ГЛАВА 1 ПОИСКИ НОВОЙ ФИЛОСОФИИ МАТЕМАТИКИ

Философия математики как отдельная ветвь философии роди­лась сто лет назад. Исследования в области оснований математики и математической логики, начатые в конце XIX — начале XX в., были связаны с грандиозными философскими программами, а именно с логицизмом, интуиционизмом и формализмом.

С тех пор традиционным описанием проблем философии мате­матики стало описание того состояния оснований математики и ее философии, которое явилось естественным завершением попыток преодолеть кризис в основаниях математики, развившийся в начале XX в. Этот уже почти хрестоматийный материал хорошо известен читателю даже в самом простом нетехническом преподнесении, на­пример, через превосходную книгу М. Клайна (1), не говоря уже о массе более технических изложений (2). Существует много других книг, в которых излагается материал, в той или иной мере связан­ный с достижениями в математической логике и основаниях мате­матики, и во всех этих книгах фигурируют одни и те же имена и одни и те же проблемы — логицизм Г. Фреге и Б. Рассела, интуицио­низм Я. Брауэра и А. Рейтинга, формализм Д. Гильберта и Дж. Фон Неймана.

Поначалу эта связь философии и математики казалась необхо­димой, но со временем росло разочарование в выполнимости этих программ, и к 1960-м годам в настроениях математиков и логиков стала превалировать усталость. В этом отношении весьма симпто­матично замечание А. Мостовского в работе Тридцать лет иссле­дований в области оснований математики: «Философские цели трех школ не были достигнуты, и, судя по всему, мы не ближе к полному пониманию математики, чем основатели этих школ» (3). Многие ис­следователи полагают, что сами программы не имеют и не имели прямого отношения к основаниям математики и математической логике, а возникновение программ обязано философским талантам и интересам основателей школ. Больше того, другие исследователи полагают, что сами философские программы появились в результа­те случайных исторических совпадений, в частности того, что та­кие люди, как Рассел, будучи одинаково компетентными в матема­тике и философии, связали теорию типов как математическую про­грамму с логицизмом как философской программой. По крайней мере, среди философов подобного рода связь закрепилась надолго, и потребовалось значительное время для того чтобы ощутить необ­ходимость в ревизии таких «заблуждений». Другим примером мо­жет служить интуиционизм Брауэра, философские основания кото­рого кажутся весьма далекими от конструктивистской математики. Наконец, вступающие в область философии математики встречают­ся с явным затруднением, пытаясь примирить мнения о формализме Гильберта с его знаменитым лозунгом «Никто не может изгнать нас из рая, созданного для нас Кантором» (рая, естественно, платонистского). Характерно в этой связи свидетельство Хао Вана: «интерес философов к основаниям математики возник как результат той ис­торической случайности, что Рассел и Фреге правильно или непра­вильно связали некоторые области математики с философией... Тем не менее, с устойчивостью этого интереса следует считаться, хотя и сожалея о бедности философии»(4).

Определенная стагнация в этой области философии может быть оценена в сравнении с философией науки. В 30—40-х годах XX в. философия науки направлялась логическими позитивистами, влия­ние которых ослабло лишь с появлением новых идей о решающей роли научной практики и исторических изысканий в науке. Р. Херш говорит, что «философия математики запоздала со своими Поппером, Куном, Лакатосом и Фейерабендом. Она запоздала с анализом того, что делают сами математики, и с соответствующими фило­софскими рассмотрениями» (5).

В цитированном выше отрывке А. Мостовский продолжает уже с большим оптимизмом: «Вопреки этому, нельзя отрицать, что ак­тивность этих школ принесла огромное число новых важных откры­тий, которые углубили наше познание математики и ее отношение к логике. Как часто случается, побочные продукты оказались более важными, чем исходные цели основателей трех школ». Но возмож­но, именно это обстоятельство явилось причиной отсутствия про­гресса в философии математики, потому что проблемы, бывшие соб­ственно философскими, перестали быть таковыми, перейдя в раз­ряд «технических», чисто математических или логических. Быть может, исследования в области философии математики, точнее, ос­нований математики, действительно должны быть в высшей степе­ни техническими исследованиями, а само появление традиционных классических направлений было обязано тому, что «отцы-основате­ли» сумели соотнести (быть может, и не совсем обоснованно) мате­матические и философские проблемы, как это сделал Рассел, увязав поиски спасения от парадоксов с логицизмом. Кстати, такого рода процессы происходили непрерывно, например, в 60-е годы XX в. одним из аспектов такой технизации философии явилась алгебраизация логики, связанная с развитием теории моделей, когда к удив­лению философов, всегда считавших логику своей вотчиной, мно­гие ее положения стали алгебраическими теоремами.

Современными свидетельствами усталости и недовольства мо­гут служить признания двух ведущих философов математики. Не­давно видный философ и математик X. Патнэм опубликовал статью с характерным названием Почему ничего из этого не работает (имея в виду традиционно главные направления в философии математи­ки). Далее, видный логик Я. Хинтикка отмечает, что «подобно Деррида, я верю, что современная философия... созрела для деконст­рукции» (6). Нет никаких сомнений, какую часть современной фи­лософии Хинтикка хочет деконструировать, если иметь в виду вышедшую годом ранее его книгу Принципы математики ревизированные (7)', название которой, по его признанию, есть аллюзия к работе Рассела Принципы математики 1903 г., в которой изложе­ны многие программные идеи в области оснований математики.

Известный математик Ж-.К. Рота идет еще дальше и дает объяс­нение тому факту, что философия пошла по неверному пути вооб­ще, ассоциировав себя с математикой. Философия, подобно матема­тике, опирается на аргументацию, поскольку обе науки используют логику. Но в отличие от общепринятых стандартов у математиков стандарты аргументации у философов оказались весьма различны­ми. Рота утверждает, что заключения философов часто диктуются эмоциями, и разум в этих заключениях играет лишь вспомогатель­ную роль, а поиски философией окончательного ответа на свои воп­росы вылились в рабскую имитацию математики. Апелляция к ма­тематической логике, которая и представляет собой главную основу философии математики, оказалась несостоятельной, потому что ло­гика больше не является частью философии. Математическая логи­ка является процветающей частью математики, и она прекратила свои связи с основаниями математики. «Ценой допущения логики в математическую область было гигиеническое очищение даже от следов философии» (8).

Другими словами, философия математики оказалась в глубоком кризисе, начиная с 50—60-х годов XX в., когда были исчерпаны ре­сурсы традиционных подходов к пониманию оснований математи­ки. И хотя традиционное преподнесение проблем этой области фи­лософских исследований опиралось (да и опирается сейчас) на три великих направления, существует глубокий скепсис относительно возможностей самой дисциплины. И тем не менее, по мнению ряда авторитетных исследователей, дисциплина выжила, поскольку ста­рые проблемы были заменены новыми (9).

2. Сводка направлений в философии математики

Действительно, не все так безнадежно, и в уже цитированной выше работе X. Патнэм дает краткий перечень устаревших и новых взглядов в философии математики:

Патнэм полагает, что следует отказаться от первых четырех на­правлений и продолжать исследования, которые представляют со­бой определенную смесь последних четырех направлений. Другие исследователи считают перспективными направления, которые в той или иной степени пересекаются с этими последними, но в некото­ром смысле (в другой классификации) являются самостоятельны­ми. Так, Дж. Кетланд говорит о дополнении списка Патнэма еще тремя направлениями, полагая при этом, что в целом этот список, состоящий из 11 направлений, покрывает все направления в фило­софии математики (10):

Само многообразие направлений не должно вызывать удивле­ния, поскольку это довольно распространенное явление в современ­ной аналитической философии. Действительно, важнейшим отли­чием описания того, что собой представляет нынешняя философия математики по сравнению с классической, является почти полная бесполезность устойчивой классификации. В этом отношении си­туация в философии математики похожа на ситуацию в аналитичес­кой философии вообще. Дж. Пассмор выразил свое ощущение этой ситуации такими словами: «Буйное, плохо вмещающееся в какие-либо рамки, невероятно разнообразное в целях и методах — можно ли надеяться описать, хоть и кратко, но в то же время с достаточным охватом англо-американское философское предприятие? Ответ на этот вопрос — невозможно. Столь много философов творят в наше время, столь много проблем поднято ими, и поэтому полнота боль­ше не представляется разумной амбицией. Более скромное назва­ние моей книги, скажем Некоторые последние философские споры, слишком кратко описанные, было бы более подходящим названием в современном стиле» (11).

Далее будет представлено краткое описание новых направле­ний в философии математики, которые появились за последнее вре­мя, будучи реакцией на «усталость» от классических направлений. Описание не претендует на полноту и очерчивает эти направления в самых общих чертах.

3. Структурализм, номинализм, натурализм

Из вышеперечисленных направлений рассмотрим только те, которые широко обсуждаются в нынешней литературе по филосо­фии математики. Прежде всего следует рассмотреть структурализм как одно из самых важных направлений современной философии математики. Ранним влиятельнейшим идеологом этого направления выступил Н. Бурбаки. Основными нынешними представителями струк­турализма являются П. Бенацерраф (12), С. Шапиро (13) и М. Резник (14).

Платонистская посылка о существовании независимых от че­ловеческого сознания четко определенных объектов является весь­ма уязвимой с точки зрения современной философии математики. В частности, критике подвергается платонистское утверждение о том, что имеется единственная последовательность абстрактных объектов, которые представляют собой натуральные числа. Отказ от этого утверждения характерен для широко известного направле­ния, называемого структурализмом. Правда, при обсуждении этого направления следует иметь в виду две вещи. Во-первых, сам термин «структурализм» является настолько широким, что его надо пони­мать здесь в специальном смысле философии математики. Но даже и здесь этот термин имеет расширительное значение благодаря про­грамме Н. Бурбаки. Во-вторых, это философское направление еще не приобрело окончательных очертаний, и скорее, это некоторая перспективная программа исследований.

Структурализм является реакцией на проблему неединственно­сти представления математических объектов. Проблема может быть описана так: платонисты утверждают, что математика говорит об объектах, но мы ничего не можем знать об этих объектах, кроме того, что они соотносятся друг с другом определенным образом. Если математические объекты должны иметь некоторые свойства сами по себе, тогда эти свойства скрыты от математиков и не важны для них. Например, какие конкретные объекты мы можем назвать нату­ральными числами?

Начиная с работ Фреге, Рассела и Уайтхеда, числа считаются множествами. В этом смысле можно было бы сказать, что натураль­ными числами мы можем назвать множества. При этом множества могут трактоваться как те самые объекты, которые требуются для платонистской картины. Для этого надо, чтобы редукция натураль­ных чисел к множествам была единственной, т.е. каждому натураль­ному числу должно соответствовать определенное множество. Но как раз это условие не может быть выполнено. Бенацерраф первым указал на это обстоятельство. Аргументация Бенацеррафа опиралась на тот факт, что теоретико-множественное моделирование чисел не является единственным. Существуют известные версии перевода чисел во множества Фреге — Рассела, фон Неймана, Цермело и др. Эта ситуация приводит к вопросу, чем же на самом деле являются числа, и вопрос этот относится не к математике, а к философии, будучи типичным онтологическим вопросом. В конце концов, «фи­лософия математики... есть онтология математических объектов»¹⁵. Однако такие вопросы не оказывают на математику никакого влия­ния. «Особенность математики состоит в том, что она рассматрива­ет только некоторые существенные свойства ее объектов, считая остальные не относящимися к делу. Один из этих несущественных вопросов — об онтологии формальной системы... мы должны при­нять нечто аналогичное принципу терпимости Карнапа в отноше­нии онтологических вопросов» (16).

Продемонстрируем неединственность теоретико-множествен­ной экспликации понятия числа. Э. Цермело предложил следующую экспликацию натуральных чисел. В качестве 0 берется пустое мно­жество Ø, а в качестве операции последующего элемента Sx — еди­ничное множество, членом которого является предыдущий элемент, т.е. Sx есть {х}. Натуральный ряд чисел в теоретико-множественной версии Э. Цермело выглядит так:

0 1 2 3 ...

Ø { Ø } {{ Ø }} {{{ Ø }}} …

Таким образом, числа являются множествами определенного рода. Такой вывод следует из наличия вполне удовлетворительной экспликации чисел. Число 3 «в реальности» есть множество {{{ Ø }}}.

Дж. фон Нейман предложил в качестве 0, как и в версии Церме­ло, пустое множество Ø, a Sx определил как х {х}. Тогда нату­ральный ряд выглядит следующим образом:

0 1 2 3 …

Ø { Ø } {Ø, { Ø }} { Ø, { Ø }, (Ø, { Ø }}} ...
Таким образом, теперь число «три» оказывается множеством {Ø, {Ø}, {Ø, {Ø}}}. Ясно, что множество {{{Ø}}} отлично от множе­ства {Ø, {Ø}, {Ø, {Ø}}}. Больше того, в теории чисел имеются та­кие утверждения, которые переводятся в истинное теоретико-мно­жественное утверждение в версии фон Неймана, и в ложное утвер­ждение в версии Цермело, например «3 5».

Можно предположить, исходя из онтологических соображений о природе числа, что лишь одна из теоретико-множественных версии числа является правильной. Но как выделить некоторое множе­ство, о котором можно с уверенностью сказать, что именно оно, и никакое другое, указывается некоторым числом? Оказывается, по всем математическим параметрам версии равноправны, и нет ника­ких аргументов, которые могли бы указать на «правильную» вер­сию. Следовательно, ни одна версия не имеет никаких преимуществ перед другими. Остается заключить, что отличающие условия всех версий правильны, и тогда мы просто не можем сказать абсолютно, что же такое числа. Во всяком случае, мы можем заключить, что числа вовсе не должны быть множествами.

На вопрос о том, почему числа не могут считаться определен­ными множествами, в общем дается два ответа. Один из ответов, предлагаемых в структурализме, состоит в том, что числа вообще не объекты, и поэтому цифры как сингулярные термины сопостав­ляются с различными множествами без оглядки на то, как сопостав­ляются числа и множества. Знаки, представляющие цифры, не ука­зывают на абстрактные объекты-числа и функционируют в знаковой системе независимым образом. Реальный мир представлен в науке теоретическими схемами, и любой вариант реализма в отношении теорий утверждает истинность предложений теории об объектах этой теории, а также то, что термины теории указывают на эти объекты. Объектами в реалистической схеме могут быть как материальные предметы, так и абстрактные объекты платонистского толка.

Цель аргументации Бенацеррафа может состоять в том, чтобы от­вергнуть платонизм, показав возможность математики без предполо­жения о существовании абстрактных объектов. Главная проблема для Бенацеррафа в этом случае — объяснить, как знаки-цифры выполняют все то, что делают по платонистской версии математики числа. Рас­смотрим понятие объекта с точки зрения его функционирования в сис­теме. Главный признак существования объекта — наличие у элементов структуры системы знаков свойств, независимых от свойств структу­ры. Объект можно отличить от других объектов, если имеются проце­дуры его индивидуализации, которые не должны зависеть от роли, ко­торую объект играет в рамках структуры. Аргумент Бенацеррафа со­стоит в том, что числам нельзя приписать подобную индивидуальность, потому что, будучи представлены в системе цифрами, они не известны нам помимо цифр. Но цифры являются частью структуры, и их инди­видуальность не есть индивидуальность объекта, поскольку роль знака в системе определяется особенностями структуры системы.

Действительно, «быть числом 3 — это не больше и не меньше, чем иметь предшествующими числами 2 и 1, и возможно, 0, и иметь последующие числа 5, 6 и т.д. И быть числом 4 — значит не больше и не меньше, чем иметь в качестве предшествующих чисел 1, 2 и 3, и последующими 5 и 6 и т.д. ...Любой объект может сыграть роль числа 3, то есть, любой объект может быть третьим элементом неко­торой профессии. Особенностью числа 3 является как раз то, что .. .оно представляет собой отношение, которое любой член прогрес­сии имеет к остальной части прогрессии» (17).

Числа, с этой точки зрения, вообще не объекты, а знаки специ­фической знаковой системы с определенными законами. Все свой­ства чисел, определяемые этими законами, принадлежат знаковой системе, и среди свойств нет таких, которые характеризовали бы нечто, выходящее за рамки взаимоотношений элементов структу­ры. Природа элементов структуры не имеет никакого значения. Определение чисел, по Бенацеррафу, есть совокупность некоторых условий, относящихся не к элементам структуры, а к отношениям, определенным на ней. «Если мы отождествим абстрактную струк­туру с системой отношений... мы получим арифметику, разрабаты­вая свойства отношения меньше-чем, или всех систем объектов (то есть, конкретных структур), обнаруживающих эту абстрактную структуру» (18). Итак, индивидуальность знака в системе определяет­ся его функциями в системе, т.е. по природе своей определяется структурой в системе. А вот индивидуальность объекта, как уже было сказано выше, не зависит от структуры. При этом структура пони­мается как система отношений на совокупности объектов.

Теперь центр тяжести переносится на понятие структуры. Почти всеми признается, что математика состоит из структур. Но что та­кое структура с онтологической и эпистемологической точек зре­ния? И является ли это понятие более простым или удобным, или более фундаментальным, чем понятие абстрактного объекта? Это тот самый вопрос, который пытаются разрешить М. Резник и С. Ша­пиро в целой серии влиятельных статей и книг. Н. Бурбаки полагал, что понятие структуры является более фундаментальным, чем все остальные понятия математики. Сходным образом формулируются посылки Резника и Шапиро. Если структура понимается как область объектов с определенными отношениями между ними, т.е. как струк­тура, изучаемая в математической логике, то тогда нужно иметь в виду, что в математической логике структура определяется теоре­тико-множественным образом. Но в этом случае следует весьма радикальное заключение, что теория множеств представляет собой дис­циплину наравне с другими ветвями математики, но никак не осно­ванием всей математики, т.е. теория множеств изучает одну из мно­жества возможных структур. Например, арифметика — исследова­ние не натуральных чисел, а «натуральных структур». Все это озна­чает, что в этом случае нам нужно определение структуры, которое само не является теоретико-множественным понятием. Шапиро опи­сывает структуру как «возможную систему объектов, находящихся в определенных отношениях друг к другу, когда игнорируются те свойства объектов, которые несущественны для этих отношений». Например, в аксиоматической теории множеств Цермело — Френ­келя игнорируется все, кроме отношения членства в множестве. Отметим, что это лишь описание понятия структуры, а не определе­ние. Структуралисты в философии математики избегают давать по­добные определения, поскольку само понятие структуры не очень подходит на роль базисного онтологического понятия, и в то же вре­мя не снимает эпистемологические проблемы. Понятие структуры не решает, а скорее, «рассасывает» эти проблемы в духе виттгенштейновской терапии.

Несмотря на определенный радикализм, структурализм являет­ся лишь модификацией того, что Ч. Чихара назвал «буквалистской точкой зрения». Буквализм состоит в том, что экзистенциальные утверждения математики не отличаются по своей структуре от экзи­стенциальных утверждений эмпирических наук. Обоснование это­го тезиса состоит в том, что математические утверждения делаются в терминах экзистенциальных кванторов логики первого порядка, и поэтому буквально и прямо утверждают существование математи­ческих сущностей. И поскольку структура математических утверж­дений в понимании структуралистов остается именно такой, перед ними встают все те же проблемы, которые они предпочли бы видеть «рассосанными». Действительно, «буквализм» такого структурали­ста, как Резник, заключается в двух идеях. Во-первых, логическая форма математических утверждений должна пониматься букваль­но, и, во-вторых, семантика математических утверждений должна быть семантикой естественных наук. В противном случае нельзя будет говорить об истинности математических утверждений, а без этой посылки невозможно ничего сказать о математических объек­тах. Эти проблемы могли бы быть игнорированы, если бы не обще­принятое, разделяемое и структуралистами, убеждение в том, что математические утверждения истинны.

Подлинно радикальным взглядом в этом отношении является номинализм X. Филда, который полагает математические утверж­дения ложными¹⁹. X. Филд считает, что математических объектов не существует, что стандартная математика ложна, но при этом он стремится сохранить математическую практику. Для этого он снаб­жает физическую реальность значимой математической структурой и описывает физические версии анализа. Математические утверж­дения типа «континуум-гипотезы» оказываются утверждениями об областях пространства и времени.

Такая позиция возможна лишь при некоторой сильной версии номинализма. Техническим средством выражения такого номина­лизма является так называемая теорема консервативности, суть ко­торой в том, что любое номиналистическое заключение, которое может быть выведено с помощью математики из номиналистичес­кой теории, может быть сделано без помощи математики, с одним лишь использованием логики. Таким образом, в математической практике делается указание на математические сущности, но нет необходимости верить в существование таких вещей, поскольку ука­зание подобного рода не требует признания математических утвер­ждений истинными. Филд полагает математические теоремы про­сто ложными, а математические объекты — полезными фикциями, которые в теоретическом смысле вполне устранимы.

Теория Филда не только радикальна, но и в значительной степени парадоксальна, так как соединяет в себе логицизм и номинализм. Ло­гицизм виден в самой «теореме консервативности», согласно которой математический вывод можно в принципе заменить более длинным логическим выводом. Под номиналистической теорией Филд понима­ет теорию, в которой кванторные переменные ограничены нематемати­ческими сущностями. Другими словами, нелогический словарь но­миналистической теории не пересекается со словарем математичес­кой теории и, значит, абстрактные объекты математики избегаются. Более точно, пусть N— номиналистическая теория первого порядка, a ZF—теория множеств Цермело — Френкеля. Тогда может быть по­казано, что если N+ZF дает S, тогда N дает S.

Тезис Филда состоит в том, что математика является консерва­тивным расширением номиналистических истин. Но значит ли это, что математика лишь «добавка», позволяющая сократить длинные логические выкладки, которые в принципе могли бы быть получе­ны и без математики? Другими словами, верно ли, как Филд полага­ет, что использование математики есть уступка физиологической и психологической ограниченности человека?

Это определенно неверно, потому что консервативные расшире­ния несут все-таки новую информацию. Сами методы расширения, хотя бы и консервативного, таковы, что позволяют делать обобщения, кото­рые не могут быть сделаны в расширяемой области. Действительно, консервативность подобного рода характерна для различных областей математики. Так, Г. Такеути показал, что аналитическая теория чисел, использующая полностью комплексное поле, есть консервативное рас­ширение над элементарной теорией чисел²⁰. Хотя этот результат инте­ресен и важен, никто не считает аналитические методы устаревшими. Аналитическая теория позволяет делать такие классификации, кото­рые не могут делаться элементарной теорией. Эта большая выразитель­ная сила является причиной того, что доказательства в аналитической теории чисел выглядят «проще». То же относится к первому доказа­тельству теоретико-числовой теоремы о распределении простых чисел. («Первое доказательство» было дано Ж. Адамаром и Ш. Валле-Пуссеном, последующие даны П. Эрдешем и А. Селбергом без использова­ния дзета-функции; эти последние доказательства «элементарны», хотя этот смысл элементарности отличается от того, какой имеется в виду в доказательствах Такеути.)

Номиналистическая программа в первую очередь является про­граммой онтологической. Номиналисты не признают абстрактных объектов, полагая, что реальным существованием обладают лишь физические объекты, или более точно, единичные конкретности (в противоположность универсалиям). Вклад в упрощение, который вносится консервативным расширением, может быть оспорен Филдом на том основании, что, скажем, упрощение теории распределе­ния простых чисел дается ценой увеличения в онтологии. Комплек­сные числа несчетны, а целые — счетны. Номиналист признает счет­ные совокупности (скорее, даже конечные), и никак не признает несчетные. Но онтологические соображения вряд ли играют какую-либо роль в математике, где «более простые доказательства» явля­ются подлинным вкладом в теорию. Кроме того, для того чтобы от­казаться от приобретений, полученных в ходе консервативного расширения, требуются какие-то дополнительные мотивы, кроме уста­новления самого факта консервативности расширения.

Филд понимает это обстоятельство, и считает, что апелляция к исходному ядру, которое подвергается консервативному расшире­нию, будет успешной, если номиналистическая переформулировка будет «разумно привлекательной». Дж. Таппенден отмечает в этой связи, что «любая теория может быть заменена эквивалентной "но­миналистической" подтеорией: для этого надо просто убрать (с по­мощью грубой силы или с помощью теоремы Крэйга) все предло­жения, кроме тех, которые удовлетворяют подходящим образом выб­ранному словарю. Но результирующая теория будет столь дезорга­низована, что от нее не будет никакой практической пользы. Не мо­жет быть выведено никакого философского следствия из наблюде­ния, что хорошая теория в принципе может быть заменена практи­чески бесполезной теорией, как бы эта последняя теория ни была привлекательной философски» (21). Таким образом, номиналистичес­кая программа Филда оказывается не столь привлекательной.