Геометрия Лобачевского и ее модели
VII. Треугольники и четырехугольники на плоскости Лобачевского
жүктеу/скачать 0.51 Mb.
|
VII. Треугольники и четырехугольники на плоскости Лобачевского.1. Все теоремы о треугольниках, которые в евклидовой геометрии доказывают без помощи аксиомы параллельности, имеют место также в геометрии Лобачевского. Подавляющее большинство теорем относится именно к этому типу. Теоремы о равнобедренных треугольниках, три признака равенства треугольников, теорема о внешнем угле треугольника, теоремы о соотношениях между сторонами и углами, теоремы о пересечении биссектрис внутренних углов треугольника и о пересечении рис 9 рис 10 медиан треугольника в одной точке и др. теоремы которые имеют место как в евклидовой геометрии, так и в геометрии Лобачевского. Но треугольники и четырехугольники на плоскости Лобачевского обладают рядом специфических свойств. Рассмотрим некоторые из них. Теорема 1. Сумма углов любого треугольника меньше 2d. □ Пусть ABC— произвольный треугольник. По первой теореме Саккери — Лежандра (Сумма углов треугольника не больше 2d) АВС 2d. Если предположить, что АВС = 2d, то окажется справедливым V постулат, что противоречит аксиоме V*. Следовательно, АВС < 2d. Чтд. Следствие. Сумма углов треугольника непостоянна, т. е. не одна и та же для всех треугольников. Теорема 2. Сумма углов выпуклого четырехугольника меньше 4 d.. □ Пусть ABCD —данный выпуклый четырехугольник. Проведем диагональ АС и разложим этот четырехугольник на два треугольника ABC и ADC. Тогда А+В+С+D= АВС + ADC. Но АВС < 2d и ADC < 2d, поэтому А + В + С + D <4d. Чтд. Теорема 3. Если три угла одного треугольника соответственно равны трем углам другого треугольника, то эти треугольники равны. □ Пусть в треугольниках ABC и А'В'С' имеем A = A’ B = B', C = С’. Докажем сначала, что АВ = A’В’. Предположим, что АВ А'В'; для определенности допустим, что АВ> А'В'. На лучах АВ и АС возьмем точки В" и С" так, чтобы АВ" = А'В' и АС" = А'С’ (рис. 10). По первому признаку равенства треугольников имеем /\АВ"С" = /\А'В'С, поэтому 1 = 2. По условию 2 = 3, следовательно, 1 = 3. Аналогично устанавливаем, что 4 = 6. По предположению АВ > А’В’ поэтому А — В" — В, т. е. прямая В"С" пересекает сторону АВ треугольника ABC. В силу равенства 1 = 3 прямые В" С" и ВС не пересекаются, следовательно, по аксиоме Паша прямая В"С" пересекает сторону АС треугольника ABC, и значит, А — С" — С. Отсюда следует, что четырехугольник BB”C”C выпуклый. Из равенств 1 = 3 и 4 = 6 следует, что сумма углов этого четырехугольника равна 4d. Таким образом приходим в противоречие с теоремой 2. Значит, АВ = А’B’. По второму признаку равенства треугольников АВС = A'В'С'. ■ Рис 11,12 2. Выпуклый четырехугольник называется двупрямоугольником, если два угла, прилежащие к одной стороне, прямые. Если ABCD — двупрямоугольник с прямыми углами А и В, то сторона АВ называется основанием, а стороны AD и ВС — боковыми сторонами. Двупрямоугольник с равными боковыми сторонами называется четырехугольником Саккери. Рассмотрим некоторые свойства двупрямоугольников. 1°. Если ABCD — четырехугольник Саккери с основанием АВ, то С= D и каждый из углов С и D острый. 2°. Если в двупрямоугольнике ABCD с основанием АВ AD 3°. Если в двупрямоугольнике ABCD с основанием АВ С < D, то AD <ВС. жүктеу/скачать 0.51 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|