Негізгі және қосымша әдебиеттер

[2]. Ильин В. А., Позняк Э. Г., Линейная алгебра, М., 1978

[3]. Калужнин Л. А., Введение в общую алгебру, М., 1973

[4]. Кострикин А. И., Введение в алгебру (часть 2), М., 2001

[5]. Курош А. Г., Курс высшей алгебры, М., 1971

[6]. Ляпин Е. С., Евсеев А.Е., Алгебра и теория чисел (часть 2), М., 1978

[7]. Мальцев А. И., Основы линейной алгебры, М., 1970

[8]. Петрова В. Т., Лекции по алгебре и геометрии (часть 2), М., 1999

[9]. Пизо Ш., Заманский М., Курс математики. Алгебра (пер.с франц.),1971

[10]. Проскуряков И. В., Сборник задач по линейной алгебре, М., 1974

[11]. Сборник задач по алгебре (под редакцией А.И.Кострикина), М., 1987

[12]. Сызықтық алгебра элементтері (методикалық талдау), Құрастырған

Т. Б. Бұлабаев, А., 1992

[13]. Саханов Н., ЖаңбырбаевБ., Жоғары математика, А., 1993

[14]. Судоплатов С.В., Овчинникова Е.В., Элементы дискретной математики

( учебник для ВТУЗов ), Новосибирск, 2002

1. 
   Өрісте берілген сызықтық кеңістіктің анықтамасы, аксиомалары
   

3. Өріске байланысты сызықтық кеңістіктің түрлері

1. 
   Өрісте берілген сызықтық кеңістіктің анықтамасы, аксиомалары
   

3. Өріске байланысты сызықтық кеңістіктің түрлері

№2 дәріс

1. 
   Ішкі кеңістіктің анықтамасы, мысалдары, критериі
   
2. 
   Ішкі кеңістіктерге амалдар қолдану
   
3. 
   Ішкі кеңістіктердің тура қосындысы
   

Егер берілген өріс R, C өрістері- нің бірі болса, векторлық кеңістікті, сәйкесінше, нақты кеңістік, комплекс кеңістік деп атайды. Векторлық кеңістіктің мысалдар мыналар: 1) берілген өрістің негізгі жиынының декарттық n дәрежесі болатын жиын кортеждерді қосу мен өріс элементіне көбейту амалдары арқылы; 2) жазық- тықтағы бір нүктеден шығатын бағытталған кесінділер жиыны оларды пара- ллелограмм ережесі бойынша қосу, санға көбейту амалдары арқылы; 3) эле- менттері нақты сандар болатын n-ші ретті квадрат матрицалар жиыны матрицаларды қосу мен нақты санға көбейту амалдары арқылы; 4) нақты сандардың шексіз тізбектерінің жиыны тізбектерді мүшелеп қосу мен нақты санға көбейту амалдары арқылы. Бірінші мысалдағы кеңістікті әдетте n-өлшемді арифметикалық векторлық кеңістік деп атайды.

Векторлық кеңістіктің ішкі жиыны мына шарттарды қанағаттандырғанда ішкі кеңістік болады:

1. 
   Векторларды қосу амалына байланысты тұйық болғанда,
   
2. 
   Векторды скалярға көбейту – сыртқы амалына қатысты тұйық болғанда
   

1. 
   Ішкі кеңістіктің анықтамасы, мысалдары, критериі
   
2. 
   Ішкі кеңістіктерге амалдар қолдану
   
3. 
   Ішкі кеңістіктердің тура қосындысы
   

1. Сызықтық кеңістікте берілген оператордың анықтамасы

2. 
   Оператордың сызықтық болу шарттары
   
3. 
   Анықтамадан шығатын салдарлар
   

Анықтама. Өрісте берілген векторлық кеңістікті өз-өзіне бейнелеу, яғни оны түрлендіру, осы кеңістіктегі оператор деп аталады. Егер оператор аддитивті және біртекті болса, онда оны сызықтық деп атайды. Оператордың сызықтық болу шартын жалпы түрде былайша жазуға болады:

Мысалдар.

Кезкелген векторлық кеңістіктегі теңбе-тең бейнелеу сызықтық оператор болады. Оны бірлік оператор деп атап, әдетте деп белгілейді.
Векторлық кеңістіктің барлық векторын нөлдік векторға көшіретін бейне-

леу сызықтық оператор болады. Оны нөлдік оператор деп атап, әдетте деп белгілейді.

Векторлық кеңістік - кесіндісінде анықталған үздіксіз функциялар

кеңістігі болсын. Дифференциялдау заңдылығы осы кеңістікте сызықтық

оператор болады. Оны дифференциялдау операторы деп атайды.

4) Векторлық кеңістіктің әрбір x векторына х ( - скаляр ) векторын

сәйкестікке қоятын бейнелеу сызықтық оператор болады. Оны ұқсастық

операторы деп атайды.

5) Егер векторлық кеңістік өзінің екі ішкі кеңістігінің тура қосындысы болса,

онда әрбір векторға ішкі кеңістіктің біреуіне тиісті құраушысын сәйкестік-

ке қоятын бейнелеу сызықтық оператор болады. Оны проекциялау опера-

торы деп атайды.

1. 
   Сызықтық кеңістікте берілген оператордың анықтамасы
   
2. 
   Оператордың сызықтық болу шарттары
   
3. 
   Анықтамадан шығатын салдарлар
   

№4 дәріс

1. 
   Кеңістіктің базисін берілген векторлар системасына көшіретін сызықтық оператордың болатыны туралы теореманың дәлелдеуі
   
2. 
   Ол оператордың біреу болатындығының дәлелдеуі
   
3. 
   Сызықтық оператордың берілген базистегі матрицасы
   

Теорема. Векторлық кеңістіктің e,…, e базисін сәйкес b,…,b векторларына көшіретін бір ғана сызықтық оператор табылады.

Теореманың дәлелдеуі (2 ) әдебиетте оңай келтірілген.
Келтірілген теорема векторлық кеңістікте сызықтық оператор берілуі үшін базистік векторлардың осы оператордың нәтижесіндегі образдарының берілуі жеткілікті екендігін көрсетеді. Мұның өзі, практикаға қолайлы, сызықтық операторларды матрица арқылы « суреттеуге» мүмкіндік береді.
Сонымен, векторлық кеңістіктің тұрақтандырылған базисінің образдары берілсе, онда кеңістікте сызықтық оператор берілді деп есептеледі. Ал ол образдар берілді деген сөз, олардың сол базис арқылы жіктелуі берілді деген сөз. Осы жіктелу коэффициенттерінен құралған квадрат матрица сызықтық оператордың берілген базистегі матрицасы деп аталады және ол А деп бел- гіленеді.

Жоғарыда қарастырылған мысалдардан, бірлік оператордың матрицасы – бірлік матрица, ал нөлдік оператордың матрицасы – нөлдік матрица болатынын оңай түсінуге болады.

Сонымен, векторлық кеңістікте сызықтық оператор берілсе, онда оған сәйкес квадрат матрица табылады; және керісінше, берілген кезкелген квадрат матрица қандай да бір сызықтық оператордың матрицасы болады.

Олай болса,өрісте берілген n- өлшемді векторлық кеңістікке әсер ететін сызықтық операторлар жиыны мен элементтері сол өріске тиісті n-ші ретті квадрат матрицалар жиыны арасында өзара бірмағыналы сәйкестік болады. Ол сәйкестік - биективті бейнелеу.

1. 
   Кеңістіктің базисін берілген векторлар системасына көшіретін сызықтық оператордың болатыны туралы теореманың дәлелдеуі
   
2. 
   Ол оператордың біреу болатындығының дәлелдеуі
   
3. 
   Сызықтық оператордың берілген базистегі матрицасы
   

1. 
   Сызықтық оператордың әртүрлі базистегі матрицаларының байланысы
   
2. 
   Ұқсас матрицалардың қасиеттері, олардың анықтауыштары
   
3. 
   Сызықтық оператор матрицасының біреу болатынын дәлелдеу
   

Егер векторлық кеңістікте сызықтық операторы тұрақтандырылған e,…,e базисінде А матрицасымен берілсе, онда осы базисте өзінің координаталарымен берілген х = ( ,..., ) векторының образы болатын ( х) =( ,..., ) векторының координаталары төмендегі формуламен табылады:

Егер векторлық кеңістікте (1 ), ( 2) базистер беріліп, осы базистердегі

сызықтық операторының матрицалары сәйкесінше А және В болса, және ( 1) - ші базистен (2) – ші базиске көшу матрицасы Т болса, онда осы матрицалартөмендегі формуламен байланысқан болады:
В = Т * А * Т
Сонда, векторлық кеңістікте берілген бір сызықтық оператордың әртүрлі базистегі матрицалары ұқсас матрицалар болады.

Ұқсас матрицалардың анықтауыштары өзара тең болады. Шынында да,