Қатты дeнeнің қарапайым қозғалыстары

2.2. Қатты дeнeнің қарапайым қозғалыстары

2.2.1. Қатты дeнeнің ілгерілeмeлі қозғалысы

Қозғалмайтын О₁ξηζ өстер жүйесіне қатысты ілгерілемелі қозғалыс жасайтын қатты дене Д берілсін. Оның кез келген бір нүктесі О-ны полюс ретінде қабылдап, денеге өзгерместей етіп бекітілген қозғалмалы координаттар жүйесін алайық.

Бұл қозғалмалы жүйенің өстерін негізгі жүйе өстеріне параллель бағыттаймыз (2.14-сурет). Таңдап алынған О-бас нүктенің қозғалмайтын О₁ξηζ жүйесімен салыстырғандағы кеңістіктегі орны радиус-векторымен, ал дененің кез келген М нүктесінің қозғалмалы Oxyz жүйесімен салыстырған-дағы орны радиус – векторымен анықталады. Дене абсолют қатты және тек қана ілгерілемелі қозғалыста бол-ғандықтан радиус-вектор шамасы жағынан да, бағыты жағынан да тұрақты болады, яғни оның осы координаттар өстеріне проекциялары а, в, с тұрақты сандар болады. Суреттегі О₁ОМ векторлық үшбұрыштан, М нүктесінің О₁ξηζ жүйесіндегі орнын анықтайтын радиус-вектор -ның өрнегін табамыз:

(2.59)

мұндағы, = const.

Әртүрлі уақыт мезгіліндегі сәйкес нүктелерінің арасын қосатын кесінділер, мысалы ОМ кесіндісі, өзара параллель және тең болатын қисықтар (траекториялар) эквидистанттық немесе конгруэнтті қисықтар (траекториялар) деп аталады. Ілгерілемелі қозғалыстағы дене нүктелерінің траекториялары кез келген эквидистанттық қисық сызықтар болады.

Дененің (2.43) қозғалыс теңдеуінің екі жағынан да уақыт бойынша туынды аламыз. Сонда:

,

немесе

яғни, ілгерілемелі қозғалыстағы қатты дененің барлық нүктелерінің берілген бір уақыт мезгіліндегі жылдамдықтары өзара тең болады.

Қатты дененің ілгерілемелі қозғалысын кез келген уақыт мезгілінде дененің барлық нүктелерінің жылдамдықтары өзара тең болатын қозғалыс деп те атайды. Мұндай қозғалысты пермаменттік (тұрақты) ілгерілемелі қозғалыс деп атаймыз.

Дененің үдеу векторларының орналасуын анықтау үшін (2.60) –теңдіктен уақыт бойынша туынды ала аламыз:

яғни, пермаменттік ілгерілемелі қозғалыстағы қатты дене-нің барлық нүктелерінің кез келген уақыт мезгіліндегі үдеуле-рі өзара тең.

Сонымен, пермаменттік ілгерілемелі қозғалыстағы қатты дененің барлық нүктелерінің кез келген уақыт мезгіліндегі сәйкес кинематикалық сипаттамалары бірдей, яғни олардың біреуінің ғана мысалы О нүктесінің қозғалысын зерттеп білсек болғаны.

2.2.2. Қатты дененің қозғалмайтын өс төңірегіндегі айнал-малы қозғалысы

Қозғалмайтын Q_о және Q жазықтықтарының арасындағы екі жақты бұрыш φ қатты дененің айналу бұрышы деп аталады. Бұл бұрыш берілген дененің кез келген уақыт мезгіліндегі орнын бірмәнді анықтайды. Демек, қозғалмайтын өсті айналатын қатты дененің бір ғана еркіндік дәрежесі болады. Дененің қозғалмайтын өс төңірегіндегі орны бір параметрмен анықталады. Мұндай параметр рµлін φ бұрышы атқарады. Ол уақыттың бірмәнді функциясы болып келеді:

Айналу бұрышы дің таңбасын анықтауда оң бұран-да ережесіне сүйенеміз. Егер бұрышы айналу өсі -оң ұшынан қарағанда қозғалмай-тын Q₀ жарты жазықтықтан Q жарты жазықтыққа қарай сағат тілінің қозғалысына қарсы ба-ғытта саналатын болса, айналу бұрышын оң таңбалы деп са-наймыз. Ал егер ол кері бағыт-пен анықталса, оны “–” таң-бамен алуымыз керек. Айналу бұрышы үнемі радианмен өлшенеді.

Дененің қозғалмайтын өсті айналуын сипаттауға қажетті екінші бір кинематикалық шаманы бұрыштық жылдамдық деп атайды. Оның алгебралық шамасы ω әрпімен белгіленеді. Бұрыштық жылдамдық ω дененің айналу бұрышы φ-дің уақыттың өтуіне қарай өзгеру тездігін белгілейтін шама. Алдымен белгілі бір уақыт аралығына сәйкес келетін айналу бұрышының өзгеруін қарастырайық. Егер оның t уақытына сәйкес мәні φ(t) – болсын, ал уақыттың t₁ =t+Δt мезгіліндегі мәні φ(t+Δt) болсын. Демек Δt уақыт аралығында дене Δφ бұрышына айналыс жасайды:

, (2.62)

осындағы айналу бұрышының өсімшесі (2.62)-нің оған сәйкес келетін уақыт өсімшесі Δt-ға қатынасын құрайық та, оны ω_орт деп белгілейік:

(2.64)-тің оң жағындағы шек φ(t) функциясының туынды-сын береді.

Ал оның сол жағындағы шек дененің берілген t уақыт мезгіліндегі бұрыштық жылдамдығы ω-ны береді. Осы түсіндір-мелерді қабылдап (2.64) теңдігін мына түрде жазамыз:

. (2.65)

Бұрыштық жылдамдық векторлық шама. – векторы дененің айналу өсінің бойында орналасып, оң бұранда ережесіне сәйкес келетін бағытпен бағытталады.

Жоғарыда айтылған φ бұрышын санаудың оң бағыты жөніндегі анықтаманы ескере отырып, бұрыштық жылдамдық векторын мынадай формуламен өрнектеуге болады:

, (2.66)

мұндағы , өсінің бірлік векторы.

Дененің айналмалы қозғалысын сипаттаушы үшінші кине-матикалық шама, бұрыштық үдеу ұғымына тоқтап өтейік. Алдымен орташа бұрыштық үдеуді анықтаймыз. Берілген t уақыт мезгіліндегі айналмалы қозғалыстың бұрыштық жылдам-дығы ω(t) болсын, ал t+Δt уақыт мезгілінде ол ω(t+Δt) болсын дейік. Сонда Δt уақыт аралығында бұрыштық жылдамдық өсімшесі мынаған тең болады:

. (2.67)

Осы шамалар қатынасын дененің Δt уақыты аралығын-дағы орташа бұрыштық үдеу деп атап, оны ε_орт әрпімен белгілейміз:

Бұл қатынасты пайдалана отырып, дененің берілген уақыт t мезгіліндегі, яғни лездік бұрыштық үдеудің анықта-масын бере аламыз.

Берілген уақыттағы бұрыштық үдеу деп орташа бұрыш-тық үдеудің Δt→0 кездегі үдеудің шегін айтамыз. Бұрыштық үдеуді ε-деп белгілесек, айтылған анықтама мына формула-мен беріледі:

(2.69)

(2.69) –теңдіктің оң жағында ω(t) функциясының уақыт бойынша алынған туындысы тұрғанын ескерсек, оны мына түрде қайталап жаза аламыз:

Бұрыштық үдеу бұрыштық жылдамдықтан уақыт бойынша алынған бірінші туындыға тең немесе φ айналу бұрышынан уақыт бойынша алынған екінші туындыға тең болатын шама. Бұрыштық үдеу векторы де айналу өсінің бойында орналаса-ды. Бұрыштық үдеу векторын мынадай формуламен өрнектеуге болады:

.

Егер t₀ = 0 болғанда φ = φ₀ десек, соңғы теңдіктен мынадай формула шығады:

мұндағы бастапқы φ₀=0 болып келген жағдайда (2.72) –теңдіктен:

Дененің айналысы кезінде оның бұрыштық үдеуі ε т±рақ-ты болатын болса, онда мұндай айналмалы қозғалысты бір қалыпты айнымалы дейміз.

Бұрыштық үдеу анықтамасынан:

_.

Бұл теңдікті сәйкес алынған шектерде (t₀=0 саналады) интег-ралдау арқылы, мынадай формула аламыз:

. (2.74)

Бұл формуламен ε=const болған жағдайдағы бұрыштық жылдамдық анықталады. (2.74)-тің екі жағында dt-ға көбейтіп интегралдау арқылы мынадай формула аламыз:

. (2.75)