И. В. Раскина Логика для всех: от пиратов до мудрецов Издание третье, стереотипное

Задача 1. Если белый колпак один, то первый мудрец
ответить бы не смог, а остальные сказали бы, что на них
черные колпаки, подумав так: если бы на мне был белый
колпак, то первый бы его видел и смог бы понять, что на
нем черный колпак (так как он умеет решать задачу 0), но
он промолчал.
Задача 2. Если белых колпаков два, то первый мудрец,
конечно же, промолчал бы. Второй бы подумал: независи-
мо от цвета моего колпака остались еще и черные, и бе-
лые, поэтому первый мудрец в любом случае промолчал
бы, и я тоже ничего не могу определить. Третий бы по-
думал: если бы на мне был белый колпак, то второй бы
понимал, что белый остался только один и определил бы
цвет своего колпака (так как задачу 1 он решать умеет),
поэтому на мне черный колпак. Так же подумали бы и
остальные и назвали бы цвета своих колпаков.
Задача 3. Если белых колпаков три, то цвет своего кол-
пака смог бы определить четвертый мудрец (и все последу-
ющие). Ведь если бы на нем был белый колпак, то третье-
му мудрецу пришлось бы решать задачу 2, а это он делать
умеет. Раз третий промолчал, четвертому все ясно.
Рассуждая аналогично, приходим к выводу, что опре-
делить цвет своего колпака смогут все мудрецы, начиная
с одиннадцатого.
Более строго решение может быть изложено с помощью
метода математической индукции.
Д52. Решим для начала более простую задачу. Пусть
есть только 3 красных и 2 синих колпака, мудрецов всего
трое, и султан надел на головы первому и второму муд-
рецам красные колпаки, а третьему — синий. Через одну
минуту никто не выйдет, после чего первый мудрец поду-
мает: «Если на мне синий колпак, то второй видит два си-
них колпака и понимает, что на нем красный. Почему же
он не вышел? Потому что на мне красный колпак!» Ана-
логично сможет на второй минуте определить цвет своего
колпака и второй мудрец. Третий мудрец ничего понять
169

пока не сможет: если на нем был бы красный колпак, то
каждый из двух остальных на первом шаге видел два крас-
ных колпака и все равно не мог бы ничего определить. Но
за третью минуту он поймет: раз другие мудрецы раньше
меня догадались о цвете своих колпаков, они видели не то
же самое, что и я. Я видел два красных колпака, а они —
красный и синий. Итак, на мне синий колпак».
Вернемся к нашей задаче. Перенумеруем мудрецов: у
первого, второго и третьего белые колпаки, у четвертого и
пятого красные и у шестого — синий. Если бы на первом
был синий колпак, то через одну минуту все бы оставались
на местах, а на второй минуте второй мудрец подумал бы:
«Я вижу оба синих колпака. Если на мне красный, то тре-
тий мудрец видит все красные и все синие колпаки и дол-
жен был сразу понять, что на нем белый (здесь тонкость,
разберемся позже). Почему же он не вышел? Потому что
на мне белый колпак!»
Если бы на первом был красный колпак, второй муд-
рец рассуждал бы аналогично: «Я вижу все три красных
колпака. Если на мне синий, то третий мудрец видит все
красные и все синие колпаки и должен был сразу понять,
что на нем белый. Почему же он не вышел? Потому что на
мне белый колпак!»
Но на первом не синий и не красный колпак. Поэтому
через две минуты второй мудрец останется на месте (ана-
логичная тонкость, ее тоже отложим на потом). Первый
мудрец рассуждает не хуже нас с вами и из того, что вто-
рой никуда не ушел через две минуты, поймет к концу
третьей минуты, что ему надо выйти в белую дверь. Вме-
сте с ним выйдут находящиеся в таком же положении вто-
рой и третий мудрецы.
После этого каждый из трех оставшихся мудрецов по-
думает: «Если бы на мне был белый колпак, то я был бы
точно в том же положении, что и первые трое. Но они уже
определили цвет своего колпака, а я еще нет. Почему же?
Потому что я не в белом колпаке!» И тут же продолжит:
170

«Два других мудреца, пока не угадавших цвет своих кол-
паков, тоже только что поняли про себя, что колпаки на
них не белые. Мы все теперь можем исключить из рас-
смотрения четыре белых колпака и ушедших мудрецов.
Задача сведена к предыдущей». Как уже показано, после
этого мудрецы в красных колпаках потратят еще две ми-
нуты на определение цвета своих колпаков, а за третью
минуту разберется и мудрец в синем колпаке.
Вот теперь обсудим тонкие места. Мы воспользовались
тем, что на второй минуте третий и второй мудрецы еще
не могли определить цвет своего колпака. А вдруг могли,
просто мы не настолько мудры, чтобы понять, как имен-
но? К счастью, даже если бы и могли, на ответ это бы
не повлияло. Ведь это значило бы просто, что все муд-
рецы в белых колпаках определили их цвет на минуту
раньше, чем мы думаем. Ну и прекрасно: определили же!
Заметим также, что если мудрецы в красных и синем кол-
паках тоже могли бы как-то определить цвета своих кол-
паков раньше, чем описано в нашем решении, это по ана-
логичной причине не повлияло бы на ответ: «белые» муд-
рецы в своих размышлениях не используют сидение на
месте «красных» и «синего», а «красные» — сидение «си-
него».
Д53. Если у одного из мудрецов нечетное число, то он
сразу скажет: «Я знаю твое число». Поэтому первое утвер-
ждение «Я не знаю твоего числа» следует понимать как
«Мое число четное».
Если число второго мудреца не кратно четырем, то он
из этого сделает вывод, что у первого мудреца число вдвое
больше, и определит его. Иначе он тоже скажет: «Я не
знаю твоего числа», что будет означать «Мое число кратно
четырем».
Если число первого мудреца не кратно 8, то он смо-
жет определить число партнера, умножив на 2 свое чис-
ло. Иначе он тоже скажет: «Я не знаю твоего числа», что
будет означать «Мое число кратно восьми» и т. д.
171

Поскольку числа, данные мудрецам, не могут делиться
на сколь угодно большую степень двойки, рано или поздно
этот процесс прекратится.

жүктеу/скачать 1.3 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: