Символы ландау и некоторые пространства, связанные с ними. Миролюбов в. Н

жүктеу/скачать 362 Kb.

Дата	23.06.2016
өлшемі	362 Kb.
	#155148

СИМВОЛЫ ЛАНДАУ И НЕКОТОРЫЕ ПРОСТРАНСТВА, СВЯЗАННЫЕ С НИМИ.
МИРОЛЮБОВ В.Н.

(ИРКУТСК, ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)
Показано, что различные соотношения с символами Ландау можно получать и доказывать на основе свойств определённых функциональных пространств. Для некоторых классов функций найдены фактормножества по отношению асимптотического равенства. Введено отношение ( x → x₀), которое означает, что функция ограничена функцией f при x → x₀. установлена связь между этим отношением и отношением, выражаемым O большим.

В литературе по методам возмущений и асимптотическим методам часто встречаются разнообразные соотношения с символами Ландау ( о малым и О большим). Хотя отношения между функциями, выражаемыми этими символами, определены [1], нередко этим символам придаётся разный смысл: например, o(f) может означать как одну функцию, так и класс функций. Эта особенность не всегда подчёркивается, и некоторые приводимые соотношения не доказываются, что создаёт определённые трудности в понимании текста.

Очевидно, что свойства пространств, элементы которых связаны с функцией сравнения одним из символов Ландау, индуцируют определённые свойства и на символы. Поэтому представляет интерес найти эти пространства и выявить их свойства, что позволит легче воспринимать и доказывать различные соотношения с символами.

В связи с этим в статье решается следующая задача: функция сравнения f определена на некоторой проколотой окрестности фиксированной точки, требуется найти два функциональных пространства: в одном элементы связаны с f символом O большое, в другом – символом о – малое.

Приводятся примеры, иллюстрирующие, как свойства указанных пространств порождают соотношения с символами. Для множества функций, ограниченных на проколотой окрестности точки, находится фактормножество по отношению асимптотического равенства. По этому же отношению определяется класс эквивалентности f.

Основные определения. В работе рассматриваются функции только одной вещественной переменной.

1) f – функция сравнения, определённая на (x₀,), где (x₀,) – проколотая окрестность точки x₀, определяемая параметром

. Если x₀R, то – упорядоченная пара положительных чисел; если же x₀совпадает с одной из бесконечно удалённых точек, то – положительное число.

2) M(x₀,) – множество функций, определённых и ограниченных на (x₀,), рассматриваемое вместе с операциями сложения и умножения. Тогда

M(x₀,) - коммутативная алгебра с единицей.
3) m(x₀,) – множество бесконечно малых функций при x → x₀_,определённых и

ограниченных на (x₀,). Рассматривая это множество также с двумя операциями, находим, что

m(x₀,) - подалгебра алгебры M(x₀,).
4) E(x₀,) = f ∙ M(x₀, ); e(x₀,) = f ∙ m(x₀,).
Ясно, что если

E(x₀,), а

e(x₀,), то по определению [1] эти функции связаны с функцией сравнения символом Ландау.
Т.о., имеем:
( E(x₀,)) ( = О(f), x → x₀); (1)
( e(x₀,)) ( = о(f), x → x₀). (2)
2. Примеры вывода и доказательства формул с символами Ландау. Если пока ограничиться только пространством M(x₀,), то соотношения (1) и (2) можно усилить:
( = О(f), x → x₀) ( E(x₀,)); (3)
( = о(f), x → x₀) ( e(x₀,)). (4)
Приведём несколько примеров, показывающих, как свойства пространств E(x₀,) и e(x₀,), вытекающие из свойств алгебр M(x₀,) и m(x₀,), порождают определённые формулы с символами Ландау.
Пример 1. Т.к. M(x₀,) – векторное пространство, то существует импликация:
( e(x₀,)) ( E(x₀,)) (( + ) E(x₀,)),
и в результате получаем известную формулу:
о(f) + O(f) = O(f), x → x₀.
Пример 2. Пусть e(x₀,), а

с – постоянная.
Тогда: =

, где

m(x₀,), и c = (c) e(x₀,).
Следовательно, с о(f) = o(f), x → x₀.
Пример 3. ( E(x₀,)) (

(x₀,)) (x₀,),
что приводит к соотношению:

, x → x₀.
В следующих двух примерах проведём рассуждения в «противоположном направлении».
Пример 4. Докажем, что

, x → x₀.

( = O(f), x → x₀) ( =), M(x₀,).

Далее: O() = O() = ∙ () = () ∙ f,

где M(x₀,). Т.к. M(x₀,), то

O() = O(f), x → x₀.
Пример 5. Докажем равенство:

O(o(f)) = o(f), x → x₀.

( = o(f), x → x₀) ( = ), где m(x₀,).

Тогда: O() = = ∙ () = () ∙ f = = o(f),

здесь M(x₀,), а m(x₀,).

Класс эквивалентности, связанный с f, и фактормножество M(x₀,). Как известно, отношение асимптотического равенства функций является отношением эквивалентности. Найдём класс эквивалентности, порождённый f, и фактормножество M(x₀,). Отношение асимптотического равенства обозначим символом ~.

Принимая во внимание, что

(~ f при x → x₀) ( = f + o(f), x → x₀), (5)
и ограничиваясь только пространством M(x₀,), находим:
Cl f = f + e(x₀,) = (+ m(x₀,)) ∙ f ,

(6)
где – единица множества M(x₀,).
Аналогично, если M(x₀,), то
Cl = + ∙ m(x₀,) = (+ m(x₀,)) ∙ . (7)

Заметим, что Cl = {}.

Пусть M'(x₀,) – подмножество M(x₀,), состоящее из функций, любые две из которых не являются асимптотически равными.

Тогда, обозначив посредством M(x₀,) |_~ фактормножество пространства M(x₀,), имеем:
M(x₀,) |_~= { Cl | M'(x₀, )}, (8)
а само множество можно представить так:
M(x₀,) = Cl . (9)

4. Подмножество M"(x₀,) и его фактормножество. Рассмотрим множество функций:
M"(x₀,) = { M(x₀,) | (x) R\O} U {}. (10)

Утверждение:

( (x) = r) ( ~ при x → x₀), (11)
здесь- постоянная функция: (x) = r, где r R\O.
Доказательство. Пусть (x) = r.
Тогда (x) = r + (x) = (1 + (x)/r)r, где m(x₀,).
Т.к. (1 + (x)/r) = 1, то ~ при x → x₀.
Пусть теперь ~ при x → x₀_.Тогда (x) = (x) r, причём

(x) = 1.

Следовательно, (x) = r.

Учитывая (11), находим:

Cl ={ M"(x₀,) | (x) = r} = + m(x₀,). (12)
К тому же выражению для Cl можно прийти, используя общую формулу(7).

Поскольку в M"(x₀,) входят все постоянные функции, то

M"(x₀,) |_~ = {Cl | rR } (13)

и
M"(x₀,) = Cl . (14)

5. Обобщение. В этом пункте будем считать, что функция сравнения f определена на

(x₀,).Очевидно, что множество E(x₀, ) = f ∙ M(x₀,) не исчерпывает всех функций, связанных с функцией f символом Ландау.

Если, например, функция определена и ограничена на (x₀, ) (x₀, ), а в точке x₁ (x₀, ) \ (x₀, ) имеет вертикальную асимптоту, то M(x₀,), но

функция = ∙ f, входящая в пространство f ∙ M(x₀, ), находится в отношении O(f) с функцией сравнения.
Следовательно, чтобы расширить множество E(x₀, ), рассмотрим фильтр из всех проколотых окрестностей, входящих в (x₀, ), и с каждой окрестностью (x₀,) свяжем пространство M(x₀, ).
Таким образом, получаем два семейства пространств:
(M(x₀, )) и (m(x₀, )), (15)
где ω – множество значений параметра, соответствующих всем элементам фильтра.
Введём, далее, следующие классы функций:
ℳ(x₀, ) = M( x₀, ); μ ( x₀, ) = m( x₀, ); (16)

ε(x₀, ) = f ∙ ℳ(x₀, ) = E(x₀, ); (17)

ε(x₀, ) = f ∙ (x₀, ) = e (x₀,). (18)

Тогда:
( = O(f), x → x₀) ( ε(x₀, )); (19)

( = o (f), x → x₀) ( ε (x₀, )). (20)
Если в ℳ(x₀, ) определить операции сложения и умножения функций на пересечении соответствующих проколотых окрестностей, то ℳ(x₀, ) можно рассматривать как коммутативную алгебру с единицей. Поэтому (как показано в пункте 2) можно легко получать и доказывать различные соотношения с символами Ландау.

6. Отношение f , x → x₀. Напомним второе определение отношения, выражаемого символом О большое, которое равносильно использованному выше [2]:
( = O(f), x → x₀): = c>0 (). (21)
В этом случае одни авторы говорят, что функция ограничена по сравнению с функцией f на ; а другие – что функция одного порядка с f , следовательно, постоянный коэффициент не учитывается.

При больших значениях с такая формулировка не отражает соотношения между функциями, на что обратили внимание, например, в [3,4].

В связи с этим целесообразно ввести отношение ( f, x → x₀), которое означает, что функция ограничена функцией f при, x → x₀ .

Определение:

( f , x → x₀): = (). (22)
Ясно, что
( = O(f), x → x₀) > 0 (cf , x → x₀)). (23)
ЛИТЕРАТУРА

Зорич В.А. Математический анализ. Ч. I. М.: МЦНМО, 2001. Глава III, §2.
Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. Т.1. М.: Дрофа, 2003. §8.
Найфэ А. Введение в методы возмущений. М.: Мир, 1984. с.24.
Андрианов И.В., Баранцев Р.Г., Маневич Л.И. Асимптотическая математика и синергетика. М.: УРСС, 2004. с.109.

жүктеу/скачать 362 Kb.

Достарыңызбен бөлісу: