Философские проблемы математики Материалы для выполнения учебных заданий

Будем рассматривать сначала натуральные числа, истолковы­вая такое число как мощность — количество элементов реального множества. Если первые числа имеют отчетливо выраженную инди­видуальность, то по мере увеличения индивидуальность чисел по­степенно теряется, конечно, для разных классов задач с разной ско­ростью. При этом имеется в виду не формальная, а реальная инди­видуальность: например, число 10¹⁰ имеет отчетливую формальную индивидуальность, однако трудно представить себе реальную задачу, в которой множество с 10¹⁰ элементами отличалось бы от множества с 10¹⁰ + 1 элементами. По-видимому, в быту такая по­теря индивидуальности постепенно начинается с нескольких десят­ков, в более точных научных и технических расчетах — с несколь­ких сотен или тысяч, редко дальше; исключение по понятным при­чинам составляют некоторые финансовые расчеты. Таким образом, реальное большое число становится как бы представителем семейст­ва близких ему чисел (На этом вопросе останавливается П. К. Рашевский в своей очень интересной дискуссионной статье [15]).

Еще большие формально выписанные числа вообще полностью теряют всякий реальный смысл. Рассмотрим, например, число N =. Нетрудно убедиться в том, что никакая реальная совокуп­ность не может иметь число элементов, сравнимое с N, т. е. в любой реальной задаче N будет равнозначно бесконечности. По-видимому, можно даже сказать, что в прикладной математике как окон­чательный результат является не числом, а символической картин­кой, наподобие . Осознание реальной недостижимости формально построенных чрезмерно больших чисел привело в последние годы к возникновению нового течения в математической логике — уль­траинтуиционизма (см., например, [16, § 1.2]). Характерно название первой работы в этом направлении Д. ван Данцига: «Является ли конечным числом?» Впрочем, позже мы укажем, что числа вида N могут играть промежуточную роль, подобно мнимым числам, которые порой появляются в промежуточных выкладках, хотя оконча­тельные значения физических величин должны быть вещественными.

Конечно, сколько-нибудь точно указать рубеж, отделяющий «ис­тинные» числа от чисел, являющихся следствием принятой системы обозначений и имеющих лишь ограниченное промежуточное значение, невозможно. Обычно указывается по этому поводу интервал от 10¹⁰⁰ до 10²⁰⁰ (см., например, весьма интересную книгу Э. Бореля [17, гл. VI]). По современным представлениям, наибольшая протя­женность во Вселенной имеет порядок 10¹⁰ световых лет, т. е. 10²⁸ см. С другой стороны, наименьшие реальные значения длин, вероятнее всего, не менее 10^–15— 10^–20 см (см., например, [18]). Поэтому зна­чение (10²⁸: 10^–20)³ = 10¹⁴⁴ наверняка значительно превосходит число элементарных частиц во Вселенной. Для любых реальных ус­ловий отношение наибольшего реального интервала времени к наи­меньшему вряд ли превосходит 10⁴⁰ В «Арифметике» Л. Магницкого указаны наименования чисел до 10³⁰, ибо «довлеет числа сего к вещам всем мира всего» (довлеет — значит достаточно). С другой стороны, существенно более современный автор Р. Эшби пишет [19]: «Все материальное не может выражаться числом, превышающим 10¹⁰⁰».. Однако здесь указаны са­мые далекие рубежи, возникающие только в астрофизике; в технике вряд ли могут встретиться отношения реальных величин больше 10²⁰.

Число N, формально определенное выше, на самом деле не сравни­мо с реальными числами. В самом деле, по правилам арифметики N : 10¹⁰⁰ = . Однако в силу упомянутой выше реальной неопределенности больших чисел можно положить 10¹⁰ — 100 = = 10¹⁰, откуда N : 10¹⁰⁰ = N. Отсюда мы видим, в частности, что применение самых мощных ЭЦВМ нисколько не приближает нас к овладению числом N. А. Н. Колмогоров предлагал [20] подразделять натуральные числа на принципиально различные классы малых, средних и больших чисел (к последним относится и N); при этом проблема, которую нельзя решить с помощью «среднего» перебора, находится «за пределами машины на любой сколь угодно высокой ступе­ни развития техники и культуры».
Таким образом, при применении к прикладной математике тео­рем существования (см., в частности, п. 1), предельных переходов, оценок, полученных в чистой математике, надо все время иметь в виду осмысленные диапазоны значений рассматриваемых величин. Иногда при этом приходится пересматривать привычные представ­ления; например, теоретически , однако lg lg10¹⁰⁰ = 2.

Выше уже упоминалось, что формальные чрезмерно большие чис­ла могут иметь вспомогательное, промежуточное значение в реальных задачах. Так, известно, что в статистической термодинамике тем­пература порции газа вводится с помощью ее энтропии, которая по определению равна логарифму числа квантовых состояний этой пор­ции. Простые оценки показывают, что для 1 л кислорода в нормальных условиях это число приближенно равно N₁ = , т. е. несравнимо больше введенного выше числа N; другими словами, N₁ : N = N₁. Конечно, это не противоречит оцен­ке «самого большого реального числа», так как множество всех кван­товых состояний никак нельзя считать физически реализованным; это множество в принципе ненамного отличается от множества всех натуральных чисел, хотя и создает иллюзию завершенности. Сама энтропия S = ln N₁ тоже очень велика, но имеет порядок числа мо­лекул в системе; поэтому энтропия в расчете на одну частицу, а также и температура газа имеют уже конечные значения.

Хотя описанный подход к понятию энтропии сейчас является не только возможным, но даже необходимым, трудно отделаться от чувства досады из-за того, что отправной точкой в данном рассужде­нии послужило нереализуемое число N₁. Быть может, имеются другие подходы, при которых все отправные точки имеют непосредственный физический смысл.

Отметим, что в чистой математике, например в теории чисел, рас­смотрение как угодно больших натуральных чисел является доволь­но привычным делом. Порой ощущается как бы своеобразная гор­дость за возможность конструктивного проникновения в область чисел, недоступных непосредственному воображению, причем к это­му проникновению привлекаются ЭЦВМ. Так, с помощью ЭЦВМ доказана простота числа 2¹⁹⁹³⁷ — 1 — это самое большее из извест­ных простых чисел к 1971 году. Еще один пример мы заимствуем из яркой книги [21, с. 123—124]. Дж. Литлвуд в 1914 г. доказал, что существует натуральное М, для которого число простых чисел, не превосходящих М, будет больше , однако доказательство Литлвуда не давало возможности оценить значение М; известно было только, что М > 10⁷. И вот в 1937 г. Скьюис получил «оценку» М < , которая затем была «улучшена» (10) до М < . Можно привести и ряд других аналогичных примеров. Однако думается, что эта конструктивность имеет примерно тот же характер, как, например, в теории трансфинитных чисел; грубо го­воря, на основании формальных аналогий как бы условливаются называть некоторые логические следствия из принятой системы аксиом конструктивными, в отличие от прикладной математики, кон­структивность в которой должна быть в той или иной степени связана с конструированием или распознаванием и т. п. реального объекта.

Естественно, что те же вопросы возникают при рассмотрении фор­мально определенных чрезмерно малых положительных чисел. Так, выражение , полученное в прикладной задаче в качестве окон­чательного ответа, равно нулю, причем не приближенно, а точно (11), так как это «число» несравнимо меньше любого реального положи­тельного числа. Малые, получающиеся при сравнении реальных ве­личин, обратны большим, но реальным числам, о которых говорилось выше. В практических расчетах такие малые часто появляются из-за неадекватного выбора единицы сравнения, например, если выра­жать массу электрона в тоннах и т. п. «Истинная» малость, которая еще что-то значит по сравнению с единицей, — грубо говоря, которую еще можно добавлять к единице, — определяется осмысленной относи­тельной точностью величин, т. е. в конечном счете уровнем измери­тельной техники. Сейчас выше всего — до 10^–12 — доходит относи­тельная точность измерения времени и длины; точность измерения многих других величин существенно ниже. Этим определяются те малые, указание которых осмысленно в окончательном ответе.

Конечно, в дальнейшем эта точность будет повышена, но отнюдь не беспредельно, так как этому противоречат молекулярные и кван­товые свойства, в частности принцип неопределенности; вряд ли эта точность в обозримом будущем превысит 10^–20.

Точность промежуточных вычислений, естественно, должна пре­вышать точность окончательного ответа, но не так уж значительно; необходимый запас точности в простых случаях можно подсчитать, исходя из правил приближенных Вычислений. При вычислениях на ЭЦВМ нет смысла специально загрублять степень точности про-межуточных вычислений, если она оказывается избыточной. По­этому такие вычисления производят с естественной точностью, свой­ственной ныне применяемым ЭЦВМ; обычно она близка к 10^–10 и для подавляющего большинства вычислений оказывается достаточ­ной. В редких случаях применяется удвоенная точность, близкая к 10^–20.

Таким образом, не только бесконечные десятичные дроби, фор­мально допускаемые чистой математикой, но даже дроби со слишком большим числом значащих цифр лежат за пределами прикладной математики. Заметим в качестве курьеза, что, как отмечено в превосходной книге М. Гарднера «Математические головоломки и развлечения («Мир», М., с. 429), в 1961 г. на машине ИБМ-7090 примерно за 9 ч было вычислено число π с 100625 верными знаками. Мы предлагаем читателю самому решить вопрос о том, какая наивысшая точность π может понадобиться при решении реальных геометрических задач.

Иррациональные числа, такие, как , π и т. п., в прикладной математике определяются отнюдь не своими «полными» десятичными разложениями.

Итак, математический континуум (числовая прямая) при чрез­мерном продвижении в область малого становится неадекватным фи­зическому (На этом, в частности, останавливается М. Борн в книге «Физика в жизни моего поколения». ИЛ, М., 1963, с. 312). Конечно, это замечание нельзя рассматривать как упрек по адресу теории вещественного числа! Всякая логиче­ская схема не вполне адекватна описываемому ею объекту и это в том или ином должно проявиться. Теория вещественного числа логически достаточно проста, основанный на ней математический анализ внутренне согласован и имеет огромное число приложений, следствий, правильно описывающих реальность. Ценность этой тео­рии не вызывает сомнений.

Однако здесь, как и при проведенном выше рассмотрении чрез­мерно больших чисел, проявляется важная черта, свойственная всякой чисто дедуктивной теории. Содержательная дедуктивная тео­рия отталкивается от той или иной реальной структуры и заменяет ее некоторой формальной структурой, которую затем развивает по формально-логическим законам. Так как эти две структуры не вполне эквивалентны, то в дедуктивной теории наряду с выводами, адекват­ными реальности, могут появиться своего рода «монстры» — пара­зитные результаты, имеющие характер чисто логических следствий и не допускающие реальной интерпретации; при этом на получе­ние выводов второго рода могут затрачиваться усилия. И если не привлекать соображений, лежащих за пределами возводимой тео­рии, то нет возможности различать эти два типа следствий.

В этом состоит, возможно, основная трудность в развитии чистой математики. В связи со все большей разветвленностью изучаемых логических структур, все больше увеличивается объем, а возмож­но, также и доля результатов паразитного характера, которые из-за отсутствия внутреннего критерия паразитности нет возможности отсечь. К тому же такое отсечение всегда сопряжено с некоторым риском: не раз оказывалось, что вопросы, казавшиеся ранее сугубо отвлеченными, в дальнейшем приобретали реальное значение; здесь приходится полагаться на интуицию. В качестве примеров можно сослаться на такие, первоначально чисто абстрактные построения, как комплексные числа, матрицы, неэвклидовы геометрии, гильбер­тово пространство. (Впрочем, паразитные следствия могут возникнуть не только в математике. Таковы, например, бесконечно большие ско­рости при решении некоторых задач гидромеханики или бесконечно большие напряжения в некоторых задачах теории упругости.) С этой особенностью связана трудность оценки актуальности математиче­ских исследований, так как трудно указать иной критерий ценности работы, помимо непротиворечивости. В отличие от чистой мате­матики прикладная математика не имеет строго дедуктивного характера, и одним из важнейших ее направлений является пос­тоянное уточнение области приложения логических конструкций.

от друга, уменьшали ответ на 1, равна ≈. Этот подсчет можно уточнить, но ясно, что при любом разумном уточнении результат получится формально положительным и, по-видимому, не далеким от приведенного.

В качестве «более вероятного» события укажем на пример в книге Дж. Литлвуда [21, с. 117]. Пусть с чемпионом мира играет в шах­маты человек, который совершенно не знает правил игры, но знает только, что, делая очередной ход, он должен либо переставить од­ну из своих фигур на какое-либо — безразлично какое — свободное поле, либо перед этим снять какую-нибудь фигуру противника. Ка­кова вероятность того, что этот «игрок» не только ни разу не нарушит шахматных правил, но и случайно будет попадать на столь хорошие ходы, что в конце концов победит? По проведенной в книге оценке, она не меньше 10^–122.

Думается, что возможными, но крайне мало вероятными следует считать события с вероятностью, скажем, 10^–6—10^–9; это вероят­ность выпадения только гербов при 20—30 бросаниях идеальной монеты. Отметим одно любопытное психологическое обстоятельство. Почему мы при бросании монеты крайне удивляемся, видя, как герб выпал 20 раз подряд, и не удивляемся, видя, что герб и решетка выпали, например, в последовательно­сти грггррргрррггргррргр? Ведь вероятности обоих этих событий одинаковы, они равны 2^–20. Конечно, если мы заранее предсказываем вторую последовательность, и она реализуется, то это в высшей степени удивительно; но, казалось бы, что вы­падение 20 гербов мы не предсказывали заранее? Думается, что здесь дело в под­сознательных экстраполяционных навыках: наиболее простые закономерности че­редования событий являются в нашем сознании как бы заранее зафиксированными, эталонными. Для случая бросания монеты такими эталонными чередованиями слу­жат гггггг..., рррррр..., гргргр... и другие сходные последовательности, которых совсем не так много. Поскольку мы всегда готовы к обнаружению эталона, мы естественно удивляемся, если он появляется, когда интуитивно ощущаемая веро­ятность появления весьма мала.

Аналогичная ситуация может возникнуть при обнаружении закономерности на основе единичного испытания, в результате которого произошло (заранее не предсказанное) весьма мало вероятное событие.

По мере уменьшения вероятности эпитеты, характеризующие степень неожиданности, надо усиливать. Что же касается со­бытий с вероятностью 10^–200 и тем более , лишь формально по­ложительной, то их естественно относить к полностью невозможным. Словом, дважды два — всегда четыре, а не умеющий играть в шах­маты никогда не выиграет у чемпиона мира (12).

Отметим, что подобной точки зрения на возможность и невозмож­ность в конце своей жизни стал придерживаться и Э. Борель [17], изменив свою первоначальную терминологию по этому поводу.

6. О понятии функции. Как известно, в XVIII в., когда возникло это понятие, функция мыслилась заданной обязательно с помощью формулы; говоря на современном языке, допускалось рассмотрение только аналитических выражений. В дальнейшем такой подход ока­зался недостаточным, прежде всего, в связи с рассмотрением кусоч­но-аналитических (в частности, кусочно-линейных) функций. Эти рассмотрения и общий переход к теоретико-множественным взглядам привели в XIX в. к принятому сейчас в чистой математике определе­нию функции как произвольного закона соответствия меж­ду независимыми и зависимой переменными. Такой подход ока­зался полезным для логического обоснования математики, хотя с точки зрения приложений подобное определение является слишком аморфным, расплывчатым.

Право на существование получили такие функции, как, напри­мер, функция Дирихле D(х), равная 0 для иррациональных и 1 для рациональных значений х, а также другие подобные функции, которым трудно придать другой смысл, кроме формально логиче­ского. Функция D(х) не только не имеет графика в обычном пони­мании, но, что самое трудное, ее значение не может быть определено даже с грубым приближением, если значение х известно с какой угод­но высокой точностью. Однако в приложениях функция не есть дез­организованная толпа значений, а представляет собой рабочий ор­ганизм. Сейчас, когда период увлечения патологическими примера­ми в основном прошел, стала особенно ясной роль аналитических функций.

Все же логический анализ понятия функции, проведенный в XIX в., не прошел бесследно и для приложений. Так, функции, заданные несколькими формулами (кусочно-аналитические функции), часто встречаются в приложениях и более не вызывают замешатель­ства; простейшим примером может служить единичная функция Хевисайда

которая появляется при описании внезапного включения какого-либо воздействия или перехода из одной среды в другую и т. п. С помощью единичной функции легко записать любую кусочно-ана­литическую функцию: например, функцию, равную f₁ (х) при х < а и f₂ (х) при х > а, можно записать единой формулой:

Место подобных функций стало еще более ясным после введения в XX в. обобщенных функций — импульсной дельта-функции Ди­рака δ(х) = е'(х) и связанных с ней функций (см., например, [22, гл. VI]), которые сразу же нашли прочное место в приложениях (более того, они и возникли именно в связи с формулировкой при­кладных задач).

Отметим, что в теории случайных процессов типа броуновского движения важную роль играют непрерывные, но нигде не дифферен­цируемые и потому не аналитические функции, описывающие тра­ектории частиц. Однако эти траектории непредсказуемы и неповто­ряемы, и потому такие функции имеют только статистическое, а не индивидуальное значение.

Таким образом, можно сказать, что сейчас в прикладной математи­ке такое индивидуальное значение имеют вообще только анали­тические, кусочно-аналитические и простые обобщенные функции.

Для XX в. характерен еще один подход к понятию функции, общий как для чистой, так и для прикладной математики, именно как к элементу функционального пространства, например пространства Гильберта, т. е. как к члену функционального коллектива. Такой подход имеет во многих задачах разнообразные теоретические и при­кладные преимущества, на которых мы здесь не будем останавли­ваться.

7. Устойчивость относительно изменения параметров. Имеет­ся еще одно важное обстоятельство, которое может послужить пре­пятствием для переноса понятий и методов чистой математики в прикладную. Оно происходит из возможности лишь приближенного задания всех непрерывных параметров, входящих в формулиров­ку любой прикладной задачи.

Пусть речь идет, например, о методе решения какой-либо прикладной задачи. Для того чтобы считать этот метод эффективным, необходимо, чтобы он обладал известной универсальностью, точнее, сохранял свою силу при изменении (хотя бы достаточно малом) па­раметров задачи: это свойство метода можно назвать устойчивостью (13). Здесь понятие устойчивости трактуется в широком смысле, как свойство сохранения всех существенных черт при малых откло­нениях в постановке задачи. В п. II. 2.7 мы еще вернемся к этому об­щему понятию.

Однако, как отлично известно читателю, многие методы в алгеб­ре, в чистом анализе, в теории аналитических функций нередко опи­раются на конкретные арифметические и функциональные соотноше­ния типа равенств между участвующими параметрами, т. е. в ука­занном смысле неустойчивы. Приведем три примера.

В 1971 г. на одном из вступительных экзаменов в Московский авиационный институт было предложено решить уравнение

которое приводится к полному уравнению 4-й степени. Составите­ли задачи предполагали, что экзаменующиеся путем анализа дели­телей свободного члена полученного уравнения сначала найдут два целочисленных корня x_1,2 = 2, после чего дело сведется к решению квадратного уравнения. Этот ход выкладок, конечно, не универса­лен — достаточно заменить коэффициент 20 на 21 или 20,1 и т. д. и описанный прием становится неприменимым. К сожалению, пос­леднее обстоятельство школьникам обычно не разъясняется и мно­гие из них остаются в ошибочной уверенности, что владеют общим методом решения уравнений четвертой степени. Трудно сказать, чего здесь больше — пользы от знания описанного весьма специаль­ного приема или вреда от убеждения в его универсальности.

Вот еще пример того же рода, относящийся к технике интегри­рования дифференциальных уравнений. В известном справочнике Э. Камке указан способ решения дифференциального уравнения

основанный на замене 3у = х², в результате которой по­лучается весьма простое уравнение 4 (хи' + и)² = 1. Но эта подста­новка приводит к успеху лишь в случае, когда коэффициенты имеют только выписанные выше значения, и совершенно непригодна при произвольных изменениях этих коэффициентов.

Рассмотрим, наконец, так называемый третий случай интегри­руемости системы уравнения вращения твердого тела вокруг не­подвижной точки в однородном поле тяготения. Если принять ука­занную точку за начало координат, оси которых направлены вдоль главных осей инерции тела, и обозначить через х₀, у₀, z₀ координа­ты центра тяжести, а через А, В, С — соответствующие моменты инерции тела, то названному случаю отвечают сугубо специальные соотношения: А = В =2С, z₀ = 0, не выделяющие сколь-нибудь интересную или типичную ситуацию. Установленная для этого слу­чая интегрируемость уравнения движения с помощью ультраэл­липтических функций исчезает при любом нарушении выписанных соотношений. Можно сказать, что используемый здесь метод не­устойчив в указанном выше смысле.

В приведенных примерах рассмотрены случаи вырождения, не имеющие ясной мотивировки и, таким образом, приводящие к неце­лесообразным специализациям.

Выше речь шла об устойчивости математических методов. Однако столь же содержательным и осмысленным является понятие устойчивости математической модели; коротко говоря, устойчи­вой является такая модель, малые изменения параметров которой не вызывают существенных качественных изменений ее свойств (В качественной теории дифференциальных уравнений близкое понятие называется грубостью (структурной устойчивостью)). Эта устойчивость представляет собой одно из важнейших необхо­димых условий адекватности математической модели реальной кар­тине.

Означает ли сказанное выше, что сугубо специализированный анализ частных и вырожденных случаев вообще не представляет ни­какой ценности? Нет, не означает, если не ограничиваться тольк о этим анализом. Дело в том, что анализ специального случая часто несет определенную информацию о всех случаях, достаточно близких к рассмотренному. В частности, такое решение может быть принято за нулевое приближение при решении смежных (в отноше­нии параметров) задач методом возмущений.

Так, пусть в алгебраическом уравнении первого примера свобод­ный член равен 20,1, а не 20. Тогда мы можем принять, что его корни мало отличаются от корней исходного уравнения; например, ко­рень, близкий к значению х = 2, можно найти из соотношения

где Δ — искомая поправка к значению х = 2. Полагая, что Δ мало по сравнению с единицей и удерживая только члены второго поряд­ка малости (линейные члены в этом примере взаимно уничтожают­ся), найдем Δ_l,2 = ± i = 0,224 i, т. е. искомая пара корней равна x_l,2 = 2 ± 0,224i. При необходимости можно продолжить итерации и найти дальнейшие приближения. (Впрочем, и с учетом этого замечания весь класс смежных уравнений, которые могут быть решены таким путем, представляется практически мало интерес­ным.)

Примерно таким же образом обстоит дело и в других вырожден­ных случаях. Короче говоря, результаты применения неустойчиво­го метода приобретают некоторую ценность, если устойчива мате­матическая модель.

В некоторых случаях из разбора вырожденных объектов ока­зывается возможно сделать «устойчивые» выводы о невырожденных ситуациях: так, хорошо известно, что из анализа точек покоя на фа­зовой плоскости можно сделать вывод о характере всех фазовых траекторий. Кроме того, само собой разумеется, что строгое решение всякой изолированной задачи (даже полученное неустойчивым мето­дом) является полезным эталоном для проверки точности каких-либо приближенных, но устойчивых методов решения задач того же класса.

Таким образом, специализации, приводящие к изучению вырож­денных случаев, могут быть и целесообразными, приносящими су­щественную пользу. В особенности это относится к достаточно широ­ким классам практически важных случаев, которые формально сле­дует считать вырожденными по самой постановке физической задачи.

Вообще, в рамках какой-либо общей ситуации, включающей про­извольные параметры, различают разные степени вырождения; степень вырождения равна количеству независимых числовых ра­венств, связывающих эти параметры. Степень вырождения называ­ется также коразмерностью вырожденной ситуации, т. е. размер­ностью, недостающей до полной. Всякое функциональное равенст­во, если есть функциональные параметры, приводит к бесконечной степени вырождения.

В сущности любой, даже весьма широкий класс случаев можно считать вырожденным по отношению к еще более широкому классу.

Так, например, потенциальность системы есть по сравнению с общим случаем признак ее вырожденности (даже коразмерности ∞), так как для потенциальности правые части соответствующей системы дифференциальных уравнений должны удовлетворять опре­деленным соотношениям типа равенств. Но дело в том, что рассмат­риваемый тип вырожденности физически осмыслен и охватывает широкий класс важных задач. При этом изучаемые методы должны быть устойчивыми относительно малых возмущений в классе потенциальных систем.

Другим примером содержательного анализа может служить слу­чай действия периодического возбуждения на механическую систе­му. Конечно, это тоже вырожденный случай, так как реальное воз­действие на механическую систему не может быть точно периоди­ческим как из-за наличия разного рода возмущений, так и из-за ограниченности времени этого воздействия. Тем не менее в подав­ляющем большинстве практических случаев оказывается возможным пользоваться результатами исследования, проведенного в предпо­ложении точной периодичности воздействия. Эта возможность, кото­рая часто принимается без специального анализа, зависит от време­ни установления, а также от структуры и величины возможных воз­мущений.

Одной из важных задач прикладной математики является широ­кий анализ подобных возможностей для разных классов задач.

В этой связи следует признать бесспорную ценность анализа первых двух интегрируемых случаев вращения твердого тела вокруг неподвижной точки:

, (2)
Это также вырожденные случаи (коразмерности 3), но они очень близки многим реальным ситуациям. В первом случае центр тяжести тела совпадает с неподвижной точкой, а во втором случае тело обла­дает осевой симметрией и его центр тяжести располагается на одной вертикали с неподвижной точкой. Анализ этих двух случаев вслед­ствие адекватности математической модели позволил осуществить ряд полезнейших технических устройств гироскопического типа, в которых, разумеется, не достигается абсолютно точное выполнение условий (2). Можно сказать, что эти вырожденные случаи выделя­ются не столько формальным свойством интегрируемости, сколько их подлинной практической важностью.

Эйлерова теория упругой устойчивости также в сущности от­носится к вырожденным системам (отсутствие «неидеальностей»), но ее ценность неоспорима. Эти вырожденные случаи позволяют предсказать свойства реальных систем, если «неидеальности» до­статочно малы, как это в самом деле часто бывает.

Таким образом, исследование вырожденных случаев становится полноценным в прикладном отношении только при отчетливом по­нимании характера вырождения и при наличии соображений, гово­рящих о возможности осмысленных «устойчивых» выводов из этого исследования. К сожалению, это требование в ряде работ (особен­но, чисто математических) опускается, и есть немало работ, по­священных особым случаям высокой степени вырожденности, об­щетеоретическое и прикладное значения которых сомнительны.

Заканчивая на этом обсуждение вопроса об устойчивости отно­сительно изменения параметров, приведем пример неустойчивости математических понятий.

Пусть, например, речь идет о вынужденных колебаниях системы со слабой нелинейностью. Как известно, в таких задачах большое значение имеет соизмеримость или несоизмеримость частоты воз­буждения и частоты свободных малых колебаний. Но свойства со­измеримости и несоизмеримости неустойчивы, ибо они могут нару­шаться при столь угодно малом изменении параметров системы. Как же быть в реальных условиях? Обычно выводы, полученные для соизмеримых частот, считают верными с определенной точностью и в тех случаях, когда отношение частот (возможно, формально иррациональных) близко к отношению небольших натуральных чи­сел (1 : 1, 2: 1, 2 : 3 и т. п.); если же отношение частот равно отно­шению больших натуральных чисел, то применяются результаты исследования несоизмеримого случая. Таким образом, логически точное, но неустойчивое понятие соизмеримости, переходя в приклад­ную математику, трансформируется в несколько расплывчатое, но устойчивое понятие «практической соизмеримости».

В целом, из сказанного выше следует, что неустойчивость мето­дов, моделей и даже самих математических понятий (относительно изменения параметров) требует изменения подходов при решении прикладных задач.