Философские проблемы математики Материалы для выполнения учебных заданий
Круг № 3: «Актуально бесконечного не существует»
жүктеу/скачать 1.51 Mb.
|
Круг № 3: «Актуально бесконечного не существует»Аксиома Евдокса об «архимедовых» величинах («Говорят, что величины имеют отношение между собой, если они, взятые кратно, могут превзойти друг друга» (21)) предназначена не только для легализации отношений между несоизмеримыми отрезками, но также и для того, чтобы исключить из математики как актуально бесконечно малые, так и бесконечно большие величины. Таким образом, в лице Евдокса, греческая математика сознательно ограничивает множество объектов, оперирование с которыми является допустимым. Другими словами, данный круг возникает изнутри математики в качестве средства, позволявшего застраховаться от парадоксов бесконечного, (возможность появления которых для греческих математиков стала очевидной в свете апорий Зенона Элейского. Одними из наиболее интересных объектов, оставшихся за границами этого круга, были роговидные углы. Поскольку роговидные углы (например, угол, образованный окружностью и касательной к ней) меньше любого, сколь угодно малого прямолинейного угла, постольку они оказались под запретом, несмотря на то, что греческим математикам были известны ряд их свойств. Особенность данного круга как раз и состоит в его совершенно отчетливой осознанности математиками-профессионалами, что вело к использованию «запретных объектов» и связанных с ними рассуждений в качестве эвристического средства получения новых результатов. Подчеркнем, что истинность полученных «незаконным» путем результатов не подвергалась сомнению. Доказательство в этих случаях было равносильно соблюдению необходимых формальностей, поскольку оперирование (не только в качестве эвристического средства, но и в контексте обоснования) актуально бесконечно малыми (неделимыми), впервые имевшее место в «любительских», с точки зрения математика-профессионала, работах Демокрита считалось признаком дурного тона. При этом статус инфинитезимальных рассуждений оценивался выше тех, которые основывались на «механических» аналогиях, поскольку выход за пределы круга № 3 не выводил за пределы математики (в отличие от выхода за пределы круга № 2), хотя мог признаваться допустимым лишь в контексте открытия новых фактов, но никак не в контексте их обоснования. Заметим, что круг № 3, сформировавшийся, как уже было отмечено изнутри математики (в отличие от круга № 2, имевшего метафизическую природу и круга № 1, сформированного сочетанием метафизических и социокультурных предпосылок (?!)), прекрасно вписывался в социокультурный контекст развития античной математики и, разумеется подпитывался этим контекстом. Это очень хорошо известно, и наиболее ярко, хотя и далеко не всегда корректно об этом писал О. Шпенглер. Однако изменение социокультурного контекста отнюдь не вело автоматически к преодолению этого круга в развитии математики (как это было с «вероятностным» кругом). «Я протестую..., — писал Гаусс Шумахеру, — против пользования бесконечною величиною как завершенною, что в математике никогда не позволено. Бесконечность есть лишь некий fa on de parler [способ выражаться], причем в действительности имеют в виду границы, к которым определенные отношения подходят как угодно близко, в то время как другим запрещается расти без ограничения» (22). О глубокой укорененности в математике инфинитезимального круга (особенно той его части, которая относится к актуально бесконечно малым), существовавшего в течение достаточно долгого периода времени практически независимо от изменений, происходивших в социокультурном и метафизическом контексте развития математики, очень красноречиво свидетельствуют колебания Галилея, которыми он делится как в своих опубликованных работах, так и в письмах к своему знаменитому ученику Кавальери. Как считает П. П. Гайденко, и с ней, по-видимому; следует согласиться, Галилей фактически пользуется представлением об актуально бесконечно малых в своей механике. Так, говоря о причине сопротивляемости некоторых материалов разрыву, Галилей упоминает о мельчайших пустотах, замечая, что «хотя эти пустоты имеют ничтожную величину и, следовательно, сопротивление каждой из них легко превозмогаемо, но неисчерпаемость их количества неисчислимо увеличивает их сопротивляемость» (23). Как не без оснований считает П. П. Гайденко, «неисчислимость количества ничтожно малых пустот — это в сущности бесконечное множество бесконечно малых, можно сказать пустот, а можно сказать, сил сопротивления. Потом окажется, что этот метод суммирования бесконечно малых — неважно чего: моментов времени, частей пространства, моментов движения и т. д. — является универсальным и необычайно плодотворным инструментом мышления» (24). Говоря о новых возможностях, открывающихся перед мышлением, принимающем понятие актуально бесконечно малого (он не просто говорит о возможностях применения этого понятия, но реализует эти возможности, вводя, например, понятие о мгновенной скорости), Галилей осознает парадоксальность природы неделимых. Это приводит его к колебаниям относительно вопроса о возможности допущения актуально бесконечно малых (неделимых) в математику. И хотя в «Беседах о математических доказательствах» Галилей не отрицает этой возможности, позднее, когда Кавальери создает свою геометрию неделимых, он высказывается против представлений своего ученика. «Хотя письмо Галилея к Кавальери и не сохранилось, но по некоторым высказываниям самого Галилея и по ответу Кавальери на письмо Галилея можно судить о том, что именно понятие суммы бесконечно малых Галилей считал теоретически несостоятельным» (25). И действительно, признавая, что в целом философия науки Галилея бесконечно далека от представлений Аристотеля, Галилей, подобно Стагириту, настаивает на необходимости для математиков оставаться в рамках инфинитезимального круга. «Бесконечность, — писал Галилей в одной из своих работ, — должна быть вовсе исключена из математических рассуждений, так как при переходе к бесконечности количественное изменение переходит в качественное, подобно тому, как если мы будем самой тонкой пилой... размельчать тело, то как бы мелки ни были опилки... каждая частица имеет известную величину, но при бесконечном размельчении получится уже не порошок, а жидкость, нечто качественно новое, причем отдельные частицы вовсе исчезнут» (26). Одним из доводов Галилея против признания актуально бесконечно малых в математике было его убеждение в том, что различные бесконечные множества не могут находиться между собой в каком-либо из отношений (равенства, больше, меньше), ибо это приводит к неустранимым парадоксам. Но для Кавальери, стоящего перед проблемами нахождения площадей и объемов, эта парадоксальность неделимых постулируется и закрепляется в качестве основополагающего положения. «Я решился признать тот факт, — отвечал на письмо Галилея Кавальери, — что одно бесконечное может быть больше другого, за прочнейшее основание геометрии» (27). Таким образом, пользуясь парадоксальным представлением об актуально бесконечно малом в механике, Галилей не соглашался с подобным прагматическим компромиссом в математической концепции Кавальери. Даже Кантор (в конце XIX в. (!)) подчеркивал, что к идее введения актуальной бесконечности в математику он пришел почти против своей воли, вступая в конфликт с ценными для него традициями. Изучая свойства тригонометрических рядов, он обнаружил, что понятия предельной точки и иррациональных чисел требуют введения и использования совершенно новых и непривычных представлений—так он пришел к общему понятию и классификации бесконечных множеств (вновь «прагматические» соображения являются существенным фактором преодоления ограничений!). Именно укорененностью «инфинитезимального» круга в самой математике (относительно независимо от социокультурного контекста) можно объяснить не только длительный период игнорирования идей проективной геометрии (от пионерских работ Дезарга и Паскаля в XVII в. до появившихся лишь в XIX веке работ Понселе), но и насколько чрезвычайно яростную, настолько и ничем логически не обоснованную атаку самого Кантора на ученых, пытавшихся ввести в математику актуально бесконечно малые величины. В письме Виванти от 13 декабря 1893 г. он называет их «инфинитезимальными бациллами холеры в математике», бумажными величинами, не обладающими «никаким другим существованием, кроме как на бумаге, исписанной их открывателями и приверженцами» (28), добавляя, что место этих величин — в корзине для бумаг. Более того, основываясь на теории порядковых чисел, Кантор пытался доказать, что актуально бесконечно малые не могут существовать в принципе. Об абсолютной нелогичности этой деятельности Кантора свидетельствуют следующие слова Цермело: «Несуществование «актуально бесконечно малых величин» недоказуемо в той же мере, как и несуществование канторовских трансфинитов, и в обоих случаях ошибочное умозаключение одно и то же; оно состоит в том, что новым величинам приписываются некоторые, не могущие быть присущими им, свойства обычных «конечных величин» (29). Любопытно, что сам Кантор задолго до Цермело, используя практически те же аргументы убедительно показывал тщетность попыток доказательства невозможности существования актуально бесконечных чисел, не замечая, что эти же доводы показывают тщетность его собственных усилий относительно доказательства абсурдности актуально бесконечно малых. «Все так называемые доказательства абсурдности актуально бесконечных чисел ошибочны, — писал Кантор, — как может быть показано в каждом отдельном случае и вытекает так же из общих соображений. Причина заключается главным образом в том, что в этих доказательствах стоящим под вопросом числам заранее приписываются, а точнее — навязываются все свойства конечных чисел, в то время как, наоборот, бесконечные числа, если они вообще мыслимы в какой-либо форме, вследствие их противоположности конечным числам должны образовать совершенно новый род чисел, строение которого целиком зависит от природы вещей и является предметом исследования, но не нашего произвола или нашей предубежденности» (30). К чести Кантора следует отметить, что позднее (о чем свидетельствует сравнительно недавно обнаруженное письмо к Лассвицу) он «отказался от категоричности своего прежнего мнения и допустил возможность того, что в дальнейшем исследователям удастся дать строгое определение бесконечно малых величин» (31). Однако вряд ли обосновано предположение, что это мнение Кантора, будь оно высказано в одной из его печатных работ, нашло бы поддержку, достаточную для признания концепций, появившихся в конце XIX века, о которых в первой четверти XX века известный историк математики Г. Вилейтнер счел необходимым заметить следующее: «И действительно, Веронезе (G. Veronese) в 1894 г. ...построил вполне последовательную систему бесконечно малых величин различных порядков. Еще раньше этого (Гальфен, Halphen, 1877), бесконечно малые различных порядков элементы кривой с успехом применялись в теории особых точек алгебраических кривых. Однако дух времени не благоприятствовал, да и сейчас не благоприятствует такого рода исследованиям (выделено мною. - А. Г.)» (32). Пытаясь объяснить факт непризнания упомянутых концепций, Вилейтнер отмечает: «Причина лежит в том, что математика, начиная с Вейерштрасса (1860 г.) стала на путь все усиливавшейся «арифметизации». Иными словами, она отказывается от геометрической наглядности и во имя полной строгости заковывает себя в логически безупречную арифметическую форму» (33). Несомненно, факт арифметизации анализа, а также стремление ученых оставаться в рамках строгости, заданной эталонными работами Вейерштрасса, трудно переоценить. Однако нельзя не отметить, что введение в математику актуально бесконечно малых сдерживал тот самый круг № 3 («инфинитезимальный круг»), который был настолько глубоко укоренен в самой математике, что даже изменение социокультурного и метафизического контекстов не означало его автоматического преодоления (как это было с «вероятностным кругом», имевшим внешние по отношению к математике характер и происхождение). Как уже отмечалось, его частичное преодоление в работах Кантора было обусловлено прежде всего прагматическими соображениями (настоятельной необходимостью введения общего понятия и классификации бесконечных множеств в связи с его исследованиями тригонометрических рядов). Заметим здесь же, что у Кантора были схоластические предшественники, рассуждавшие о равенстве или неравенстве бесконечных последовательностей, причем равенство фактически определялось через взаимно однозначное соответствие. При этом все они придерживались представления о числе как совокупности единиц. Именно это представление подпитывало формирование инфинитезимального круга в античности, и средневековые ученые, естественно, разделяли его. Но определяющим для них было убеждение в самопротиворечивости актуальной бесконечности. Поэтому опыт установления взаимно однозначных соответствий, выявление способности бесконечных множеств стоять во взаимно однозначном соответствии со своим подмножеством использовалось средневековыми мыслителями в качестве еще одного подтверждения этого фундаментального убеждения. В частности, Дунс Скот отмечал, что если рассматривать отрезок как актуально бесконечную совокупность его составляющих точек, то придется согласиться с равенством таких, например, отрезков, как сторона и диагональ квадрата, что, по его мнению, абсурдно. Подобные примеры приводит в своем трактате о континууме и Брадвардин, отмечая, что представление о континууме, составленном из неделимых (т. е. из точек) приводит к неразрешимым парадоксам. В отличие от своих схоластических предшественников, перед Кантором стояли конкретные математические проблемы, необходимость решения которых толкала его к выходу за пределы привычных представлений. Поэтому он использует известные схоластам конструкции не для демонстрации самопротиворечивости актуально бесконечного, а для констатации необходимых ему свойств актуально бесконечных множеств. Последующие метафизические и методологические обоснования законности операций с актуально бесконечными объектами выглядят у Кантора скорее лишь как ad hoc аргументы, что косвенно подтверждается упомянутым фактом резкого неприятия создателем наивной теории множеств актуально бесконечно малых величин. И лишь с появлением нестандартного анализа А. Робинсона (60-е годы XX века) начался процесс окончательного преодоления инфинитезимального круга, связанный с достижением полной уверенности в том, что средствами нестандартного анализа можно получить все теоремы, справедливые в рамках классического анализа, нисколько не нарушая при этом общепринятых норм строгости математических доказательств. Как известно, А. Робинсон, используя достижения современной математической логики и в значительной мере созданной им самим теории моделей, построил свой нестандартный анализ на основе введения системы гипердействительных чисел, включающих в себя «стандартные» действительные числа и актуально бесконечно малые, которые определяются у него в духе Лейбница. А именно: положительное бесконечно малое есть число, которое меньше любого действительного числа, но больше нуля, а отрицательное бесконечно малое — это число, большее любого отрицательного действительного числа, но меньшее нуля. В то время как математики XVII—Х1Х вв. считали, что поскольку актуально бесконечно малые не удовлетворяют аксиоме Архимеда и, следовательно, не могут быть приняты как полноправные математические объекты, Робинсон сознательно поставил себя вне рамок инфинитезимального круга, обретя, пользуясь метафорой Гротендика, первоначальную невинность, наделившую его реформаторской властью. При этом Робинсон исходил из того, что хотя, в отличие от эпсилон-дельта формализма, интуитивные представления Лейбница, братьев Бернулли и Эйлера не получили в свое время строгого обоснования, полученные ими на основе этих представлений результаты выдержали испытание временем. И не случайно, что сам Робинсон рассматривал свою деятельность не только как продолжающую традиции инфинитезималистов XVII—XIX вв., но даже как оправдание и объяснение их представлений и методов. Важно и то, что непосредственно в процессе разработки нестандартного анализа Робинсон не преследовал каких либо прагматических целей, т.е. не имел в виду необходимость решения тех или иных конкретных математических проблем. Более того, создается впечатление, что работая над созданием теории моделей, Робинсон уже имел программу преодоления инфинитезимального круга, возникшую во многом в процессе тщательного изучения истории классического анализа (первые самостоятельные научные результаты были получены Робинсоном в области гидро- и аэродинамики) (34). Несомненно, что преодоление данного круга облегчалось для Робинсона тем, что его укорененность в математике не подпитывалась социокультурным или метафизическим контекстами развития математики. Более того, формалистская философия математики, на позиции которой Робинсон перешел (будучи ранее платоником) в процессе разработки нестандартного анализа стимулирует подобные исследования. Тем не менее, наличие жесткой критики нестандартного анализа как «формального ухищрения» и «унижения смысла» (35). намекает на существование других кругов, невидимых, но властных, которые ограничивают горизонт современной математики, подобно тому, как это происходило практически на всех предшествующих этапах ее развития (36). Примечания 1 См.: ГротендикА. Урожаи и посевы. Размышления о прошлом математика. М., 1995. Выпуск 0. С. 29. 2 См.: Там же. С. 22. 3 Цит. по: Майстров Л. Е. Развитие понятие вероятности. М., 1980. С. 56. 4 См.: Юшкевич А. П. Биография Я. Бернулли // Бернулли Я. О законе больших чисел. М., 1986. С. 157. 5 Лурье С. Я. Демокрит. Л., 1970. С. 213—214. 6 Материалисты Древней Греции / Под общ. ред. М. А. Дынника. М., 1955. С. 70. 7 Там же. С. 69. 8 Лурье С Я. Демокрит. С. 216. 9 Аристотель. Соч.: В 4 т. М., 1978. Т. 2. С. 312. 10 Вернан Ж.-П. Происхождение древнегреческой мысли. М., 1988. С. 69. 11. Аристотель. Соч.: В 4 т. Т. 2. С. 308—309. 12 См.: Майстров Л, Е. Развитие понятия вероятности. С. 28—29. 13 См: Lauden L. The clock methaphor and probabilism: The impact of Decartes in English methodological thought. 1650—1665 // Annals of science. N. Y. L., 1966. Vol. 22. P. 93—104. 14. Декарт Р. Избранные произведения. М., 1950. С. 541. 15 Подробнее о становлении вероятностной гносеологии Нового времени см. обзор Л. М. Косаревой (Вероятностная концепция естественнонаучного знания в гносеологии XVII века // Современные исследования по истории и методологии науки. М., 1987). 16. Лейбниц Г. В. Соч.: В 4 т. М., 1983. Т. 2. С. 479. 17 Я полагаю, что это представление разделяли работающие математики античности, которые вряд ли вдавались в более изощренные метафизические различения того же Аристотеля или Платона. 18 Юшкевич А. П. Математика и ее история в ретроспективе // Закономерности развития современной математики: методологические аспекты. М., 1987. С. 61—62. 19 Там же. 6. 62. 20 Манин Ю. И. Математика и физика. М., 1980. С. 59. 21 Евклид. Начала. М.— Л., 1948. С. 142. 22 Цит. по: Пуркерт В., Ильгаудс Х. И. Георг Кантор. Харьков, 1991. С. 31. 23 Галилей. Избранные труды: В 2 т. М., 1964. Т. 2. С. 131. 22 Гайденко П. П. Эволюция понятия науки (XVII—XVIII вв.) М., 1980. С. 73. 25 Там же. С. 135. 26 Цит. по: Кавалъери Б. Геометрия, изложенная новым способом при помощи неделимых непрерывного. М.—Л., 1940. С- 37. 27 Цит. по: Там же. С. 46. 28 Цит. по: Там же. С. 67. 29 Цит. по: Там же. С. 67—68. 30 Цит. по: Там же. С. 67. 31 Пуркерт В., Йлъгаудс X. И. Георг Кантор. С. 68. 32 Вилейтнер Г. Как рождалась современная математика. М.—Л., 1927. С. 109. 33 Там же. С. 109— 110. 34 Е. А. Зайцев заметил, что потребность в строгом обосновании операций с актуально бесконечно малыми величинами достаточно естественна для ученого, имеющего богатый опыт исследований в области гидро- и аэродинамики. 35 Bishop Erret. The crisis in contemporary mathematics // Historia mathe-matica. 1975. № 2. P. 513—514. , 36 В настоящей статье метафора «круга» использовалась для обоснования «ограничительного» характера социокультурного и метафизического контекстов развития математики. Разумеется, значение этого контекста не сводится к налагаемым им ограничениям. Однако для характеризации его конструктивной роли, возможно, лучше использовать куновское понятие «парадигмы». Впрочем, сам Т. Кун, насколько мне известно, не применял это понятие для описания развития математики. КОММЕНТАРИИ В. Я. Перминов А. А Григорян, на мой взгляд, дал нам пример правильного подхода к анализу социокультурного влияния на развитие науки. Когда пытаются доказать, что аксиомы логики или арифметики зависят от типа культуры, то это, конечно, чепуха и дискредитация самой идеи социокультурного влияния, ибо ничего подобного быть не может. А. А. Григорян выявляет те стороны научного прогресса, которые действительно зависят от социокультурного контекста. Мы видим, что появление новых научных понятий и теорий связано с мировоззренческим фоном и существенно ограничивается им. Такого рода факты важны для философии науки, и против такого рода социокультурного анализа науки нельзя возражать. Но автор, к сожалению, прекращает анализ там, где он становится действительно интересным в философском плане. Изложение в своей основе сводится к анализу фактов. Но мы, очевидно, нуждаемся в их объяснении. Как возникают эти «метафизические» круги и как они разрушаются? В статье есть только отдельные намеки на объяснение, но серьезного теоретического подхода нет. Идут ли эти метафизические ограничения от самой науки (можно допустить, к примеру, что древние греки ограничили себя идеей конечной величины просто потому, что не дошли еще до определений и алгоритмов, связанных с бесконечными множествами), или они идут от философских представлений о мире, господствующих в данную эпоху, или они порождаются непосредственно некоторыми сторонами общественной практики. В этом важно разобраться, так как главная задача философии состоит не в констатации исторических фактов, а в их объяснении. Это было бы интересным и потому, что здесь, как мне кажется, намечается путь к исследованию реального механизма взаимодействия метафизики и науки в истории науки, о котором мы имеем до сих пор довольно смутное представление. Вопросы для понимания
М.Ю. Веркутис РЕФЛЕКСИВНАЯ СИММЕТРИЯ КАК МЕХАНИЗМ НОВАЦИЙ В НАУКЕ В УСЛОВИЯХ НЕВЕДЕНИЯ Науковедение 2002, №3, стр. 136-146. В литературе, посвящённой жизни и творчеству Николая Ивановича Лобачевского, нередко можно встретить характеристики его как “Коперника”, или как “Колумба” геометрии (1, с. 111). Выдающийся знаток научного наследия Лобачевского В.Ф. Каган даже вполне аргументировано доказывал, что Лобачевский для геометрии – это больше, чем Коперник для астрономии (2, с. 58 - 59). Как бы то ни было, но первооткрыватели неевклидовой геометрии, - Гаусс, Бойяи и Лобачевский - отлично сознавали, что они столкнулись в своём творчестве с целым новым миром, к которому никто до них не проложил путей. “Из ничего я создал целый мир”, - писал Янош Бойяи своему отцу. Но как создаются, открываются новые миры в математике? Можно ли здесь говорить о некоторой ситуационной логике, логике открытия в смысле Пойя, Поппера и Лакатоса? Для ответа на этот вопрос обратимся к различению незнания и неведения, которое проводит М.А. Розов (3, с. 116 – 118). Незнание – это движение учёного в рамках проблемного поля, заданного прошлыми достижениями, когда переход к новому знанию можно представить как ответ на вопросы, характер которых определяется тем или иным уровнем развития данной науки. Вопросы фиксируют область незнания. Ученый может сказать: “Я не знаю того-то”. То, чего не знает в данном случае ученый – это какие-то вполне определенные объекты и их характеристики, например, может быть не известен химический состав какого-либо вещества или расстояние между какими-то городами. Существенно, что фиксируя вопросы, на которые неизвестны ответы, можно построить достаточно развернутую программу, нацеленную на получение и фиксацию нового знания, можно выявить некоторую перспективу развития данной науки в той ее части, которая зависит от уже накопленных знаний (3, с.117). О вопросах в сфере незнания можно получить некоторое представление, если вспомнить, что говорит о типах экспериментов, которые обычно ставятся в рамках нормальной науки, Т. Кун. Он называет целые группы задач, например, определение положения звезд и звездных величин, периодов затмения двойных звезд и планет в астрономии; вычисление удельных весов и сжимаемостей материалов, длин волн и спектральных интенсивностей, электропроводностей и контактных потенциалов в физике и т.п. (4, с. 47). М.А. Розов подчеркивает, что “незнание – это область нашего целеполагания, область планирования нашей познавательной деятельности. Строго говоря, - это явная или неявная традиция, использующая уже накопленные знания в функции образцов” (3, с. 117) Совершенно иначе обстоит дело с неведением. Область неведения нельзя зафиксировать вопросами, опирающимися на те или иные научные положения. Она находится за пределами существующего уровня развития науки и определяемого этим уровнем возможного горизонта научной деятельности. К этому случаю относится, например, открытие сумчатых в Австралии, которое никак не предопределялось уровнем развития биологии того времени. Оно было безотносительно к любым из положений биологической науки, к её понятийному аппарату. Но как можно ввести в математику понятие, не имеющее отношения ни к каким другим её понятиям? Чтобы иметь математическое содержание, это понятие должно быть референциально связано с миром математических объектов, с математической традицией. И тем не менее в математике, совершая неожиданные для себя открытия, ученые тоже сталкиваются с областью неведения, а не только с областью незнания. В свою очередь область неведения как-то опосредованно связана с имеющимися традициями. Действиям ученых в ситуации неведения и посвящена статья. Известный отечественный философ и методолог науки Б.С. Грязнов для обозначения неожиданных открытий применял греческое понятие – поризм (см. 4, с.114 - 115). Так в античной науке называли утверждение, которое получалось как непредвиденное следствие, как промежуточный результат. Грязнов приводит пример из математики, а именно – пример отрицательных и комплексных чисел, которые получаются в системе математического знания, как он пишет, чисто логическим путём, но открыты были как промежуточные результаты решения некоторого класса математических задач. О типичности для математики таких открытий, по существу, писал американский историк науки М. Кроу, когда формулировал свои десять “законов” развития математики. Его первый “закон” гласил: новые математические понятия часто возникают вопреки намерениям их творцов (6, p.162). Действительно, хотя в математике и осуществляется всё целенаправленно, в рамках конкретных программ, но не всегда именно то, на что эти программы направлены. Реализация программы вполне может натолкнуться на побочный результат, представляющий самостоятельный интерес. Классический пример этого – так впечатлившее древних греков открытие иррациональных величин. Сознательный поиск иррациональных величин был для греков психологически невозможен. Особенно это касается пифагорейской математики с её культом числа, числовых отношений. Но на иррациональности, реализуя не относящиеся напрямую к этому программы, натолкнулись именно пифагорейцы жүктеу/скачать 1.51 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|