Геометрия Лобачевского и ее модели
жүктеу/скачать 0.51 Mb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- IX. Три модели геометрии Лобачевского.
- 1) Модель Пуанкаре.
| Q H Q’ Q H1 H2 Q’ Q H1 H2 H3 Q’
А) Б) В) Рис. 17 (рис. 17, а). Тогда если М — переменная точка луча РР', а Н — проекция этой точки на прямую QQ', то функция МН — f (MP) является монотонной, неограниченно возрастающей функцией. □ Докажем сначала, что f — монотонно возрастающая функция. Для этого возьмем на луче РР' две точки М1 и М2 так, чтобы РМ1 < РМ2, и докажем, что М1Н1 < М2H2, где Н1 и Н2— проекции точек M1 и М2 на прямую QQ'. Рассмотрим три двупрямоугольника с основаниями QH1 QH2, H1H2 изображенные на рисунке 17, б. Так как РМ1 < РМ2, то Р — М1 — М2. Применив теорему 2 (сумма углов выпуклого четырехугольника меньше 4d) к двупрямоугольникам с основаниями QH1 и QH2 и учитывая, что Р прямой или тупой, приходим к выводу, что углы 1 и 3 острые. Так как 1 и 2 — смежные углы, то 2 тупой. Тогда по свойству 3° в двупрямоугольнике с основанием Н1Н2 имеем Н1М1 < H2M2. Таким образом, f — монотонно возрастающая функция. Докажем теперь, что f — неограниченно возрастающая функция. Для этого возьмем на луче РР' точки М1, М2, ..., Мп, следующие друг за другом так, чтобы РМ1 = М1 М2 = ... = Мn-1 Мп, где n > 2, и рассмотрим проекции H1 H2, ..., Нп этих точек на прямую QQ' (рис. 17, в). По доказанному PQ < М1 H1 < М2Н2. Отложим на луче H1 М1 отрезки Н1М1 и Н1 М'2, равные соответственно отрезкам PQ и М2Н2. Тогда, очевидно, М’1— М1 — М'2. В треугольниках РМ1 М’1 и М2М1 М'2 имеем РМ1 = М2М1 и РМ1 М’1 = M2M1M’2, но PM'1M1 первого треугольника тупой (как угол, смежный с углом М’1 четырехугольника Саккери с основанием QH1), a M2M’2M1 второго треугольника острый (как угол четырехугольника Саккери с основанием Н1Н2). Отсюда следует, что М1 М’1 < М'2М1. Если обозначить М1М’1 через , то М1 Н1 = PQ + , М2Н2 = М1Н1 +M'2M1 > PQ + 2 . Рассуждая аналогично, приходим к выводу, что М3Hз > PQ + 3 , ..., МпНп> PQ + п . Отсюда следует, что f — неограниченно возрастающая функция. ■ Пусть АВ и CD — расходящиеся прямые, a PQ — общий перпендикуляр этих прямых (рис. 18). Фигуры BPQD и APQC удовлетворяют условиям леммы 2, поэтому согласно этой лемме расстояние от переменной точки М прямой АВ до прямой CD неограниченно возрастает, когда точка М удаляется от точки Р как в одном, так и в другом направлении. Образно говоря, расходящиеся прямые неограниченно «расходятся» друг от друга по мере удаления от общего перпендикуляра. Пусть теперь АВ || CD, a PQ — перпендикуляр, проведенный из точки Р прямой АВ на прямую CD (рис. 19). Так как QPB острый, то смежный с ним QPA тупой. Фигура APQC удовлетворяет Рис.18
Рис.19
условиям леммы 2, поэтому согласно этой лемме расстояние от переменной точки М прямой АВ до прямой CD неограниченно возрастает, когда точка М удаляется от точки Р в сторону, противоположную направлению параллельности. Можно доказать, что если точка М удаляется от точки Р в сторону параллельности, то это расстояние стремится к нулю. Образно говоря, параллельные прямые, неограниченно удаляясь друг от друга в одном направлении, асимптотически приближаются в другом. IX. Три модели геометрии Лобачевского.Выделяют три различные модели геометрии Лобачевского: 1) Модель Пуанкаре 2) Модель Клейна 3) Отображение геометрии Лобачевского на псевдосфере (интерпретация Бельтрами) 1) Модель Пуанкаре.В модели Пуанкаре на евклидовой плоскости E фиксируется горизонтальная прямая x. Она носит название «абсолюта». Точками плоскости Лобачевского считаются точки плоскости E, лежащие выше абсолюта x. Таким образом, в модели Пуанкаре плоскость Лобачевского – это полуплоскость L, лежащая выше абсолюта. Прямыми плоскости L считаются полуокружности с центрами на абсолюте или лучи с вершинами на абсолюте и перпендикулярные ему. Ф игура на плоскости Лобачевского – это фигура полуплоскости L. Принадлежность точки фигуре понимается так же, как и на евклидовой плоскости E. При этом отрезком плоскости L считается дуга окружности с центром на абсолюте или отрезок прямой, перпендикулярной абсолюту (рис. 20). Точка K лежит между точками C и D, значит, что K принадлежит дуге CD. В условиях нашей модели это эквивалентно тому, что K' лежит между C' и D', где C', K' и D' – проекции точек C, K и D соответственно на абсолют. Чтобы ввести понятие равенства неевклидовых отрезков в модели Пуанкаре, определяют неевклидовы движения в этой модели. Неевклидовым движением называется преобразование L, которое является композицией конечного числа инверсий с центрами на абсолюте и осевых симметрий плоскости E, оси которых перпендикулярны абсолюту. Инверсии с центром на абсолюте и осевые симметрии плоскости E, оси которых перпендикулярны абсолюту, называют неевклидовыми симметриями. Два неевклидовых отрезка называют равными, если один из них неевклидовым движением можно перевести во второй. жүктеу/скачать 0.51 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|