Е. Сиқымов атындағы орта мектебі, мектеп жанындағы интернатымен
жүктеу/скачать 66.67 Kb.
|
| КММ-нің 11 сынып оқушыларына
олимпиадалық есептер жинағы 11 сынып ІІ-тур Қос-қостан әртүрлі және (a-b)5+(b-c)5+(c-a)5=0 болатын нақты сандар бар ма? 2. АВС теңқабырғалы үшбұрыштың АС және АВ қабырғаларынан MCMA=NANB=2 болатындай, сәйкесінше M және N нүктелері берілген. P нүктесі ВM жәнеСN кесінділерінің қиылысы болсын. Сонда ∠ APC = 90 ̊екенін дәлелдеңіз. 3. Тақтада 1;12 ;13 ;…;1100 жүз сандары жазылған. Әрбір минутта келесі амал орындалады: қандай да бір а,b сандары өшіріліп, олардың орнына а+в+а∙b саны жазылады. Бірнеше уақыттан кейін тақтада тек қана бір сан қалады. Бұл сан қандай сан? Е. Сиқымов атындағы орта мектебі, мектеп жанындағы интернатымен КММ-нің 11 сынып оқушыларына олимпиадалық есептер жинағы ынып ІІ-тур 1. Қос-қостан әртүрлі және (a-b)5+(b-c)5+(c-a)5=0 болатын нақты сандар бар ма? Шешуі:
(a-b)5+(b-c)5+(c-a)5= =(a-b+b-c)((a-b)4-(a-b)3(b-c)+(a-b)2(b-c)2-(a-b)(b-c)3+(b-c)4)+ +(c-a)5=(c-a)((c-a)4-(a-b)4-(b-c)4+(a-b)3(b-c)+(a-b)(b-c)3- -(a-b)2(b-c)2) a, b, c нақты сандары қос-қостан тең емес болғандықтан с-a≠0 Сонда (c-a)4-(a-b)4-(b-c)4+(a-b)3(b-c)+(a-b)(b-c)3-(a-b)2(b-c)2=0 (c-a)4=((c-b)+(b-a))4=((c-b)2+(b-a)2+2(c-b)(b-a))2= = (c-b)4+(b-a)4+4(c-b)2(b-a)2+2(c-b)2(b-a)2+4(c-b)3(b-a)+ +4(b-a)3(c-b). Сонда (c-b)4+(b-a)4+6(c-b)2(b-a)2+4(c-b)3(b-a)+4(b-a)3(c-b)-(a-b)4- -(b-c)4+(a-b)3(b-c)+(a-b)(b-c)3-(a-b)2(b-c)2=5(a-b)(b-c)3+ +(b-c)(a-b)3+(b-c)2(b-a)2= =5(a-b)(b-c)((b-c)2+(a-b)2+(a-b)(b-c))=0 a-b≠0, b-c≠0, болғандықтан (b-c)2+(a-b)2+(a-b)(b-c)=0 b2+c2-2bc+a2+b2-2ab+ab-b2-ac+bc= =a2+b2+c2-bc-ab-ac=12((a-b)2+(b-c)2+(c-a)2)=0 (a-b)2>0, (b-c)2>0, (c-a)2>0 болғандықтан (a-b)2+(b-c)2+(c-a)2>0 Демек (a-b)5+(b-c)5+(c-a)5≠0. Жауабы: a, b, c нақты сандары табылмайды. 2. АВС теңқабырғалы үшбұрыштың АС және АВ қабырғаларынан MCMA=NANB=2 болатындай, сәйкесінше M және N нүктелері берілген. P нүктесі ВM жәнеСN кесінділерінің қиылысы болсын. Сонда ∠ APC = 90 ̊екенін дәлелдеңіз. Шешуі: Шешуі: MC=2MA, NA=2NB ∠NCA=∠CBM= α болсын. Сонда ∠BCN=60°-α . Сонда ∠BPC=1800-600=1200 ∠NPM+∠NAM=1200+600=1800 . Олай болса N,P,M,A нүктелері бір шеңбердің бойында жатады. AK=KN болса, онда KN=KM=KA. Яғни AN NPMA шеңберінің диаметрі. Ендеше ∠ APN = 90о,олай болса ∠ APC = 90 ̊. 3. Тақтада 1;12 ;13 ;…;1100 жүз сандары жазылған. Әрбір минутта келесі амал орындалады: қандай да бір а,b сандары өшіріліп, олардың орнына а+в+а∙b саны жазылады. Бірнеше уақыттан кейін тақтада тек қана бір сан қалады. Бұл сан қандай сан? Шешуі: Шешуі: Есептің шарты бойынша a және b сандары өшіріліп, орнына a+b+ab саны келеді a+b+ab=a(b+1)+(b+1)-1=(a+1)(b+1)-1 болатынын байқаймыз. Осы алынған сан тағы да осындай амалға қандай да бір с санымен түседі, сонда алынған сан ((a+1)(b+1)-1+1)(c+1)-1=(a+1)(b+1)(c+1)-1 болады Осылай амалдарды жалғастыра берсек соңында мынадай өрнек аламыз (α1+1)(α2+1)…(α100+1)-1 мұндағы α1=1, α2=12,…α100=1100 Сонда (α1+1)(α2+1)…(α100+1)-1=21∙32∙43∙∙∙10099∙101100-1=100 Жауабы: соңында қалған сан 100 саны Шешуі: а∘b=а+b+а∙b деген жаңа амал енгіземіз. Сонда тікелей тексерудің арқасында (а∘b)∘с=a∘(b∘c) және а∘b=b ∘а екеніне көз жеткіземіз. Бұл деген сөз санды қалай таңдадыңыз, қай жерде және қашан таңдадыңыз, нәтиже оған байланысты емес екен. Сондықтан біз амалды басынан бастап жүргіземіз. 1+ 12 + 12=2, 2+ 13 + 23=3,…, 99+ 1100 + 99100=100 Сонда ең соңғы шыққан сан 100 болды. Жауабы: соңында қалған сан 100 саны жүктеу/скачать 66.67 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|