Вестник пермского университета
жүктеу/скачать 155.81 Kb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- Адвективные течения
- 2. Устойчивость адвективных течений
- 3. Использование адвективных
|
УДК 517.941.1; 532.529.5 Исследования устойчивости адвективных течений во вращающемся слое жидкости К. Г. Шварц Пермский государственный национальный исследовательский университет Россия, 614990, Пермь, ул. Букирева, 15
Адвекция (от лат. advectio – доставка) – это горизонтальное перемещение воздушных масс и влаги в атмосфере или водных масс в водоеме из одного района в другой. Различают адвекцию воздушных масс, тепла, водяного пара, адвективных туманов, гроз, заморозков. Адвекция тепла или холода – локальное повы-шение или понижение температуры воздуха под влиянием горизонтального переноса. Вместе с воздухом или водой происходит одновременно адвекция тепла, взвешенных и растворимых веществ. Адвекция проявляется обычно в форме разнообразных течений [1]. Адвективными называют течения жидкости или газа, которые вызываются горизонтальным градиентом плотности. Они отличаются от конвективных течений тем, что скорость потока перпендикулярна действию сил тяжести и плавучести [2]. Они по существу являются частным случаем термо-гравитационной свободной конвекции и отличаются от конвективных течений тем, что скорость потока перпендикулярна действию сил тяжести и плавучести. Адвективное течение, возникающее в плоском горизонтальном слое жидкости при отсутствии вращения для случая, когда температура на обеих границах линейно изменяется с продольной координатой, было впервые описано аналитически Остроумовым Г.А. [3]. Особенностью течения является отсутствие вертикальной компоненты скорос-ти, вектор скорости в потоке ориентирован перпендикулярно силе плавучести, которая является основной причиной движения. Это свойство адвективного течения сохраняется при различном выборе граничных условий для скорости [4]. В [5] представлены геофизи-ческие приложения этих течений. Подробный обзор работ, в которых определены различ-ные механизмы неустойчивости плоскопарал-лельных адвективных течений для случая твердых, свободных границ, а также при наличии теплоотдачи с поверхности по закону Ньютона, для теплоизолированных границ был представлен в монографии [2].
во вращающемся слое жидкостиАдвективное течение, возникающее во вращающемся плоском горизонтальном слое жидкости, в котором ось вращения совпадает с точностью до знака с вертикальной осью координат, для случая, когда температура на границах линейно изменяется с продольной координатой, было впервые описано аналити-чески как точное решение уравнений Навье – Стокса в приближении Буссинеска Арис-товым С.Н. [6–9]. Как и в случае без вращения, у течения отсутствует вертикальная компонента скорости, вектор скорости в потоке ориенти-рован перпендикулярно силе плавучести, однако имеются обе горизонтальные компо-ненты вектора скорости. Адвективное течение имеет экмановскую спиралевидную форму [10]. Можно утверждать, что указанный класс адвективных течений наряду с течением Эк-мана описывает основное течение в атмос-фере и океане. В Р где Рис. 2. Зависимость компоненты скорос-ти Р 
Рис. 4. Годограф вектора скорости при В случае продольной вибрации во вращающемся горизонтальном слое жидкости адвективное течение описывается как  (3)
где В отсутствии вращения все адвективные течения плоскопараллельные. При наличии вращения они перестраиваются, появляется вторая компонента скорости В работах [16, 17] описаны нестационарные адвективные течения во вращающемся плоском слое несжимаемой жидкости и адвективное течение стратифицированной жидкости. 2. Устойчивость адвективных теченийУстойчивость адвективных течений во вращающемся слое жидкости изучается сравнительно недавно. Исследование спектра малых нормальных возмущений конвективных течений и их линейной устойчивости сводится, как правило, к задаче на собственные значения для системы обыкновенных дифференциальных уравнений высокого порядка с переменными коэффициентами и малыми параметрами при старших производных [2]. Наиболее распространенными численными методами решения таких задач являются метод Галеркина, метод пошагового интегрирования с ортогонализацией и метод дифференциальной прогонки [17]. Исследование линейной устойчивости течений относится к классу жестких задач, когда для устойчивости вычислительного метода требуемые условия на шаг интегрирования более жесткие, чем это требует точность расчетов. Поэтому решать задачу целесообразнее с помощью методов, приспособленных к условиям жесткости [18, 19]. В частности, рекомендуется выбирать неявные методы, применение которых для линейных задач не вызывает больших затруднений. В работах [20, 21] представлена новая методика решения задачи линейной теории устойчивости путем сведения ее к начально-краевой задаче для системы линейных одномерных уравнений в частных производных, которая решается затем методом сеток. Исследовалась устойчивость адвективного течения несжимаемой жидкости во вращающемся горизонтальном слое с твердыми границами при значении числа Прандтля ( В работах [25–27] на основе расчетов, проведенных в интервале В работе [29] исследуется устойчивость адвективного течения во вращающемся слое жидкости со свободной недеформируемой верхней границей при Устойчивость термокапиллярного адвективного течения, возникающего в слабовращающемся слое несжимающейся жидкости со свободными границами в условиях невесомости, исследуется в работах [30–32] при  и  . Обе свободные границы считаются плоскими, на них действует касательная термокапиллярная сила Марангони и имеется теплоотдача по закону Ньютона, температура среды вблизи границ слоя является линейной функцией координат. Ось вращения перпендикулярна слою жидкости, слабое вращение позволяет пренебрегать центробежной силой. При неустойчивость имеет как монотонный, так и колебательный характер. За порогом устойчивости в случае монотонной линейной неустойчивости формируются стационарные, а в случае колебательной неустойчивости нестационарные периодические конечно-амплитудные возмущения скорости и температуры в виде системы пространственных вихрей и температурных пятен. Вычисления, проведенные для случая малого значения числа Прандля ,  и  , показали монотонный характер неустойчивости винтовых возмущений. Начиная с  , вращение стабилизирует термокапиллярное течение. Конечно-амплитудные возмущения температуры, возникающие для чисел Марангони ( ) выше критических, представляют систему чередующихся теплых и холодных пятен, расположенных вдоль слоя. С ростом холодные и теплые пятна последовательно меняют свое местоположение. Движение представляет собой пару вихрей, их место, количество и размер изменяются с ростом числа Марангони.
3. Использование адвективныхтечений для вывода квазидвумерныхмоделей в тонком слое жидкостиили газаВ монографии [33] представлена проце-дура вывода семейства квазидвумерных моде-лей, описывающих адвективные течения во вращающемся тонком слое жидкости. Это является развитием теории "мелкой воды" [34] для вязкой неизотермической жидкости. Двумерная модель получается из исходной трехмерной модели путем ее усреднения поперек слоя. Для замыкания двумерной модели используются точные решения урав-нений Навье – Стокса, описывающие адвек-тивные течения в плоском горизонтальном вращающемся слое. Вид окончательных урав-нений зависит, в первую очередь, от гра-ничных условий на верхней и нижней границе слоя.Были получены двумерные модели термокапиллярных течений, адвективных течений и МГД-течений во вращающемся слое несжимаемой жидкости [7]. В работах [35–38] выведена модель крупномасштабных течений в океане, исследуется механизм отрыва течения Гольфстрим от западного берега Американского континента под действием неоднородного горизонтального нагрева. В работе [39] представлена модель, описывающая воздействие солеобмена на формирование основного черноморского течения (ОЧТ). В работах [40–45] представлены модели, описывающие влияние неоднородного нагрева на атмосферные мезомасштабные процессы переноса примеси в окрестностях городов Пермь, Березники, Киров. Моделирование процессов переноса примеси в свободной атмосфере рассматривается в [46, 47]. Работы [48–54] посвящены моделированию процессов переноса примеси в нижнем слое атмосферы, связанных с выбросами большой мощности при аномальном температурном нагреве или при наличии мощного источника испаряемой жидкости. В работе [55] моделируются атмосферные мезомасштабные процессы переноса многокомпонентной примеси при торфяном пожаре в районе Краснокамска. Заключение Класс точных решений уравнений Навье – Стокса в приближении Буссинеска, описывающий замкнутые адвективные течения во вращающемся горизонтальном слое несжимаемой жидкости, выведен для различных граничных условий для скорости и температуры. Исследована устойчивость самых простых течений из этого класса. Важность изучения этих течений связана прежде всего с их геофизическими приложениями. Список литературы
Науки о Земле. 2010. Вып. 4. С. 174–176.
Investigation of the stability of advective flows in a rotating fluid layer K. G. Shvarts Perm State University, Russia, 614990, Perm, Bukireva st., 15 kosch@psu.ru ; (342) 2 396 409 A review of the papers, dedicated the description of advective flows in a flat horizontal rotating layer of incompressible liquid. The problem of stability of such flows and the using them to display of quasi-two-dimensional no isothermal models of flows in rotating thin layer is considered. Key words: advective flow; the stability of the flow; two-dimensional model. © Шварц К. Г., 2013 Работа выполнена в рамках тематического плана НИР ПГНИУ № 5.5061.2011 "Математическое моделирование мезомасштабных атмосферных процессов переноса вредных примесей от нестационарных тепловых источников". 54 жүктеу/скачать 155.81 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|
013 Математика. Механика. Информатика Вып. 1(13)
монографии [11] было описано анали-тически семейство замкнутых адвективных течений во вращающемся горизонтальном слое несжимаемой жидкости при различных граничных условиях. Представлены адвектив-ные течения в плоском слое жидкости с обеи-ми твердыми границами, со свободной верх-ней границей (с учетом и без учета термока-пиллярных эффектов), 
ис. 1. Плоский горизонтальный слой жидкости, вращающийся с постоянной угловой скоростью 
, 
и температура 
описываются следующим образом [12–14]:
, (1)
, (2)
– число Рэлея [2], 
– число Тейлора, 
, 
. Профили компонент скорости 
, 
и, соответственно, 
являются антисимметричными относительно оси z (рис. 2, 3). Они описывают движение типа спирали Экмана, что иллюстрирует годограф вектора скорости на рис. 4. Профиль температуры позволяет говорить о том, что вдоль слоя формируются два тепловых потока, направленных в противоположные стороны. С ростом числа Тейлора вблизи твердых границ образуются пограничные слои скорости и температуры.
ис. 3. Зависимость компоненты скорости 
от продольной координаты и числа Тейлора 
, 
, 
– вибрационный аналог числа Рэлея [15]. Профили компонент скорости с точностью до множителей совпадают с соответствующими профилями (1). Таким образом, продольная вибрация здесь является в некотором смысле частным случаем вращения ("одномерным вращением").
, значение которого зависит от граничных условий, 
достигает максимального значения и начинает монотонно убывать вместе с первой компонентой скорости 
.
), равного 6.7 (вода). Рассматривались пространственные винтовые периодические по x возмущения в виде валов с осью, перпендикулярной к оси X, и пространственные спиральные периодические по y возмущения в виде валов с осью, параллельной оси X. Заметим, что при отсутствии вращения винтовые возмущения вырождаются в плоские. Были построены нейтральные кривые для винтовых и спиральных возмущений при различных значениях числа Тейлора. Вращение стабилизирует адвективное течение, неустойчивость имеет колебательный характер. Анализ нейтральных кривых для обоих случаев показал, что при малых значениях числа Тейлора наиболее опасными являются спиральные возмущения, а при 
– винтовые пространственные возмущения. В [22–24] показано, что вращение приводит к возникновению надкритичных возмущений в виде нестационарных, винтообразных трехмерных вихрей, расположенных в потенциально неустойчивых зонах температуры и движущихся периодически вдоль границ слоя. С 
, оценено влияние вращения на устойчивость адвективного течения в плоском слое с твердыми границами при малом числе Прандтля 
для гидродинамической моды. Вращение не поменяет монотонный характер неустойчивости, оно стабилизирует течение за исключением небольшого интервала числа Тейлора (
). Конечно-ампли-тудные возмущения температуры представляют собой систему чередующихся теплых и холодных пятен, расположенных вдоль слоя. С ростом числа Тейлора их вертикальные размеры уменьшаются. При 
жидкость в верхней половине слоя холоднее, чем в нижней, а при 
, наоборот, оно теплее в верхней половине слоя. Возмущения движения представляют собой систему стационарных пространственных вихрей, положение, количество и размер которых меняется в зависимости от числа Тейлора. В интервале 
эти вихри нестационарные. В работе [28] исследование устойчивости данного течения проводилось методом дифференциальной прогонки, полученные результаты согласуются с результатами работ [25–27].