 31. Найти длину первого витка винтовой линии х = 2 cos t, у = 2 sin t, z = t, 0 t 2 . 2. Найти массу окружности х2 + у2 = ах, если плотность = у.
Вариант 41. Найти массу отрезка прямой у = + 1 от точки
A ( 0, 1) до точки B (4, 3), если плотность = х + 3у. 2. Найти длину окружности х2 + у2 = ау.
Вариант 51. Найти длину линии r = sin3  , если  .
2. Найти массу участка кривой x = t, y = если t = [0, 1], а плотность = x + z.
Вариант 61. Найти длину астроиды x = a cos3 t, y = a sin3 t. 2. Найти массу отрезка прямой х + у = а, заключенного между координатными осями, если плотность = х у.
Вариант 71. Найти длину полукубической параболы y =  ,
если x [-1, 4]. 2. Найти массу участка линии x = t, y = t [0, 1], а плотность = х + Вариант 81. Найти длину участка линии х =  t3 – t, y = t2 + 2,
если t [0, 3]. 2. Найти массу правого лепестка лемнискаты r2 = a2 cos 2 , если плотность = х + у. Вариант 91. Найти длину первой арки циклоиды x = a (t – sin t), y = a (1 – cos t). 2. Найти массу дуги параболы у2 = 2 р х, отсеченной параболой х2 = 2 р у, если плотность = у. Вариант 101. Найти длину участка линии х =  у2 -  ln y, если
у [1, е]. 2. Найти массу четверти эллипса x = a cos t, y = b sin t, если плотность = ху.
Р (x, y) dx + Q (x, y) dy перейти к одной переменной. II. Если требуется вычислить криволинейный интеграл по замкнутому контуру L Т.е. криволинейный интеграл сводится к двойному интегралу по области D, ограниченной контуром L. Криволинейный интеграл 2-го рода, в отличие от криволинейного интеграла 1-го рода, зависит от направления интегрирования. При смене направления на противоположное интеграл меняет знак.
= Пример 2. Применяя формулу Грина, показать, что криволинейный интеграл  + (3х2 + 5х) dy по любому замкнутому контуру равен нулю.
Решение. Функции P (x, y) и Q (x, y) из формулы Грина у нас имеют вид: P (x, y) = 6 ху + 5у, Q (x, y) = 3х2 + 5х. Поэтому Тогда = О (0, 0) до точки A (2, 4). Ответ. - 2.  , где Г – контур треугольника, образованного осями координат и прямой +  = 1, проходимый против движения часовой стрелки. Ответ. 3.
3.  , где Г – контур квадрата с вершинами
A (1, 0), B (0, 1), C (-1, 0), D (0, -1). Ответ. – 4. 4. Применяя формулу Грина, вычислить  + (х + у)2 dy, где Г – контур треугольника с вершинами A (1, 1), B (2, 2), C (1, 3). Ответ. -  .
5. Вычислить  + (ху + х – у) dy, где Г – окружность х2 + у2 = а х, двумя способами: 1) непосредственно; 2) с помощью формулы Грина. Ответ. - 
6. В каждой точке плоскости на материальную точку действует сила  , проекции которой на оси координат равны
Р = х у, Q = х + у. Вычислить работу силы у = х ; 2) по параболе у = х2 ; 3) по двузвенной ломаной, стороны которой параллельны осям координат (два случая).
А = ТЕМА 7. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПОВЕРХНОСТНОГОИНТЕГРАЛА 7.1. Теоретические сведения При помощи двойного интеграла можно вычислять площадь не только плоской фигуры, но и произвольной поверхности. Рассмотрим некоторую поверхность Q, уравнение которой задано в декартовых координатах: z = f (x, y). Считаем поверхность Q такой, что прямая, параллельная оси Оz, пересекает эту поверхность не более чем в одной точке. Обозначим через D проекцию поверхности Q на плоскость хоу. Пусть в области D функция f (x, y) непрерывна сама и имеет непрерывные частные производные fх (x, y) и fу (x, y). Это означает, что в каждой точке поверхности Q существует непрерывно изменяющаяся касательная плоскость и перпендикулярная ей прямая – нормаль к поверхности. Такая поверхность называется гладкой. Тогда площадь криволинейной гладкой поверхности вычисляется по формуле Q = |
, где Г – отрезок прямой у = 
ln 2.
, где Г – отрезок прямой, соединяющий точки О (0, 0) и А (1, 2). Ответ. ln 
.
.
.
(10 
- 1).
.
.
- (х22 + 1) 
].
.
, если линейная плотность ее в каждой точке равна х.
, z = t3, 
.
+ Q (x, y) dy также вычисляется сведением к определенному интегралу. Для этого необходимо, так же как и в интегралах 2-го рода, в подынтегральном выражении
+ Q (x, y) dy, то используют формулу Грина
dx dy.
, где Г – часть окружности х2 + у2 = R2, пробегаемая против часовой стрелки, лежащая в I четверти.
. Перед корнем поставлен знак плюс, т.к. в первой четверти у 0. Найдем dy: dy = - 
. После подстановки у и dy под знак интеграла подынтегральная функция будет зависеть только от х, а пределы интегрирования по х, учитывая, что интегрирование ведется против часовой стрелки будут R и 0. 
+ 
dx =
= 
= 
R2 (6
- 5 R).
= 6 х + 5, 
= 6 х + 5.
= 
= 0.
, где Г – дуга параболы у = х2 от точки
.
+ Q dy. Ответ. 1) 
; 3) 
; 1.
dS.
dS, где D = прxoz Q.