Занятие 9 Векторные функции 1 Годограф векторной функции

2 Как вычисляется кривизна в случаях векторного, параметрического представления кривой?

3 Дайте определение радиуса, круга и центра кривизны плоской кривой.

4 Что называется эволютой и эвольвентой плоской кривой?

В точке имеем

Тогда

Подставляя в формулу для вычисления кривизны, получим

Так как , , то из первого выражения находим, что , а из второго получаем .

Подставляя в формулы для координат центра кривизны, получим

,

, т. е. .

4 Найти эволюту эллипса .

Решение. Имеем

, , , .

Подставляя в формулы для эволюты, получим

Данные уравнения являются параметрическими уравнениями астроиды (рисунок 10.6).

Рисунок 10.6 – Эллипс и его эволюта

Определяем координаты центра кривизны:

Получаем уравнение эволюты в параметрической форме:

Исключив параметр , найдем уравнение эволюты в явном виде

а) , , ;

б) , ;

в) , при ;

г), .

2 Найти радиусы кривизны кривых:

а) ;

б) ;

в) , ;

г) .

3 Вычислить координаты центров кривизны кривых в указанных точках:

а) , ;

б) , .

4 Составить уравнения эволют кривых:

а) ;

б) ;

в) , .

а) , ;

б) в вершинах эллипса и ;

в) , , ;

г) , .

2 Найти радиусы кривизны кривых:

а) ;

б) , ;

в) .

а) , ;

б) ,;

в) , .

а) ;