Занятие 9 Векторные функции 1 Годограф векторной функции

9.2 Производная и дифференциал векторной функции

9.3 Длина кривой

9.4 Натуральное уравнение гладкой кривой и уравнение нормальной плоскости

Вектор имеет определенную длину (модуль) и определенное направление в каждой точке .

Выберем общую точку приложения векторов . При непрерывном изменении аргумента конец вектора описывает некоторую линию . Линия , описываемая в пространстве концом вектора при непрерывном изменении аргумента , называется годографом вектор-функции скалярного аргумента (рисунок 9.1).

Рисунок 9.1 – Годограф вектор-функции

Рисунок 9.2 – Годограф вектор-функции,

изменяющейся только по длине
2 Если при изменении модули векторов не меняются, а изменяется только направление, то векторы из множества будут находиться в шаре радиусом с центром в точке . Годографом такой функции является линия, принадлежащая сфере радиусом (рисунок 9.3).

Рисунок 9.3. – Годограф вектор-функции,

изменяющейся только по направлению
Пусть в пространстве задана прямоугольная система координат . Тогда задание вектор-функции означает задание координат вектора . Если начало вектора совпадает с точкой , то называется радиусом-вектором точки и обозначается (рисунок 9.4).

Рисунок 9.4 – Радиус-векторы

Так как каждой упорядоченной тройке чисел , , соответствует единственный радиус-вектор , то задание вектор - функции эквивалентно заданию трех числовых функций , , :

где .

Поэтому исследование векторной функции скалярного аргумента сводится к исследованию трех координатных функций , , , определенных на множестве . В координатной форме вектор-функция запишется в виде .

Вектор называется пределом вектор-функции , , в точке (или ), если .

Выражение задает числовую функцию. Следовательно, понятие предела вектор-функции сводится к понятию предела скалярной функции. Поэтому можно записать:

Рисунок 9.5 – Геометрический смысл

предела вектор-функции
Теорема 1 Пусть и . Для того, чтобы , необходимо достаточно, чтобы

, , .

Отсюда следует равенство:

Таким образом, для того чтобы вычислить предел вектор-функции, достаточно найти соответствующие пределы координат этой функции. Если хотя бы один из пределов координат функции не существует, то не существует и .

Вектор-функция , , называется непрерывной в точке , если .

Очевидно, что векторная функция непрерывна в некоторой точке тогда и только тогда, когда в этой точке непрерывны ее координатные функции , , .

Введем понятие производной вектор-функции , в данной точке . Для этого дадим аргументу приращение и рассмотрим вектор . Составим отношение

Если существует предел отношения приращения вектор-функции в точке к приращению скалярного аргумента при , то этот предел называется производной вектор-функции в точке .

1. 
   
   жүктеу/скачать 405.37 Kb.
   
   Достарыңызбен бөлісу: