Вестник пермского университета

^Традиционно начальный этап создания теоретической механики связывают с именем замечательного английского математика и механика Исаака Ньютона. Однако более внимательный взгляд на этот вопрос приводит к выводу о том, что успех его механики во многом был предопределен достижениями его современников и предшественников. В письме Р. Гуку от 05.02.1676 г. И. Ньютон писал: "Сделанное Декартом было неплохо. Вы добавили здесь много нового… Если я видел дальше других, то потому, что стоял на плечах гигантов" [1, c. 224]. Появление в XVII в. классической механики было естественным итогом обобщения первых теорий, понятий, принципов, законов и методов, используемых разными учеными в процессе поиска ответов на конкретные вопросы об устройстве мироздания, решения естественнонаучных и технических задач, связанных с движением тел в пространстве. Кто они, эти предшественники и современники сэра Исаака Ньютона, и в чем суть их вклада в основы классической механики?

Наука – это развивающаяся система знаний. И если попытаться ретроспективно проследить пути создания основных понятий, законов и принципов современной науки, точнее всего комплекса наук, то становится очевидным, что в истории науки были длительные периоды накопления информации, поиска ответов на актуальные вопросы, постановки и попыток решения задач и достаточно короткие периоды смены научной парадигмы, научного ренессанса, формулировки и общественного признания научных постулатов. По общему признанию историков науки один из таких периодов помещается в хронологических границах XVII в.

Говоря об этом, следует понимать, что в XVII веке роль науки и образования в общественном сознании людей была совершенно иной, отличной от современной. В настоящее время даже бытовые условия требуют от современного человека большого объема научных знаний. Большинство населения получает общее и профессиональное образование, многие не только профессионально преподают и изучают определенные разделы науки, но и стремятся к совершенствованию существующих теоретических знаний, их практических приложений, к созданию новых технических средств.

В начале XVII в. научными знаниями располагали очень немногие люди, только те, кто, в силу обстоятельств, мог позволить себе роскошь не просто жить, но и учиться, заниматься философскими или математическими поисками истины, преподавать в университете, конструировать, проводить эксперименты. Как следствие отсутствия всеобщего и единого образования, научные представления жителей разных географических регионов были различными. Главными источниками научных истин были трактаты ученых, философов предыдущих поколений и религиозные сочинения церковных проповедников. И те и другие источники, как правило, опирались на описания очевидных практических опытов, наблюдений или являлись результатом философских размышлений, логических доказательств. Все законы, правила, выводы формулировались словесным образом. При этом язык понятий, ныне общепринятый, не был столь однозначен¹. Часто один ученый, пользуясь, например, понятиями "скорость" или "сила", имел в виду одно, а другой, пользуясь теми же словами, часто вкладывал в них иной смысл. Это, с одной стороны, осложняло формирование единой (в рамках региона, страны, Европы) системы знаний, а с другой – потребность во взаимопонимании была стимулом для ее совершенствования.

Профессия ученого была единичной, не массовой. Но, как все неизведанное, необычность этой профессии делала ее привлекательной и весьма престижной. Подтверждением этого было отношение к ученым со стороны английских, французских, итальянских, немецких и других европейских царствующих особ, часто приветствовавших при своих дворах известных врачей, астрономов, философов, математиков, инженеров². Джованни Батиста Бенедетти (1530–1590) был придворным математиком великого герцога Савойского, Уильям Гильберт (1544–1603) – придворным врачом английской королевы Елизаветы I, Гвидо Убальдо дель Монте (1545–1607) – генерал-инспектором крепостей Тосканы, Тихо Браге (1546–1601) – придворным астрономом и математиком императора Рудольфа II, а после Браге эти должности занимал Иоганн Кеплер (1571–1630). Френсис Бэкон (1561–1626) был генеральным прокурором, лордом-канцлером времен Якова I – первого английского короля династии Стюартов, сменившей династию Тюдоров. Исаак Ньютон (1643–1727), после переезда из Кембриджа, был директором Лондонского монетного двора; Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646–1716) – историографом, юристом, библиотекарем Ганноверских герцогов.

Впрочем, почтительное отношение к видным ученым иногда было не только жестом монаршей милости. Сами главы государств, видные политические деятели часто подавали пример заинтересованного отношения к научным проблемам, удивляли современников своей образованностью³.

До XVII в. естественнонаучная деятельность сводилась к поиску философских доказательств, к описанию и объяснению наблюдений и экспериментов (включая мысленные), природных явлений, действия технических приспособлений. Сложившиеся к этому времени научные представления, имеющие истоки в древнегреческой и средневековой науке, все чаще вызывали неудовлетворенность. Многим ученым они казались ошибочными, противоречивыми, надуманными. Особенно это касалось теории устройства Вселенной, причин и законов движения природных тел, принципов работы механизмов. Появление новых естественнонаучных идей, теорий неизбежно потребовало новых подходов к доказательству их справедливости. К XVII в. возникла необходимость и были созданы предпосылки для использования математики (алгебраических уравнений, геометрии) как некоторого нового языка, как метода для описания и исследования широкого круга явлений и процессов. Это стало возможным как следствие достаточного совершенства существовавших тогда математических теорий и отождествления уже сложившихся математических понятий (числа, уравнения, решений, геометрической фигуры, длины, площади, …) с выявленными физическими характеристиками реальных тел и их движений (местоположение, вес, время движения, пройденный путь, быстрота движения, причина движения, …). Идея использования математического моделирования реальных процессов и явлений в качестве метода решения задач подъема тяжестей с помощью рычагов, блоков, винтовых устройств, исследования причин и свойств равновесия тела на наклонной плоскости, движения планет вокруг Солнца, падения тел на Землю, удара тел, колебаний маятников в трудах ученых XVII в. позволила не только решить многие важные практические задачи, но и стала мощным стимулом для совершенствования самой математики – для появления ее новых понятий, методов и теорий, ставших основой математического анализа, аналитической геометрии, вариационного исчисления и других разделов современной математики.

Критическая переоценка устаревших физических представлений философии Аристотеля (384–322 до н.э.) привела к возникновению в XVII в. новых взглядов на причины и свойства движения тел. Общая теория движения тел, которой занимались средневековые ученые Т. Брадвардин (ок. 1290–1349), Ж. Буридан (ок. 1300–1358), Н. Орем (ок. 1323–1382) и др., была конкретизирована применительно к движению планет, падению тел на Земле, колебаниям и соударениям тел, равновесию и движению жидкостей. Задача о движении тел (причинах, свойствах) оказалась главной естественнонаучной проблемой. Новые законы-гипотезы движения тел сначала приводились словесно, а затем получили и математическую формулировку. Физические законы, отражая определенные свойства природы (движущихся тел), одновременно становились математическими объектами: отношениями (пропорциями), функциями, уравнениями. И необходимость в анализе, конкретизации и обобщении этих законов-отношений, законов-функций, законов-уравнений потребовала возникновения нового математического понятия – переменной величины.

Традиционно понятие величины (тела, длины отрезка, площади, объема…) ассоциировалось с понятием числа и было синонимом постоянства. Новые представления о пройденном телом пути как о меняющемся со временем расстоянии, как о переменной длине стало источником нового математического понятия – переменной величины как некоторого (неопределенного) числа, меняющегося с течением времени. Для современной записи закона остается только обозначить переменные величины привычными ныне буквами и выразить зависимые величины через независимые с помощью некоторой (определяемой теоретически или экспериментально) функциональной зависимости. Таким образом, все физические по содержанию законы к концу XVII в. стали математическими по форме. И первыми⁴ физико-математическими законами были законы науки о равновесии и движении тел – классической механики⁵.

2. Задача о движении планет

Вопросы об устройстве Вселенной, о движении небесных тел привлекали ученых всегда. Но после издания знаменитой книги Н. Коперника (1473–1543) "О вращении небесных сфер" возникла проблема доказательства (или опровержения) истинности его точки зрения на устройство Солнечной системы. Среди сторонников Коперника был И.Кеплер, который верил в существование некоторого единого физического (философского) закона, объясняющего все явления природы, включая устройство Вселенной. Желание открыть этот закон было главной побудительной причиной его активной творческой деятельности. Физические воззрения Кеплера сводились к следующим принципам: Солнечная система заполнена мировым "эфиром"; все тела обладают свойствами инерции; природа всегда выбирает наиболее простые пути и ей проще вращать Землю вокруг Солнца, чем весь небосвод вокруг Земли⁶; планеты двигаются вокруг Солнца под действием его магнитного притяжения. Главная "космографическая тайна" состоит в гармонии планетарных орбит, получающихся из земной, лежащей на сфере с центром в Солнце⁷. Опубликованные Кеплером после 1609 г. законы движения планет (планета движется по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце; секторная скорость планеты постоянна; кубы средних расстояний планет от Солнца пропорциональны квадратам их периодов обращения) были первыми математическими законами движения тел природы.

2. 
   Задача о падении тел
   

Излагая свои законы, Галилей пользовался представлениями, принципами, которые вскоре стали общепризнанными основами механики: законы земных и небесных явлений едины; причиной падения тел является притяжение Земли; все тела обладают свойством инертности; движение по инерции – прямолинейное (иногда он утверждал – круговое) с постоянной скоростью; движение относительно (зависит от выбора тела отсчета); все тела в безвоздушном пространстве падают с одинаковым ускорением; среда не может быть причиной движения, но может препятствовать ему; маятник, поднятый в начальный момент на некоторую высоту, никогда не поднимется выше своего начального положения; если тело одновременно участвует в двух независимых движениях, то результирующее движение будет определяться правилом параллелограмма; сила удара складывается из скорости и веса тела, и эффект ее действия многократно превосходит силу давления; действие и противодействие тел равны.

В задаче об ударе тел Галилея интересовала величина ударного импульса. Методы и взгляды Галилея были восприняты его учеником Э.Торричелли (1608–1647) и чешским естествоиспытателем И.М. Марци (1595–1667). Р. Декарта (1596–1650) интересовало изменение скорости соударяющихся тел в результате удара. Этот же вопрос ставили перед собой Ж.П. Роберваль (1602–1675), Дж. Уоллис (1616–1703), К. Рен (1632–1723), Х. Гюйгенс (1629–1695), Э. Мариотт (1620–1684). Механическая концепция натуральной философии Декарта включала следующие принципы: Вселенная заполнена материей ("эфиром"); Бог неизменен, поэтому в природе сохраняется одно и то же количество движения; каждая часть материи остается в одном и том же состоянии, пока встреча с другой частью не вызовет изменения этого состояния; покой и движение относительны; количество движения называется силой; инерционное движение – это движение с постоянной скоростью по прямой.

Решение задачи удара тел, то есть получение формул, определяющих скорости после удара, в зависимости от масс тел и скоростей до удара, имело не только важное практическое, но и теоретическое значение. По сложившимся представлениям именно удар был источником, причиной движения тел, точнее передачи движения от одного тела другому. Декартово решение задачи удара (без учета изменения направления количества движения) оказалось ошибочным и это стало поводом для обращения к ней других ученых, его современников и последователей, успешно справившихся с задачей. При этом была обнаружена идейная аналогия древнего принципа равновесия (принципа виртуальных перемещений) с Декартовым принципом движения тел природы (законом сохранения количества движения), появилась классификация тел в соответствии с их упругими или пластичными свойствами, пришло осознание векторного характера скорости, количества движения и был сделан очевидный вывод об изменении количества движения при ударном взаимодействии тел. Оставалось обобщить этот вывод на общий случай движения под действием произвольной силы.

5. 
   Новая геометрия и понятие
   

До XVII в. аппарат математики включал методы арифметики, геометрии Евклида и решения некоторых алгебраических уравнений. Введение понятия переменной величины, системы координат и буквенной символики привело к революционным переменам во всех разделах математики и стало началом нового периода ее истории – математики переменных величин как инструмента описания и исследования произвольных процессов (включая движение тел). Понятие переменной величины, введенное Декартом, позволило дать математическое описание движения тела (точки) и его свойств. Аналогия между геометрической линией, кривой и траекторией движения точки в пространстве стала основой для математического моделирования движения реальных тел, как совокупности, множества точек. Изучение свойств кривых стало ассоциироваться с изучением движения тел. Алгебраический способ записи кривой в виде уравнения, графическое изображение функций (траектории, закона движения, скорости, ускорения, силы) позволили свести изучение движения реальных тел к исследованию соответствующих функций и уравнений. Но все это стало возможным только после формирования основ математического анализа в трудах И. Кеплера, Р. Декарта, П. Ферма (1601–1665), Д. Уоллиса, Б. Паскаля (1623–1662), Х. Гюйгенса, И. Ньютона, Г.В. Лейбница, Я. Бернулли (1654–1705) и И. Бернулли (1667–1748). Сугубо математические понятия функции, бесконечно малой величины, дифференциала, интеграла и вся идеология нового анализа стали основой для формирования теоретического аппарата механики. Многие ранее субъективно воспринимаемые механические понятия обрели однозначное и точное определение. Например, скорость стала определяться как производная функции закона движения⁸. Взаимосвязь, взаимное влияние механики как источника новых важных задач и математики (дифференциального и интегрального исчисления, аналитической и дифференциальной геометрии, теории дифференциальных уравнений, алгебры) как метода решения конкретных задач и как абстрактной теории всегда были очень тесными и плодотворными.

5. 
   Задача о колебаниях маятника
   

Решая задачу о колебаниях маятника, Гюйгенс установил, что кроме веса, заставляющего маятник двигаться, в процессе движения возникает дополнительная сила, натягивающая нить маятника в направлении от точки подвеса. Он назвал эту силу центробежной и теоретически определил ее величину.

5. 
   Закон всемирного тяготения
   

Задачу нахождения этой силы Ньютон решил применительно к движению планеты вокруг Солнца, и суть его идеи состояла в следующем. При движении планеты (по окружности) вокруг Солнца на нее должна действовать центробежная сила, но по закону равенства действия и противодействия для удержания планеты на ее орбите должна действовать равная ей по величине, но противоположно (к Солнцу) направленная сила. Именно эта сила, которую Ньютон назвал центростремительной, и является силой притяжения планеты к Солнцу. Ньютон вычисляет величину центробежной силы и по ней определяет силу притяжения, т.е. центростремительную силу.

Для вычисления центробежной силы Ньютон пользуется удивляющей оригинальностью идеей: круговое движение шарика (планеты вокруг Солнца) рассматривается как предельное движение по ломаной, по поверхности правильного вписанного в окружность n-угольника. Вокруг окружности (орбита планеты) описывается квадрат (n=4). Шарик вылетает из точки А (см. рисунок) в точку В, где в результате удара об окружность (о касательную, о сторону описанного квадрата) он меняет направление и движется в точку С. Далее процесс повторяется. При шарик в результате бесконечной последовательности ударов о касательные к окружности будет описывать саму окружность. В соответствии со сформулированным Ньютоном вторым законом величина центробежной силы (суммарной силы всех ударов) должна быть равна изменению количества движения (суммарного за полный оборот шарика). Подсчет изменения количества движения показал, что центробежная сила обратно пропорциональна квадрату радиуса окружности (орбиты). В таком случае и сила притяжения также обратно пропорциональна квадрату расстояния между телами. Формула, полученная Гюйгенсом для центробежной силы, Ньютоном не использовалась, хотя их результаты совпадали.

Ньютон очень серьезно отнесся к решению своей задачи. В трактате "Математические начала натуральной философии" (1687) он систематизировал основные понятия и принципы динамики точки на основе своих представлений о причинах и свойствах движения тел, и не только решил большинство известных ему задач, но и сформулировал целый ряд новых проблем, методов и подходов. Книга Ньютона стала основой для создания классической механики в трудах его последователей.

5. 
   Учет сопротивления среды
   

Результатом экспериментальных и теоретических работ стал вывод о том, что среда, в которой осуществляется движение тела, некоторые тела, с которыми взаимодействует изучаемое тело, действуют на него с замедляющей силой. Было установлено, что сила сопротивления среды пропорциональна скорости или квадрату скорости движения тела (в зависимости от формы тела и свойств среды). Г. Амонтон сформулировал законы трения скольжения.

Учет сил сопротивления среды, трения был важен не только сам по себе, но он привел к расширению смыслового содержания понятия силы. В понятие силы вкладывалось уже не только то, что является причиной и источником движения, но и то, что может его замедлять (изменять) и даже останавливать. Движущееся тело может прийти в равновесие (покой) в результате действия "противоборствующих" сил. Понятие силы избавляет от необходимости обсуждения причин движения и равновесия тел. Оно позволяет соединить две независимые до XVII в. теории – статику (науку о равновесии) и динамику (науку о движении), – в единую науку о движении и равновесии тел – механику. Идеи этого теоретического симбиоза есть уже в механике Декарта, но их ясное выражение мы видим в "Новой механике" (1687, 1725) Вариньона (1654–1722), где статика строится на основе динамических аксиом¹¹.

Новые задачи баллистики, изучения движения машин, судов с конца XVII в. сводились уже не к обсуждению физических законов и технических особенностей конструкций, а к построению и анализу математической модели (уравнений), формируемой с учетом сил сопротивления среды и трения. Решение этих задач стало важным этапом в развитии идеологии классической механики в работах И. Бернулли (1667–1748) и Д. Бернулли (1700–1782), Л. Эйлера, А. Клеро (1713–1765) и их последователей.

5. 
   Экстремальные задачи
   

Так, Герон (I в.) утверждал, что луч света, движение которого ассоциировалось с движением частицы света, распространяется по кратчайшему пути. Голландский ученый Р. Снеллиус (1580–1626) показал, что при прохождении луча света из менее плотной среды в более плотную отношение синусов углов падения и преломления равно отношению скоростей в средах. Из этого закона Ферма сделал вывод о том, что луч света (частица) из одной точки в другую перемещается за кратчайшее время.

Первыми экстремальными задачами второй половины XVII в. были задачи об определении оптимальной формы тела, имеющего наименьшее сопротивление при движении в среде (Ньютон), о форме цепной¹² линии (Я. Бернулли) и о брахистохроне (И. Бернулли). Задача о брахистохроне была, с одной стороны, традиционной¹³, а с другой – экстремальной. Искомая траектория должна проходиться за минимальное время.

Эта идея определения траектории движения точки из условия минимальности времени, а позднее – из условия минимальности более общего критерия (действия) получила развитие в работах П.Л. Мопертюи (1698–1759), Эйлера, Лагранжа, Гамильтона и стала главной при создании вариационного исчисления и построении классической механики на основе принципа наименьшего (стационарного) действия. Следует подчеркнуть, что эта идея, этот метод нахождения траектории точки первоначально не были связаны со вторым законом Ньютона. Современный взгляд на уравнения движения (уравнения Лагранжа II рода) как на уравнения экстремали некоторого функционала (действия) стал возможен только в результате создания вариационного исчисления.

5. 
   Принципы механики XVII века
   

Важную роль в механике XVII в. играл принцип Галилея, согласно которому тело, поднятое на некоторую высоту, после падения уже не сможет подняться выше исходного положения¹⁴. Эту идею для системы двух (Торричелли) и более (Роберваль) тел использовал Гюйгенс при построении теории колебаний маятника. Из этого принципа Гюйгенс нашел формулу для центра колебаний системы тел (математического маятника) и получил первые выражения для осевых моментов инерции системы точек. Принцип Галилея–Гюйгенса казался сомнительным братьям Я. и И.Бернулли, и они повторили результаты Гюйгенса, исходя из иных соображений. Идея Якоба, получившая далее развитие в работах Я. Германна (1678–1733), Эйлера, Даламбера и Лагранжа, состояла в разложении сил инерции на касательную и нормальную составляющие (в задаче о колебаниях физического маятника) и уравновешивании их проекциями движущих сил (веса) и реакций опор. Иоганн пользовался принципом сохранения живых сил (Лейбница).

Принцип Лейбница был идейно близок современной теореме об изменении кинетической энергии. Его появление связано с неприятием Лейбницем декартова закона сохранения количества движения. Точнее – декартовой меры движения (количества движения). Опираясь на результаты Галилея и Гюйгенса, Лейбниц предложил считать мерой движения "живую силу" . Философская суть Лейбницева принципа сохранения живых сил, как и второго закона Ньютона, состояла в утверждении причинно-следственной связи между мерами движения и взаимодействия тел.

Лейбниц считал, что в природе сохраняется не , а сумма сил, к которым он относил как "живые", так и "мертвые" (вызывающие движение). В интерпретации И.Бернулли этот принцип имел вид современной теоремы об изменении кинетической энергии, однако его физическое содержание отличалось от современного¹⁵. Сам Лейбниц не дал математической записи своего принципа. В современных курсах теоретической механики теорема об изменении кинетической энергии представляется как математическое следствие второго закона Ньютона. Аналогичным образом математическая интерпретация принципа живых сил приводится в работах И. Бернулли и Д. Бернулли, французских механиков начала XVIII в., Х. Вольфа (1679–1754). Это обстоятельство бросает тень вторичности на принцип Лейбница. Однако исторически теоремы об изменении кинетической энергии и количества движения появились независимо друг от друга. Их физическое содержание различно, но любую из них можно считать математическим следствием другой. А это означает, что у классической механики мог быть иной источник.

Закон сохранения количества движения позволил Уоллису, Рену, Гюйгенсу, Мариотту, Ньютону сформулировать верные¹⁶ законы удара тел. Причинно-следственная зависимость силы и изменения количества движения, выраженная Ньютоном в виде его второго закона, после работ Вариньона, И. Бернулли, Клеро, Эйлера, Маклорена (1698–1761) стала основным принципом и методом построения дифференциальных уравнений движения точек и тел. Эта идея позволила Ньютону решить ранее известные и многие новые динамические задачи, открыть закон всемирного тяготения, теоретически подтвердить законы Кеплера и заложить основы классической механики.

Общепринятыми принципами механики XVII в. были закон равенства действия и противодействия (третий закон Ньютона) и принцип виртуальных перемещений¹⁷ (скоростей), остававшийся со времен древнегреческой механики, как и принцип равенства моментов сил, основным принципом теории равновесия тел. И Декарт, и Лейбниц, провозглашая свои динамические принципы, отмечали их идейную связь, преемственность по отношению к статическому принципу виртуальных перемещений. Эта идея единства принципов (законов) движения и равновесия тел позднее была поддержана Вариньоном, Я. Бернулли, Германном, Эйлером, Даламбером, Лагранжем.

Основным принципом своей статики (теории механизмов) Вариньон считал принцип геометрического сложения сил (сходящихся, параллельных). Но это был принцип замены одной системы сил другой, а его методы исследования равновесия тел под действием системы сил фактически сводились к классическим приемам равенства моментов сил или работ на виртуальных перемещениях. Новым можно считать использовавшийся им (но не сформулированный) принцип освобождаемости от связей, согласно которому связь (опора) может быть заменена ее реакцией (силой). Совместно с древними принципами статики Архимеда, принципами невозможности вечного движения и отвердевания Стевина, законами Галилея о равновесии тела на наклонной плоскости принципы Вариньона составили основу дальнейшего построения математического аппарата статики.

5. 
   Итоги века
   

Исторические судьбы механических задач XVII в., с которыми в классическую механику вошли многие понятия, законы и методы, были различными. Одни задачи, как задачи небесной механики, получили бурное развитие и составили основу для будущих механических теорий. Другие задачи, связанные с конкретными техническими устройствами (например, парусными кораблями), с устаревшими физическими представлениями, позднее утратили свою актуальность. Но все эти задачи имеют важное историческое значение как необходимый этап формирования классической механики.

Сейчас мы оцениваем вклад того или иного ученого исходя из нынешнего содержания науки. С этой точки зрения достижения Кеплера, Галилея, Декарта, Гюйгенса, Ньютона представляются наиболее значительными. Однако в процессе формирования научных теорий крайне важной была и позиция их современников, всего научного сообщества той эпохи. Научный авторитет П. Гассенди (1592–1655), Б. Кавальери (1598–1647), Ж. Роберваля, И. Бульо (1605–1694), Дж. Уоллеса, Р. Гука, Дж. Грегори (1638–1675), Г.В. Лейбница, братьев Бернулли, П. Вариньона был важным фактором формирования взглядов и интересов основоположников современной механики. Их авторитет, их критические или одобрительные мнения существенно повлияли на путь формирования и содержание науки. Поэтому, отдавая дань уважения заслугам классиков науки, нельзя забывать исторической роли их современников и предшественников, имена которых не столь популярны. В ко-

нечном итоге, благодаря усилиям всего научного сообщества, понятия, принципы и методы механики XVII в. стали основной для формирования математической естественнонаучной и технической идеологии последующих веков.