Барлық жиындардың жиыны жиын болады ма?
§11. n-ретті дифференциалдық операторлар
жүктеу/скачать 0.73 Mb.
|
| §11. n-ретті дифференциалдық операторлар
Функционалдық кеңістік L2 (a,b) қарастырамыз және в-a< (кесінді) Сызықтық дифференциалдық өрнек аламыз L(y)=yn(x)+p1(x) yn-1(x)+p2(x)yn-2(x)+…+p0(x)y(x) x ке тәуелді функция Мұндағы, p1 Cn-1[a,b] P2 Cn-2[a,b] …. P0 C[a,b] Максималды оператор max Y(x)l(y)(x) бірақ L2 (a,b) Кез келген функция бейжарамды. Түгел L2 (a,b) да анықталмаған, кейбір туындысы бар функцияларда. D(max ) def=максимал оператордың анықталу облысы {y L2, yl L2, ….. {yn L2} туындылары және өзі L2 (a,b)-да жатса, көбейтінділері L2 (a,b) -да жатады. Ескерту! Егер y L2 онда p0(x)y(x) L2 онда Кесіндіде үзіліссіз функция шенелген (Вейерштрасс) барлық мәндері әмбебап m-нен аспайды. Әмбебап себебі барлық x ке жарайды. y D(max ) max y ке әсер етеді және сызықты тиісті сәйкес қояды. y D(max ) L2 (a,b) maxy(x)=y(n)(x)+ y(n-k)(x) L2(a,b) (1) D(max )-оператордың анықталу облысы. Ал (1)-оның амалы немесе бернесі. D(max )-оператордың анықталу облысы L2(a,b)-ға тең емес, бірақ L2(a,b)-да жатады. (бернесі=функция) Оператор үшін анықталу облысы,амал -ол өрнек, мәндер жататын жиын. D(max ), l(), L2(a,b) оператор=max Функция деген де үштік Df, f, X функция= f(x) Функционал (анықталу облысы,амал-комплекс/нақты санға бейнелейді, мәндер жататын жиын) D(Ф), (Ф), C =Ф(y) C Оператор сызықты болса онда D(max ) – сызықтық кеңістік болуы керек. y1D ; max y1 y2D ; max y2 Неге максималды? Өрнектің мағынасы болу үшін туындысы бар болу керек және ол L2(a,b)-да жату керек. Яғни кең облыс алдым. Анықталу облысы неғұрлым кең. Максимал оператор берілген өрнектен шығады. Әр өрнектен максимал оператор шығады. Сөздік
Максимал оператордың керілетін тарылу ұғымы Тарылу деген ол да оператор, жаңа оператор. Оның анықталу облысы Dmax-қа қарағанда тар. max – үлкен жиын, ал - тар жиын. 4.1) Dопер Dmax 4.2) max|D опер= 4.3) -1-шенелген оператор Осы 3 шарт орындалса онда max-тін керілетін тарылуы. Оң жағына шешімін сәйкестендіретін оператор-кері оператор деп аталады. Дифф.теңдеуде есептің қойылымы Мақсат: max оператор барлық мүмкін керілетін тарылуларын табу есебі. Шешімі жалғыз болатын барлық шарттарды қанағаттандырады. Керілетін тарылуларды табу алгоритмі 1-step. Алдымен кемінде бір керілетін тарылуын табу қажет. 2-step. Барлық мүмкін керілетін тарылуларын жазу қажет. Керілетін тарылу Табу үшін өрнекті жазып аламыз: yn(x)+p1(x) yn-1(x)+p2(x)yn-2(x)+…+p0(x)y(x)f0(x), a Мақсатымыз: жалпы шешімін табу y(x) алдымен f0(x) тең екенін емес, өрнектің біртекті кезіндегісін шешіп аламыз: yn(x)+p1(x) yn-1(x)+p2(x)yn-2(x)+…+p0(x)y(x)0 (2) (2) есептің, біралынған а нүктесіндегі туындылардың мәнін қалағанша аламыз: y(a)=b1 yI(a)=b2 …… y(n-1)(a)=bn (3) y(n) L2(a,b) (y(n-1))I L2(a,b) y(n-1)-дің бірінші ретті туындысы бар. ФI L2(a,b) Ф[a,b] үзіліссіз. Жай үзіліссіз абсолют үзіліссіз шығады. кесіндідн үзіліссіз болса, сапалы яғни бірқалыпты үзіліссіз, абсолют үзіліссіз. Бұл үзіліссіз функция болса, кез келген нүктеде мәні бар: Ф(a)= y(n-1)(a), Ф(b)= y(n-1)(b) Олай болса (3)-тегі барлық мәндері бар. (2)-есептің шешімі жалғыз (Коши). Олай болса y(a)=1 yI(a)=0 …… y(n)(a)=0 Енді келесі: y(a)=1 yI(a)=0 …… y(n)(a)=0 деп аламыз. Солай бізде n шешімі шығады. Яғни шешімдер жүйесі пайда болады. Қасиеті: 1) Сызықтық тәуелсіз жүйе (сызықтық тіркес алсаң өлсеңде 0 шықпайды) ол тек )+ )+ )+...+ )=0 Ǝ ≠0 Дәлдік үшін кері жориық { =0} Белгісіз n х=а Таңдау саны х=G 2) W(х)= = анықтауыш = (експонентаға еселі) Ескерту: { }белгілі IШЖ Осылар бойынша { }IШЖ Табылады өрнек шешім болды Енді кері көрейік:шешім өрнек { } Матрицалық және векторлық жазуы = W(a)= , а = Біртекті теңдеудің жалпы шешімі Дербес шешімі Біртекті емес теңдеудің жалпы шешімі мұндағы: IШЖ бар болса , дербес ті де жалпы шешімді де жазамыз . Шешімі шексіз көп ал бізге керілетін керек. = = y(a)=0, =0 f(x)= f(x)= = 8) керілетін тарылу Λ- керілетін тарылуы болсын бар дейік және ол шенелген қосымша талап қоямыз Осылай болса, талаптар бар дейін, онда -да жататын f(x)-тің жалғыз шешімі бар. абс үзіліссіз болса , =сан(f)= f үшін сәйкес табылады жалғыз сан. Онда бұл функционал және бұл шенелген сызықты функционал. дағы. Гильберт кеңістігі. Ал ол кеңістікте Ф.Рисс теоремасы бар. Демек скаляр көбейтінді бар. const Теорема Рисс: 1)Шенелген сызықтық функционал. 2)Және бұдан басқа шенелген функционал жоқ. Гильберт кеңістігінде шенелген сызықтық функционал скаляр көбейтінді ретінде жазылады. (u)-тегі шешім жалғыз болуы үшін константалар болуы керек. Демек, қосымша талап келесідей болады: y(a) = ; … … (a)= ; мұндағы (x) ; k= Демек, бізде n талап бар екен. y-ті (y)- арқылы өрнекемесе шешім жалғыз болмай қалады. f(x)= + +…+ + *f(t)* 9)Грин функция ұғымы (*) , а (*)(*) - сызықтық дифференциалдық оператор кері опреатор Интегралдық оператор = өзгеріп тұрады өзегі өзегі Гринн функция деп аталады және ол х-ке, t-ға тәуелді. жүктеу/скачать 0.73 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|