Айналмалы қозғалыстағы дeнe нүктeлeрінің жылдам-дықтары және үдeулeрі

2.2.3. Айналмалы қозғалыстағы дeнe нүктeлeрінің жылдам-дықтары және үдeулeрі

, (2.76)

формуласымен есептелінеді, ал векторы, радиусы h, центрі О нүктесінде жататын шеңберге жанамамен, айналыс болатын жаққа қарай бағытталады (2.16-сурет).

(2.76)-шы формула нүкте М-нің жылдамдығын геометрия-лық әдіспен табуға мүмкіндік береді. Ал жылдамдықты векторлық тәсілді қолданып табуға да болады. Ол үшін берілген нүкте М-нің Oxyz өстер жүйесіндегі радиус-векторын алайық. Осы және векторының векторлық қөбейтіндісін құрайық: (2.16 сурет).

Бұл көбейтіндінің модулі:

. (2.77)

(2.77)-теңдік, векторлық көбейтіндінің модулі, нүкте жылдамдығының (2.76) фор-муламен есептелінетін моду-ліне тең екенін көрсетеді. Осыдан соң векторы-ның бағытына тоқтайық. Бұл вектор, үшбұрыш ΔO₁MO жазықтығына М-нүктесіне тұрғызылған перпендикуляр бойыменен векторымен бірдей бір жаққа қарай бағытталғанын 2.16-суреттен көруге болады. Сонымен бұл айтылғандардан, екі вектор, және бір-біріне тең екенін көреміз. Демек мынадай формуланың орынды екені дәлелденеді:

. (2.78)

(2.78)-формула қатты дене кинематикасындағы маңызды формула. Бұл формула Эйлер формуласы деп аталады.

Дененің кез келген нүктесі М, радиусы h=О₁М және жазықтығы айналу өсіне перпендикуляр орналасқан, шеңбер сыза отырып қозғалады дедік. Демек бұл нүктенің толық үдеуін екі құраушыға жіктеу арқылы анықтай аламыз (2.17-сурет). Шењбер бойымен қозғалған нүктенің жанама үдеуі:

, (2.79)

және оның нормаль үдеуі:

(2.80)

Егер дененің айнал-малы қозғалысы үдемелі болса, онда жанама үдеу жылдамдықпен бірдей бір жаққа қарай бағытталады, ал ол кемімелі болған жағдайда жанама үдеу жылдамдыққа қарама-қарсы жаққа қарай бағыт-талады. Ендігі жерде айналмалы қозғалыстағы М нүктесінің толық үдеуі ā-векторын құраушылары ā_ және ā_n арқылы анықтау мына формулалар арқылы жүргізіледі:

. (2.82)

Егер векторының модулі ||=const болып, оның бағыты ғана уақыт өсуіне қарай өзгеретін болса, онда (2.78)-формуладан мынадай теңдік алынады:

. (2.83)

Бұл теңдіктегі радиус-вектор -дің бұрылуының бұрыштық жылдамдығы. Енді (2.83) теңдігінің екі жағынан уақыт бойынша туынды алайық:

. (2.84)

(2.84)–теңдіктің оң жағындағы қосылғыш векторларды жеке-жеке қарастырайық. Ондағы бірінші қосылғыш вектор модулі М-нүктесінің жанама үдеуіне тең:

. (2.85)

(2.85)-тің оң жағындағы бірінші вектор, М-нүктесіндегі жылдамдық векторы мен бағыттас. Демек, бұдан:

(2.86)

Ал енді ондағы екінші қосылғыш вектордың модулі:

(2.87)

Бұл вектор МО₁ түзуінің бойымен О₁ центріне қарай, айналу өсіне перпендикуляр бағытталады. Демек:

Сонымен, (2.80) – (2.82) формулаларын векторлық тәсілді қолданып та алуға болатынын көрсеттік.

Атанақ бетіндегі нүктенің 5 сек уақыт мезгіліндегі жылдам-дығын және үдеуін табу керек (2.18-сурет).

а) б)

Бұрыштық жылдамдықтың айналу өсіндегі проекциясы айналу бұрышы (1)-ден уақыт бойынша алынған туындыға тең:

Бастапқы мәндері: ₀=0, ₀=0. Осы шарттарды ескере отырып (1) және (2) – теңдеулерді мына түрде жазамыз:

(4)–теңдеуден мезгіліндегі атанақтың бұрыштық жылдамдығы -ны табамыз:

.

Атанақтың бетіндегі B нүктесінің (14,б-сурет) сызықтық жылдамдығын, жанама және нормаль құраушы үдеулерін осы уақыт мезгілінде анықтаймыз:

м/с,

м/с2.

Атанақтың бетіндегі нүктенің толық үдеуінің модулі:

м/с2.

Жүктің жылдамдығы атанақтың бетіндегі нүктенің сызық-тық жылдамдығына тең:

Жүктің үдеуі атанақтың бетіндегі нүктенің жанама құраушы үдеуіне тең:

₁r = at, .

₂-ні табамыз. Іліністегі нүкте С-ның сызықтық жылдам-дығы екі тістегерішке ортақ:

,

осыдан:

Осы теңдіктің екі жағында -ға көбейтіп алу арқылы, мынадай теңдік аламыз:

Бұны 0-ден ₂-ге және 0-ден t-ға дейінгі шектерде интегралдай отырып, тістегеріш 2-нің бірқалыпты айнымалы айналмалы қозғалыс заңдылығын табамыз: