Әдістемелік нұсқаулардың Нысан титулдық парағы пму ұс н. 18. 3/40

Материялық нүкте қозғалысының дифференциялдық теңдеулері

жүктеу/скачать 1.74 Mb.

бет	8/10
Дата	09.06.2016
өлшемі	1.74 Mb.
	#124061

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

3.1.4. Динамиканың бірінші және екінші есептері

3.1.3. Материялық нүкте қозғалысының дифференциялдық теңдеулері

Радиус векторы

-ге тең материялық нүктеге әсер етуші күш

болсын. Нүкте қозғалысына негізгі заңды қолдансақ алатынымыз:

, (3.6)

мұндағы, m нүкте массасы, -оның үдеуі. (3.6.)–теңдеуі нүкте динамикасының негізгі теңдеуі деп аталады. Бұл – векторлық теңдеу. Оны әр түрлі координаттар өстеріне проекциялап жазуға болады. Мысалы, оны қозғалмайды деп алынған (3.2-сурет) декарттық координаттар жүйесіндегі өстерге проекциялайық:

_,

немесе:

, (3.7)

мұндағы, , , – нүкте үдеуінің осы координаттық өстердегі проекциялары, Fx. Fy. Fz нүктеге әсер етуші күштің осы өстердегі проек-циялары. (3.7) – теңдеулер ма-териялық нүкте қозғалысы-ның декарттық координаттар өстеріне қатысты алынған дифференциалдық теңдеулері деп аталады.

3.1.4. Динамиканың бірінші және екінші есептері

Нүкте динамикасында негізгі екі есеп бар. Оның бірінші-сінде материялық нүкте қозғалысының заңы және оның массасы m беріледі. Осы заңдылықта болатын қозғалысты тудыратын күшті табу керек болады. Екінші мәселеде берілген күш бойынша массасы m-ге тең нүкте қозғалысының заңын анықтау керек.

Динамиканың бірінші есебі. Нүкте динамикасының бірін-ші есебін шешу көп қиыншылық тудырмайды. Бірінші есепте нүкте массасы m және оның қозғалысының кинематикалық теңдеулері:

_.

берілген болады. Осы берілгендер арқылы (3.7) теңдеулерінен іздеп отырған күштің проекциялары табылады:

Осы күш проекциялары арқылы күштің өзін анықтап аламыз.

Мысал. Салмағы 1.02 кГ жүк жатқан горизонталь платформа
4 м/с²үдеумен вертикаль төмен қозғалады (3.3-сурет). Олар бірге қозғалғанда жүктің платформаға түсіретін қысым күшін табу керек.

Шешуі. Жүкке бір ғана актив күші түсірілген – оның салмағы

. Байланыс-тардан босату аксиомасын пайдаланып, ойша платформаны алып тастаймыз да, оның әсерін вертикаль жоғары бағытталған

реакция күшімен ауыстырамыз.

x–өсін вертикаль төмен қозғалыс бағытымен бағыттаймыз (3.3-сурет). Жүктің негізгі теңдеуі мына түрде жазылады:

_{ma = P – N,}

осы теңдеуден:

_{N = P – ma = 1.02  9,8 – 1.02  4 = 5.92 Н.}

Яғни, жүктің платформаға түсіретін қысым күші де 5.92 Н-ға тең болады.

Нүкте динамикасының екінші есебі. Нүкте динамикасы-ның екінші есебін шешу екінші ретті үш дифференциалдық теңдеулер жүйесі (3.7)-ні интегралдауға келтіріледі. Дифферен-циалдық теңдеулердің мұндай жүйесінің жалпы шешімі әлі табылмаған. Сондықтан біз ол жүйені шешудің жалпы сұлбасын көрсетіп өтейік. Бізге массасы m-ге тең материялық нүктенің берілген

күші әсерінен болатын қозғалысының дифферен-циалдық теңдеулері (3.7) берілсін:

(3.8)

Берілген әсерінен болатын нүкте қозғалы-сын табу (3.8) дифференциалдық теңдеулер жүйесін шешуге келтіріледі. Ол теңдеулерді түрлендіру нәтижесінде мынадай үш теңдеулер алдық дейік:

(3.9)

Онда (3.9)-ды интегралдау арқылы мынадай бірінші интег-ралдарды алған болар едік:

, (3.10)

_.

(3.10)-дағы -тұрақтылары интегралдаудың кез келген тұрақтылары деп аталады.

(3.10) теңдеулерін тағы да бір рет интегралдап шығуымыз керек. Сол мақсатпен оларды қалай да түрлендіре отырып мынадай түрге келтіре алдық дейік:

_,

, (3.11)

_.

Онда бұларды оңай интегралдаған болар едік те, мынадай қатынастар алар едік:

, (3.12)

_.

мұндағы, – интегралдау тұрақтыларының келесі үшеуі.

Уақыт, координаттар, кез келген тұрақты шамалар арасындағы тәуелділікті беретін және қозғалыс теңдеулері негізінде орынды болатын, (3.12) түріндегі қатынастарды қозғалыс теңдеулерінің екінші интегралдары деп атайды. (3.12) қатынастарынан -терді табуға болады:

_,

, (3.13)

_.

(3.13) теңдіктері (3.8) қозғалыс теңдеулерінің жалпы шешімі болып табылады. Мұнда нүкте координаттары уақытқа және алты кез келген тұрақты шамаларға тәуелді функциялар ретінде анықталған.

Сонымен, жалпы жағдайда нүкте координаттары алты кез келген тұрақты шамаларға тәуелді болып шықты.

Басқаша айтқанда, қозғалыс теңдеулерін интегралдау арқылы материялық нүктенің берілген күш әсерінен мүмкін болатын қозға-лыстарының барлығының да заңдарын табуға болады екен.

Мысалы, біз материялық нүктені ауасыз ортада бір орыннан әр түрлі бағыттағы жылдамдықпен ұшыруымызға болады. Онда ол нүкте ауырлық күші әсерінен бастапқы жылдамдықтың қалай бағытталуына байланысты түзу сызық бойымен немесе әр түрлі параболалар бойымен қозғалуы мүмкін.

Сол себепті күштің өзгеру заңдылығын:

көрсетумен қатар, нүктенің бастапқы орны мен жылдамды-ғын да нақтылы көрсетіп отыруымыз қажет.

Уақыт болғанда, нүктенің бастапқы орнын анықтай-тын координаттар мынадай болды дейік:

. (3.14)

Ал бастапқы жылдамдық проекциялары мынадай болсын:

. (3.15)

(3.14) және (3.15) қатынастарының жиынын бастапқы шарттар деп атаймыз. Осы бастапқы шарттар арқылы интегралдау тұрақтылары табылады. Ол үшін (3.10) және (3.12) теңдеулердегі айнымалылары орнына олардың (3.14) және (3.15)-теңдеулерде көрсетілген бастапқы мәндерді қоямыз. Сонда:

, (3.16)

(3.16) бойынша анықталатын интегралдау тұрақтылары-ның мәндерін (3.13) –теңдеуге қойсақ, мынаны аламыз:

, (3.17)

(3.17)-теңдіктер берілген күш әсерінен болатын және бастапқы шарттарға сәйкес орындалатын нүкте қозғалы-сының заңын анықтайды. Сонымен, нүкте динамикасының екінші есебінің шешілуі осы сұлба бойынша жүргізіледі.

1-мысал. Массасы

ге тең М нүкте үйкеліссіз көлбеу жазықтық пен кедергілі ортада қозғалсын. Орта кедергісі жылдамдықтың бірінші дәрежесіне пропорционал болсын

мұндағы k тұрақты шама (3.6-сурет). Нүктенің қозғалыс заңын анықтау керек.

Шешуі. өсін келбеу жазықтық бойымен бағыттайық. Нүктенің қозғалыс теңдеуі:

()

() теңдеуіндегі және айнымалыларды ажыратып жазамыз:

3.6-сурет

(б)
(б)-теңдеуді бір рет интегралдап мынадай теңдеу аламыз:

(в)

болғанда,

(г)

Бұл бастапқы мәндерді (в) теңдеуіне қойсақ:

Олай болса (в) теңдеуі мына түрде қайта жазылады:

Осыдан:

(ж)

(ж) теңдеуді тағы бір рет интегралдап мынаны аламыз:

(з)

(г)-дегі бастапқы шарттарды пайдалана отырып (з) теңдеуінен С_ә тұрақтысын табамыз:

Осыны ескеріп (з) теңдеуін қайта жазамыз:

(и)

Сөйтіп, нүктенің кедергілі ортада көлбеу жазықтықпен қозға-лысының заңын (и) теңдеуі түрінде анықтадық. Орта кедергісінің нүктеге єсері k тұрақты кедергі коэффициентімен сипатталады.

2-мысал. Салмағы

-ға тең дененің бағыты көкжиекпен  бұрышын жасайтын бастапқы жылдамдығы

берілген. Бұдан әрі қарай дене тек салмақ күші және ауа кедергісі

-дің әсерінен ғана қозғалады. Ауа кедергісін дене жылдамдығының бірінші дәрежесіне пропорционал деп есептеп (

), оның қозғалыс теңдеулерін табу керек (3.7-сурет).

3.7-сурет

Шешуі. Координаттардың бас нүктесі ретінде нүктенің алғашқы орнын қабылдап,

өсін горизонталь бағыттаймыз. Нүктенің кез келген бір орнын қарастырып, оған сол уақыт cәтінде әсер ететін күштерді көрсетейік. Нүкте қозғалысының негізгі теңдеуін жазып аламыз:

_.

Бұл теңдеулерді өстеріне проекциялаймыз:

Теңдеулердің екі жақтарын массасына бөліп, оларды қайта жазамыз:

. (а)

Екі теңдеу де коэффициенттері тұрақты, сызықтық тең-деулер болып табылады. Сызықтық теңдеулерді интегралдау-дың жалпы теориясы бойынша деп белгілеп, (а) жүйесіндегі бірінші теңдеудің сипаттаушы теңдеуін жазамыз:

Бұл сипаттаушы теңдеудің түбірлері болғандықтан (а) жүйесіндегі бірінші теңдеудің жалпы шешімі мына түрде анықталады:

мұндағы, және – интегралдау тұрақтылары. Енді бастапқы шамаларды пайдалансақ, және арасындағы тәуелділікті беретін екі теңдеу аламыз:

Осы жүйеден:

Сондықтан да (а) жүйесінің бірінші теңдеуінің интегралы мынадай:

(а) жүйесіндегі екінші теңдеудің жалпы шешімі:

мұндағы, біртекті дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімі, ал біртекті емес дифференциалдық теңдеудің дербес шешімі. Дербес шешім -ні таңдау әдісін қолдану арқылы табамыз:

Ал -ді сипаттаушы теңдеу арқылы, жоғарыда -ті табуға қолданылған әдіспен анықтаймыз:

Сөйтіп, (а) жүйесіндегі екінші дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімі мынадай:

Енді C₃, C₄ интегралдау тұрақтыларын табу қалды. Ол үшін бастапқы шарттарды пайдаланамыз: t₀=0 болғанда y₀=0 болады. Осы шамаларды y өрнегіне және өрнегіне апарып қойсақ:

теңдеулерін аламыз. Бұлардан:

Сөйтіп, екінші біртекті емес дифференциалдық теңдеудің шешімін таптық:

Нүктенің қозғалысын анықтайтын кинематикалық теңдеулерді қатарлап жазып қояйық:

жүктеу/скачать 1.74 Mb.

Достарыңызбен бөлісу:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10