Занятие 1 множества и операции над ними дано,,,. Задать перечислением элементов множества
жүктеу/скачать 0.63 Mb.
|
|
ЗАДАЧИ ДЛЯ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ РГЗ (1 и 2 задания) Группы АБ-15,16 2 курс
3 семестр ЗАНЯТИЕ 1-3. МНОЖЕСТВА И ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ 1. Дано  , , , , . Задать перечислением элементов множества:
а) ; б) ; в) ; г) ; д) ;
е) ; ж) ; з) ; и) .
2. Дано , ,
, . Задать множества:
а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) ;
ж) ; з) ; и) ; к) ; л)  .
3. Справедливы ли равенства: а) ; б) ;
в) , если , ;
г) ; д) ; е) .
4. Построить диаграммы Эйлера-Венна для множеств: а) ; б) ; в) ;
г) ; д) ; е) .
5. Задать табличным способом множества: а) ; б) ; в) .
6. Доказать тождества (разными способами): а) ; б) ; в) ;
г)  ; д) ; е) ;
ж) ; и) .
7. Доказать тождества (с помощью таблицы): а) ; б) ;
в) ; г) ;
д) ;
е) .
8. Доказать, что: а) ; б) , если ;
в) , если ; г) , если и .
9. Найти булеан множеств: а) ; б) ; в) ; г) ;
д) ; е) ; ж); з) .
10. В отделе магазина посетители покупали либо один торт, либо одну коробку конфет, либо один торт и одну коробку конфет. Известно, что было продано 57 тортов и 36 коробок конфет. Сколько было покупателей, если 12 человек купили и торт, и коробку конфет? 11. В отряде из 40 ребят 30 умеют плавать, 27 умеют играть в шахматы и только пятеро не умеют ни того, ни другого. Сколько ребят умеют и плавать и играть в шахматы? 12. В классе обучаются 42 ученика. Из них 16 участвуют в секции по легкой атлетике, 24 – в футбольной секции, 15 – в шахматной секции, 11 – и в секции по легкой атлетике, и в футбольной секции, 8 – и в легкоатлетической, и в шахматной, 12 – и в футбольной, и в шахматной, а 6 – во всех трех секциях. Остальные школьники увлекаются только туризмом. Сколько школьников являются туристами? 13. В отделе работают несколько человек, причем каждый из них знает хотя бы один иностранный язык. 6 человек знают английский язык, 6 – немецкий, 7 – французский, 4 знают и английский и немецкий, 3 – и немецкий и французский, 2 – и французский и английский, 1 человек знает все три языка. Сколько человек работает в отделе? Сколько из них знают только английский язык? Сколько человек знают только один язык?
ЗАНЯТИЕ 4-5. ОТНОШЕНИЯ И ИХ СВОЙСТВА. 1. Даны множества , . Задать следующие множества:
а) б) в) ; г)
2. Задать перечислением пар следующие бинарные отношения. Построить матрицы данных отношений. Найти Dom(R), Im(R), :
а) б)
в) .
3. Задать перечислением пар бинарные отношения
Найти Dom( а)
б)
.
4. Определить, выполняются ли для отношений свойства рефлексивности, антирефлексивности, симметричности, антисимметричности, транзитивности, эквивалентности, полноты: а) отношения “жить в одном городе” на множестве людей; б) “быть моложе” на множестве людей; в) отношение на множестве R;
г) на множестве ;
д) на множестве ;
е) на множестве .
5. Определить, выполняются ли для отношений задач 2а), 2б) свойства рефлексивности, антирефлексивности, симметричности, антисимметричности, транзитивности, полноты. Какие из этих отношений являются эквивалентностями? 6. Доказать, что следующие отношения являются отношениями эквивалентности: а) б) .
7. Выяснить, какие из следующих подмножеств множества являются функциями из Z в Z:
а) б) в) г)
8. Выяснить, какие из функций являются взаимно-однозначными из R в R: a) б) в) г) д)
9. Определить, является ли отношение функцией, инъекцией, сюръекцией, биекцией:
а)
б)
в)
г)
д)
ЗАНЯТИЕ 6. ВЫСКАЗЫВАНИЯ. 1. Записать логической формулой следующие высказывания: а) если на улице дождь, то нужно взять с собой зонт или остаться дома; б) если - прямоугольный и стороны - равны, то
2. Проверить истинность высказывания: а) , если , .
б) , если , .
в) , если , , .
3. Проверить истинность высказывания: а) Чтобы завтра пойти на занятия, я должен встать рано. Если я сегодня пойду в кино, то лягу спать поздно. Если я лягу спать поздно, то встану поздно. Следовательно, либо я не пойду в кино, либо не пойду на занятия. б) Я пойду либо в кино, либо в бассейн. Если я пойду в кино, то получу эстетическое удовольствие. Если я пойду в бассейн, то получу физическое удовольствие. Следовательно, если я получу физическое удовольствие, то не получу эстетического удовольствия. 4. На вопрос: «Кто из трех студентов изучал дискретную математику?» получен верный ответ: «Если изучал первый, то изучал и третий, но неверно, что если изучал второй, то изучал и третий». Кто изучал дискретную математику? 5. Определите, кто из четырех студентов сдал экзамен, если известно: если первый сдал, то и второй сдал; если второй сдал, то третий сдал или первый не сдал; если четвертый не сдал, то первый сдал, а третий не сдал; если четвертый сдал, то и первый сдал. ЗАНЯТИЕ 7. МЕТОД МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ИНДУКЦИИ. 1. Доказать, что при любом натуральном n: а) б)
в) г)
2. Методом математической индукции доказать справедливость равенств для каждого натурального значения n: а) б)
в) ;
г) .
3. Методом математической индукции доказать справедливость следующих неравенств для всех натуральных n>1: а) б) .
ЗАНЯТИЕ 8-9. КОМБИНАТОРИКА. 1. Сколько существует пятизначных чисел, которые делятся на 5? 2. Сколько существует четырехзначных чисел, которые а) четны; б) содержат только четные числа; в) сумма цифр четна; г) делятся на 4? 3. Сколько четырехбуквенных слов можно составить из букв А, Б, Д, Е, К, М, если а) первая буква гласная; б) две последние буквы Е и М; в) гласные и согласные буквы чередуются; г) все буквы гласные; д) все буквы согласные; е) нет буквы Е? Под "словом" понимается любое сочетание букв в определенном порядке. 4. Каким числом способов пять человек могут находиться в очереди? 5. Для проведения конкурса в группе избирается жюри из трех человек. Сколькими способами можно выбрать жюри, если в группе 24 студента? 6. Для выполнения работы нужно выделить группу из четырех среди 10 человек. Сколькими способами это можно сделать? 7. В урне 10 красных и 8 синих шаров. Выбирают три. Сколькими способами можно выбрать а) два красных шара и один синий; б) три красных шара; в) шары одного цвета; г) шары так, чтобы присутствовали разные цвета? 8. Из колоды с 36 картами случайным образом извлекают три карты. Сколькими способами может быть получено каждое извлечение так, чтобы среди этих трех карт оказались: а) валет, дама, король; б) одна шестерка и два туза; в) все тузы; г) все пики; д) все одной масти; е) все разных мастей; ж) все черного цвета; з) все одного цвета; и) есть красного и черного цвета; к) один туз и две пики. 9. Бригада из 9 грабителей запланировали ограбить 3 банка. Сколькими способами можно составить команду для ограбления, если каждый банк будет грабить только один грабитель? Сколькими способами можно составить команду для ограбления, если каждый банк будут грабить два грабителя? 10. Группу из 20 человек нужно распределить на три подгруппы: 3, 5 и 12 человек. Сколькими способами можно это сделать? 11. Сколькими способами можно расставить на полке 4 книги с фантастикой и 5 книг с детективами, если все книги с фантастикой должны стоять слева, а с детективами справа? 12. Пассажирский поезд состоит из двух багажных, четырех плацкартных и трех купейных вагонов. Сколькими способами можно сформировать состав, если багажные вагоны должны стоять в начале, а купейные в конце? 13. Сколько слов можно образовать из букв слова "фрагмент", если слова должны состоять: а) из восьми букв; б) из семи букв; в) из трех букв? Под "словом" понимается любое сочетание букв в определенном порядке. 14. Студенту необходимо сдать 4 экзамена за 10 дней. Сколькими способами можно расставить в расписании эти экзамены? Дать ответ на тот же вопрос в предположении, что 10-й день обязательно должен быть занят экзаменом. 15. В пассажирском поезде 9 вагонов. Сколькими способами можно рассадить четырех человек при условии, чтобы они были в разных вагонах? 16. В автомашине 5 мест. Сколькими способами пять человек можно рассадить в ней, если место водителя могут занять только трое из них? 17. Имеется 7 точек в пространстве, при этом никакие четыре не лежат в одной плоскости. Сколько можно построить разных плоскостей, каждая из которых проходит через три точки? 18. Имеется 7 точек на плоскости, при этом никакие три из них не лежат на одной прямой. Сколько можно построить разных прямых, каждая из которых проходит через две точки? 19. Сколькими способами можно расставить 7 книг, если: а) две определенные книги должны стоять рядом; б) эти две книги не должны стоять рядом? 20. Сколькими способами можно расставить на 3 полки поровну 9 книг, среди которых 2 книги с синим переплётом, 3 книги с красным и 4 книги с зелёным, если: а) книги с синим переплётом должны стоять рядом; б) книги с синим переплётом должны стоять на одной полке; в) книги с красным переплётом должны стоять на разных полках? 21. Сколько различных слов, каждое из которых состоит из семи букв, можно составить из слова "коробок? 22. Сколько различных слов, каждое из которых состоит из шести букв, можно составить из слова "КАВКАЗ"? ОТВЕТЫ. Занятие 1-3. 1. а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) ; ж) ; з) ;
и) . 2. а) ; б) ; в) ;
г) ; д) ; е) ; ж) ; з) ;
и) ; к) ; л) . 3. а) да; б) нет; в) да; г) да; д) нет; е) нет.
4.а) б) в) г) д) е) 5. а) ; б) ; в) . 9. а) ; б) ;
в) ; г) ; д) ; е) ; ж) ; з) . 10. 81. 11. 22. 12. 12. 13. 11, 1, 4. 14. 94, 65. Занятие 4-5. 1. а) ; б) ; в) ; г) . 2. а) , , , , , ; б) , , , , , ; в) , , , , , . 3. а) , , , ; б) , , , . 4. а) рефлекс., симметр., транзит., эквив.; б) антирефлекс., антисимметр., транзит., полнота; в) рефлекс., антисимметр., транзит., полнота; г) симметр.; д) антирефлекс., антисимметр.; е) рефлекс., симметр., транзит., эквив. 5. а) антирефлекс., антисимметр., транзит., полнота; б) рефлекс., симметр., транзит., эквив. 7. а) является; б) не является; в) не является; г) является. 8. а) не является; б) не является; в) является; г) не является; д) является. 9. а) не является функцией; б) функция, инъекция; в) функция, инъекция, сюръекция, биекция; г) функция, сюръекция; д) функция. Занятие 6. 1. а) ; б) . 2. а) истинно; б) истинно; в) ложно. 3. а) не является истинным; б) не является истинным. 4. второй. 5. все сдали. Занятие 8-9. 1. 18000. 2. а) 4500, б) 500, в) 4500, г) 2160. 3. а) 120, б) 24, в) 48, г) 0, д) 24, е) 120. 4. 120. 5. 2024. 6. 210. 7. а) 360, б) 120, в) 176, г) 816. 8. а) 64, б) 24, в) 4, г) 84, д) 336, е) 972, ж) 816, з) 1632, и) 5508, к) 136. 9. 84, 7560. 10. 7054320. 11. 2880. 12. 288. 13. а) 40320, б) 40320, в) 336. 14. 5040, 2016. 15. 3024. 16. 72. 17. 35. 18. 21. 19. а) 1440, б) 3600. 20. 162. 21. 420. 22. 180. РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ Задание 1. Доказать справедливость соотношений. Проиллюстрировать с помощью диаграмм Эйлера-Венна:
b) , если , .
Задание 2. Для отношения R, заданного на множестве М={1,2,3,4,5,6,7}: 1) построить матрицу отношения, найти область определения Dom(R), область значений Im(R), дополнение , обратное отношение ; 2) определить, выполняется ли для данного отношения свойства рефлексивности, антирефлексивности, симметричности, антисимметричности, транзитивности; 3) определить, является ли отношение R функцией, инъекцией, сюръекцией, биекцией:
жүктеу/скачать 0.63 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|