Философские проблемы математики Материалы для выполнения учебных заданий

В своей эмоциональной речи на конференции Американской ассоциации эко­номистов президент этой ассоциации В. Леонтьев, говоря о резко возросшем увлечении формальными схемами экономики, в частности, сказал [37, с. 101 - 104]: «Некри­тическое увлечение математическими формулами часто ведет к тому, что за вну­шительным фронтом алгебраических символов скрываются положения легковес­ные с точки зрения сущности предмета». Он приводит слова одного из недавних президентов Общества эконометриков: «...есть что-то скандальное в зрелище, ко­торое представляет такое большое количество людей, занятых оттачиванием ана­лиза экономических ситуаций, относительно которых у них нет никаких основа­ний полагать, что они когда-либо будут иметь место в действительности... Это не­удовлетворительное состояние дел, в котором есть даже что-то бесчестное». И до­бавляет: «Увлеченность воображаемой, а не данной в наблюдениях реальностью привела к искажению неофициальной шкалы ценностей, по которой в наших акаде­мических кругах оценивают научные достижения. Эмпирический анализ оцени­вается теперь ниже, чем формальное математическое доказательство... И все это происходит, несмотря на то, что в очень многих случаях сложный статистический анализ осуществляется на базе массива данных, точное значение и надежность которых неизвестны автору или, напротив, так хорошо известны, что в самом кон­це он предупреждает читателя не принимать всерьез фактическую сторону выво­дов данного «упражнения» ... не удивительно, что экономисты младшего поколения, особенно те, которые заняты преподавательской деятельностью и теоретическими исследованиями, по-видимому, вполне удовлетворены нынешним состоянием дел: они могут демонстрировать свою доблесть (и, между прочим, делать карьеру), создавая все более сложные математические модели и изобретая все более изощ­ренные методы статистических преобразований, совершенно не принимая участия в эмпирических исследованиях. Время от времени раздаются жалобы на отсутствие необходимых первичных данных, но в них не заметно особой тревоги».

В. В. Налимов [25, с. 195]: «За рубежом нередко кафедры математической статистики занимают ученые, хорошо подготовленные в области математики, но не имеющие вкуса к эксперименту. Им нужно как-то проявить свою деятельность. Нужно давать темы для дипломных и диссертационных работ. Появляются проб­лемы, сформулированные в терминах прикладных задач, но в действительности не имеющие прикладного значения. Разработка этих проблем требует высокого математического мастерства и может служить хорошим основанием для поддер­жания престижа на высоком уровне. Однако найденные решения не имеют большой ценности с позиций математики, так как они носят очень частный характер. Их пытаются представить как глубокую теоретическую разработку практически важной проблемы. Но на самом деле они не имеют прикладного значения из-за нереалистичности в постановке задачи. Так возникает ненужная теоретизация».

М. Кац и С. Улам [1, с. 210—211 ]: «Никакая из рассматривающихся до сих пор формальных систем не дает адекватного воплощения того представления о бес­конечном, которого бессознательно придерживаются математики: можно даже от­важиться на гипотезу, что такая формальная система вообще невозможна:». «Работа над основаниями всей математики в целом привела к от­рицательному результату, ибо она выявила слабые стороны аксиоматического ме­тода. (Мы бы не сказали, что это отрицательный результат.— Авт.) В теории множеств она породила серьезные сомнения в существовании формальных систем, способных дать такое описание, которое отвечало бы представлению математика о множествах». Противопоставляя этому конструктивные результаты работы над основаниями геометрии, Кац и Улам заключают: «Трудно избежать искушения и не сделать из этого вывод, что существует какое-то неопределяемое глубокое различие между проблемой аксиоматизации отдельной ветви математики, обязан­ной своим происхождением внешним стимулам, и проблемой аксиоматиза­ции внутренних процессов мышления».

С. А. Яновская [35, с. 249]: «...математическая, или логическая, «строгость» с а м а п о с е б е отнюдь не является еще гарантией истинности и надежности науки. Нетрудно привести примеры, где строгая последовательность выводов могла принести — и действительно принесла — только вред прогрессивному развитию науки».

В. В. Налимов [25]: «Если математика в прикладных задачах выступает в роли языка, то математические структуры этого языка естественно рассматривать как грамматику этого языка. Можно задать вопрос — нужно ли хорошо знать грамма­тику тому, что хочет воспользоваться языком в чисто прагматических целях? По-видимому, не нужно, во всяком случае, на обыденном языке можно разгова­ривать, не зная его грамматики».

Дж. Коул [38, с. 9]: «Настоящая книга написана в основном с точки зрения математика-прикладника: внимание в ней в значительно большей степени уделено выявлению основополагающих идей теории возмущений, чем вопросам математи­ческой строгости; при этом использовались самые разнообразные средства. В част­ности, для выяснения существа различных вопросов часто приходилось обращаться к физическим рассуждениям. Они обычно помогают правильно поставить задачу и найти нужные приближения».

Примечания

1. 
   При перечислении точек зрения в пп. 6 и 7 использованы, в частности, уст­ные высказывания М. А. Красносельского.
   
2. 
   Вот одно из наиболее крайних выражений этой позиции: «Математика есть создание чистого разума и поэтому не нуждается в связях с другими сфера­ми деятельности человека» (Л. Морделл. Размышления математика. «знание», М., 1971, с. 28).
   

3. В связи с этим приведем слова Дж. Диксона: «Если мощные математические методы не позволяют получить результат (иногда это бывает), то все равно нужно продолжать поиск. Имейте в виду, что при инженерном анализе необходим о получить числовой результат любым способом».

4. Дополнительное осложнение возникает в связи с тем, что понятия «приклад­ное исследование», «прикладной раздел» и т. п. являются относительными; это порой приводит к различным недоразумениям, например, к тому, что прикладни­ками (соответственно теоретиками) называют себя люди, которые друг друга от­нюдь таковыми не считают. Целый ряд исследований, книг и т. д. можно назвать как прикладными (если они рассматриваются с еще более абстрактных позиций), так и чисто математическими (скажем, с позиций инженера). Конечно, такая отно­сительность понятия «прикладного» имеет место также в физике, механике и дру­гих дисциплинах.

5. Н. С. Бахвалов [11, с. 11]: «...есть разница в подходе «чистого» и «приклад­ного» математика к решению какой-либо проблемы. На языке первого понятие решить задачу означает доказать существование решения и предложить процесс, сходящийся к решению. (Даже последнее иногда считается необязательным. — Авт.) Сами по себе эти результаты полезны для прикладника, но, кроме этого, ему нужно, чтобы процесс получения приближения не требовал больших затрат, например, времени или памяти ЭВМ. Ему важно не только то, что процесс сходится, но и то, как быстро он сходится».

7. Этот закон гласит, что для каждого утверждения, осмысленного в рассматриваемой ситуации, верно либо оно само, либо его отрицание. Обозначив буквой p это утверждение, можем написать: верно (p или (не p)). Закон исключенного третьего близок, хоть и не равносилен, закону двойного отрицания: из (не (не p)) вытекает p, а также закону противоречия: неверно (p и (не p)). В дальнейшем, упоминая закон исключенного третьего, мы будем иметь в виду все три закона. Чистая математика (за исключением некоторых ветвей математической логики) пользуется ими без ограничений.

8. К. Гедель доказал, что любая достаточно обширная теория, вытекающая по определенным правилам математической логики из некоторой системы аксиом, всегда неполна; это означает, что в терминах такой теории можно сформулировать предложение, справедливость или ложность которого нельзя доказать в рамках этой теории, т.е. пользуясь только исходными аксиомами. Эту справедливость или ложность можно принять в качестве добавочной аксиомы, присоединив которую к исходным, можно построить более детализованную теорию, которая, однако, будет опять неполной, и т.д. Формальная непротиворечивость достаточно обширной теории также не может быть доказана в рамках этой теории.

9. Отметим, что само по себе рассмотрение непрерывных переменных еще не вводит в прикладную математику бесконечности, так как область изменения таких переменных выступает в приложениях не как набор точек, а как первичный объект (например, интервал времени).

10. Мы не удержались поставить это слово в кавычки, хотя самого Скьюиса они, вероятно, обидели бы.

11. Будучи вырванными из контекста, эти слова могут вызвать негодова­ние; мы надеемся, что наши читатели не соблазнятся легкой возможностью высказать тяжелый упрек. Позже мы будем говорить о том, что выражения «точно» и даже «абсолютно точно» сами в определенном смысле имеют отно­сительный характер; см., например, рассмотрение равенства 2 × 2 = 4 в п. 4,

Несколько утрируя, можно сказать, что если 2 × 2 = 4, то .

12. Тем, кто возражает: «Но встречаются же крайне маловероятные события: например, на днях я и мой старинный знакомый, которого я не видел 20 лет, неза­висимо взяли в театр билеты на соседние места», надо ощутить полную несравни­мость вероятностей этого и указанных выше событий. Не следует уподобляться свахе из «Последней жертвы» А. Н. Островского, которая о каждом женихе говорила: «У него миллион», и простодушно пояснила: «Для меня все, что больше тысячи, то миллион».

13. Параметр — это не обязательно скаляр, это может быть вектор или даже элемент функционального пространства. Например, для дифференциального уравнения всю правую часть можно рассматривать как функцио­нальный параметр. Поэтому метод, применяемый к реальной задаче, описывае­мой указанным дифференциальным уравнением, должен быть устойчивым относи­тельно произвольной достаточно малой вариации правой части.

14. В книге [35, с. 52—53] приведен остроумный пример того, как утвержде­ние, истинное в смысле формальной логики, в житейском звучании становится ложным, так как в обыденной жизни мы за логическими терминами видим больше, чем содержится в их формальном определении: «Представим себе, что один из наших знакомых на вопрос, когда он уедет из города, ответит, что он собирается сделать это сегодня, завтра или послезавтра. Если мы впоследствии убедимся в том, что еще до нашего вопроса им было уже решено уехать в тот же день, у нас, вероятно, создается впечатление, что мы были намеренно введены в заблуждение и что он солгал нам».

15. Аксиома Паша состоит в том, что если на плоскости прямая не проходит через вершины некоторого треугольника и пересекает какую-либо из его сторон, то она пересечет и какую-либо из других сторон этого треугольника.

16. Яркое описание исторического уточнения понятия многогранника содер­жится в книге И. Лакатоса [36]. Сравнивая это уточнение с затачиванием каран­даша, автор пишет (с. 73): «Во-первых, ни один карандаш не является абсолютно острым (и если мы переострим его, то он сломается), и, во-вторых, затачивание ка­рандаша не является творческой математикой». Отметим одну из высказываемых им точек зрения (с. 76): «Не все предложения будут или истинными, или ложными. Есть и третий класс, который я хотел бы теперь назвать «более или менее строги­ми». Говоря подробно об эволюции понятия строгости, автор отмечает (с. 80): «Различные уровни строгости отличаются только местом, где они проводят линию между строгостью анализа доказательства и строгостью доказательства, т. е. местом, где должен остановиться критицизм».

1. 
   Кац М., Улам С. Математика и логика. Ретроспектива и перспективы. М., Мир, 1971.
   
2. 
   Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей, 1. Гостехиздат, м., 1935.
   
3. 
   Пуанкаре А. Ценность наук. М., 1906 ИЗМЕНИТЬ ГОД
   
4. 
   Пойа Д. Математическое открытие. Решение задач: основные понятия, изучение и преподавание. «Наука», М., 1970.
   
5. 
   Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей, 2. Гостехиздат, М – Л., 1935.
   
6. 
   Математика в современном мире. «Мир», М., 1967.
   
7. 
   Бейли Н. Математика в биологии и медицине. «Мир», М., 1970.
   
8. 
   Новожилов В.В. Этажи математики. «Известия», 17 января 1971.
   
9. 
   Блехман И.И., Мышкис А.Д., Пановко Я.Г., Правдоподобность и доказательность в прикладной математике. «Инж. Журн. Механика твердого тела», 1967, 2, 196-202.
   
10. 
    Бабушка И., Витасек Э., Прагер М. Численные процессы решения дифференциальных уравнений. «Мир», М., 1969.
    
11. 
    Бахвалов Н.С. Численные методы, 1. «Наука», М., 1973.
    
12. 
    Вейль Г. О философии математики. 1934 ИЗМЕНИТЬ
    
13. 
    Гейтинг А. Обзор исследований по основаниям математики. Интуиционизм – теория доказательства. Гостехиздат. М., М. – Л., 1936.
    
14. 
    Курант Р., Роббинс Г. Что такое математика. Гостехиздат, М. – Л., 1947.
    
15. 
    Рашевский П.К. О догмате натурального ряда. «Усп. Матем. наук», 1973, 28, 4, 243-246.
    
16. 
    Петров Ю.А. Логические проблемы абстракций бесконечности и осуществимости. «Наука», М., 1967.
    
17. 
    Борель Э. Вероятность и достоверность. Физматгиз, М.,1961.
    
18. 
    Гинзбург В.Л. Какие проблемы физики и астрофизики представляются сейчас особенно важными и интересными? «Усп. Физич. наук», 1971, 103, 1, 87-119.
    
19. 
    Эшби Р. Несколько замечаний. В кн.: Общая теория систем. «Мир», М., 1966, 171-178.
    
20. 
    Колмогоров А.Н. Автоматы и жизнь. «Техника молодежи», 1951, 10, 19.
    
21. 
    Литлвуд Дж. Математическая смесь. Физматгиз, М., 1962.
    
22. 
    Зельдович Я.Б., Мышкис А.Д. Элементы прикладной математики. «Наука», М., 1972.
    
23. 
    Штейнгауз Г. Задачи и размышления. «Мир», М., 1974
    
24. 
    Пойа Д. Математика и правдоподобные рассуждения. ИЛ, М., 1957.
    
25. 
    Налимов В.В. Теория эксперимента. «Наука», М., 1971.
    
26. 
    McRae T. Analytikal management. N. Y., 1970.
    
27. 
    Сокольников И.С. Тензорный анализ. Теория и применение в геометрии и механике сплошных сред. «Наука», М., 1971.
    
28. 
    Розенброк Х., Стори С. Вычислительные методы для инженеров-химиков. «Мир», М., 1968.
    
29. 
    Хорафас Д.н. Системы и моделирование.»Мир», М., 1967.
    
30. 
    Ван Трис Г. Теория обнаружения, оценок и модуляции, 1, «Сов. Радио», М., 1972.
    
31. 
    Бройль Л. Де По тропам науки. ИЛ, М., 1962.
    
32. 
    Морделл Л. Размышления математика. «Знание», М., 1971.
    
33. 
    Сойер У. Путь в современную математику. «Мир», М., 1972
    
34. 
    Диксон Дж. Проектирование систем: изобретательство, анализ и принятие решений. «Мир», М., 1969.
    
35. 
    Тарский А. Введение в логику и методологию дедуктивных наук. ИЛ, М., 1948.
    
36. 
    Лакатос И. Доказательства и опровержения. «Наука», М. 1967.
    
37. 
    Леонтьев В. Теоретические допущения и ненаблюдаемые факты. «США – экономика, политика, идеология», 1972, 9,
    
38. 
    Коул Дж. Методы возмущения в прикладной математике. М., Мир, 1972.
    

Вопросы для понимания

1. 
   Приведите аргументы «за» и «против» точек зрения – а) к математике относятся только чисто дедуктивные построения; б) к математике относятся и практические методы решения задач, приходящих извне математики; в) математика охватывает как дедуктивные области, так и приложения (построение математических моделей, математический эксперимент, индуктивные и иные рациональные рассуждения и т.д.)
   
2. 
   Есть ли объективные основания считать прикладную математику «недоматематикой»? Надо ли ждать, что когда-либо она возвысится до нормального математического уровня? Что заставляет физиков, инженеров-теоретиков и других специалистов отказываются от дедуктивных методов в математике и переходить на язык прикладной математики, перестраивая весь образ математического мышления?
   
3. 
   В чем состоит специфика математического решения прикладных задач?
   
4. 
   Как понимают «существование» математического объекта в чистой и прикладной математике?
   
5. 
   Приведите примеры, когда в прикладных исследованиях понятие бесконечности существенно меняет смысл по сравнению с чистой математикой.
   
6. 
   Как по-разному трактуют число в чистой и прикладной математике?
   
7. 
   Что такое паразитные результаты в чистой математике? Почему возрастает их доля в математике? Можно ли без риска отсекать эти результаты?
   
8. 
   События с какой положительной вероятностью считаются в прикладной математике невозможными?
   
9. 
   Функция как произвольный закон соответствия между зависимыми и независимой переменной. Чем такое понимание функций в чистой математике не устраивает прикладную математику?
   
10. 
    Поясните утверждение, что неустойчивость методов, моделей и даже самих математических понятий (относительно изменения параметров) требует изменения подходов при решении прикладных задач.
    
11. 
    Как задаются понятия в чистой и прикладной математике?
    
12. 
    Какова роль интуитивной убедительности (интуиции) в чистой и прикладной математике?
    

1 Открытие иррациональности традиция приписывает пифагорейскому математику первой половины V века до н.э. Гиппасу. Существует несколько реконструкций первоначального доказательства иррациональности. Так, К. фон Фриц полагал, что Гиппас открыл иррациональности при построении додекаэдра (см.[14], с.82). Достаточно убедительной является концепция венгерского историка математики А.Сабо (см.[15]), в которой показывается, что подходы к открытию несоизмеримостей были намечены в процессе решения одной из проблем музыкальной теории пропорций.