Лабораторная работа №4 Принятие решений в условиях неопределенности. Игры с природой

Лабораторная работа №4
Принятие решений в условиях неопределенности. Игры с природой

Отличительная особенность игры с природой состоит в том, что в ней сознательно действует только один из участников, в большинстве случаев называемый игрок1. Игрок 2 (природа) сознательно против игрока 1 не действует, а выступает как не имеющий конкретной цели и случайным образом выбирающий очередные «ходы» партнер по игре. Поэтому термин «природа» характеризует некую объективную действительность, которую не следует понимать буквально.

Матрица игры с природой А = ||а_ij||, где а_ij – выигрыш (потеря) игрока 1 при реализации его чистой стратегии i и чистой стратегии j игрока 2 (i=1, …, m; j=1,…,n).

Мажорирование стратегий в игре с природой име­ет определенную специфику: исключать из рассмотрения можно лишь доминируемые стратегии игрока 1: если для всех g=1,…, n a_kj  a_lj, k, l = 1,…,m, то k-ю стратегию принимающего решения иг­рока 1 можно не рассматривать и вычеркнуть из матрицы игры. Столбцы, отвечающие стратегиям природы, вычеркивать из матри­цы игры (исключать из рассмотрения) недопустимо, поскольку при­рода не стремится к выигрышу в игре с человеком, для нее нет це­ленаправленно выигрышных или проигрышных стратегий, она дей­ствует неосознанно.

Рассмотрим организацию и аналитическое представление игры с природой. Пусть игрок 1 имеет m возможных стратегий: А1,А2, … , Аm, а у природы имеется n возможных состояний (стратегий): П1, П2, ..., Пn, тогда условия игры с природой задаются матрицей А выигрышей (потерь) игрока 1:


Возможен и другой способ задания матрицы игры с природой: не в виде матрицы выигрышей (потерь), а в виде так называемой матрицы рисков R = ||r_ij||_m,n. Величина риска - это размер платы за отсутствие информации о состоя­нии среды. Матрица R может быть построена непосредственно из условий задачи или на основе матрицы выигрышей (потерь) А.

Риск - это разность между результатом, ко­торый игрок мог бы получить, если бы он знал действительное состоянием среды и результатом, который игрок получит при j-ой стратегии.

Зная состояние природы (стратегию) Пj, игрок выбирает ту стра­тегию, при которой его выигрыш максимальный или потеря минимальна, т.е.

r_ij = _j-a_ij, где _j = max a_ij, при заданном j. 1 i m если а_ij - выигрыш

r_ij = a_ij - _j, где _j = min a_ij, при заданном j. 1 i m если а_ij – потери (затраты)

Неопределенность, связанную с полным отсутствием информа­ции о вероятностях состояний среды (природы), называют «безна­дежной».

В таких случаях для определения наилучших решений исполь­зуются следующие критерии: Вальда, Сэвиджа, Гурвица.

Критерий Вальда. С позиций данного критерия природа рассматривается как агрессивно настроенный и сознательно действующий противник.

Если в исходной матрице по условию задачи результат a_ij представляет выигрыш лица, принимающего решение, то выбирается решение, для кото­рого достигается значение W = max min a_ij, 1 i m, 1 j n – максиминный критерий.

Если в исходной матрице по условию задачи результат a_ij представляет потери лица, принимающего решение, то выбирается решение, для кото­рого достигается значение W = min max a_ij, 1 i m, 1 j n – минимаксный критерий.

В соответствии с критерием Вальда из всех самых неудачных результатов выбирается лучшей. Это перестраховочная по­зиция крайнего пессимизма, рассчитанная на худший случай.

S = min max r_ij 1 i m, 1 j n.

Применение критерия Сэвиджа позволяет любыми путями избежать большого риска при выборе стратегии, а значит, избежать большего проигрыша (потерь).

Критерий пессимизма-оптимизма Гурвица. Этот критерий при выборе решения рекомендует руководствоваться некоторым сред­ним результатом, характеризующим состояние между крайним пес­симизмом и безудержным оптимизмом.

Критерий основан на следующих двух предположениях: «природа» может находиться в самом невыгодном состоянии с вероятность (1-р) и в самом выгодном состоянии с вероятностью р, где р – коэффициент пессимизма.

Согласно этому критерию стратегия в матрице А выбирается в соответствии со значением:

H_A = max  p max a_ij + (1-p) min a_ij  , 1 i m, 1 j n. если a_ij – выигрыш

H_A = min  p min a_ij + (1-p) max a_ij  , 1 i m, 1 j n. если a_ij – потери (затраты)

При p = 0 критерий Гурвица совпадает с критерием Вальда. При p = 1 приходим к решающему правилу вида max max a_ij, к так называемой стратегии «здорового оптимизма», критерий максимакса.

Применительно к матрице рисков R критерий пессимизма-оп­тимизма Гурвица имеет вид:

H_R = min p max r_ij + (1-p) min r_ij , 1 i m, 1 j n.

При р = 0 выбор стратегии игрока 1 осуществляется по условию наименьшего из всех возможных рисков (min r_ij); при р = 1 – по критерию минимаксного риска Сэвиджа.

Значение р от 0 до 1 может определяться в зависимости от склонности лица, принимающего решение, к пессимизму или оптимизму. При отсутствии ярко выраженной склонности р = 0,5 представляет наиболее разумный вариант.

В случае, когда по принятому критерию рекомендуются к ис­пользованию несколько стратегий, выбор между ними может де­латься по дополнительному критерию. Здесь нет стандартного подхода. Выбор может зависеть от склонности к риску игрока1.

Контрольный пример

Транспортное предприятие должно определить уровень своих производственных возможностей так, чтобы удовлетворить спрос клиентов на транспортные услуги на планируемый период. Спрос на транспортные услуги не известен, но прогнозируется, что он может принять одно из четырех значений: 10, 15, 20 или 25 тыс. т. Для каждого уровня спроса существует наилучший уровень провозных возможностей транспортного предприятия. Отклонения от этих уровней приводят к дополнительным затратам либо из-за превышения провозных возможностей над спросом (из-за простоя подвижного состава), либо из-за неполного удовлетворения спроса на транспортные услуги. Возможные прогнозируемые затраты на развитие провозных возможностей представлены в табл.4.1.

Таблица 4.1

Варианты провозных возможностей транспортного предприятия	Варианты спроса на транспортные услуги
	1	2	3	4
1	6	12	20	24
2	9	7	9	28
3	23	18	15	19
4	27	24	21	15

Необходимо выбрать оптимальную стратегию. Использовать: критерий Вальда, критерий Сэвиджа, критерий Гурвица.

Решение

Имеются четыре варианта спроса на транспортные услуги, что равнозначно наличию четырех состояний «природы»: П1, П2, П3, П4. Известны так же четыре стратегии развития провозных возможностей транспортного предприятия: А1, А2, А3, А4. Затраты на развитие провозных возможностей при каждой паре П_i и А_i заданы следующей матрицей:

Построим матрицу рисков. В данном примере a_ij представляет затраты т.е. потери значит для построения матрицы рисков используется принцип r_ij = a_ij - _j, где _j = min a_ij.

Для П1: _j = 6

Для П2: _j = 7

Для П3: _j = 9

Для П4: _j = 15

Матрица рисков имеет следующий вид:



Критерий Вальда

Так как в данном примере a_ij представляет затраты т.е. потери, то применятся минимаксный критерий.

Для А1: max a_ij = 24

Для А2: max a_ij = 28

Для А3: max a_ij = 23

Для А4: max a_ij = 27

W = min max a_ij = 23  наилучшей стратегией развития провозных возможностей в соответствии с минимаксным критерием Вальда будет третья стратегия (А3).

Критерий минимаксного риска Сэвиджа

Для А1: max r_ij = 11

Для А2: max r_ij = 13

Для А3: max r_ij = 17

Для А4: max r_ij = 21
S = min max r_ij = 11  наилучшей стратегией развития провозных возможностей в соответствии с критерием Сэвиджа будет первая стратегия (А1).

Критерий пессимизма-оптимизма Гурвица

Положим значение коэффициента пессимизма р = 0,5.

Так как в данном примере a_ij представляет затраты (потери), то применятся критерий:

H_A = min  p min a_ij + (1-p) max a_ij 

H_R = min p max r_ij + (1-p) min r_ij

Оптимальное решение заключается в выборе стратегии А1

• 
  по критерию Вальда – выбор стратегии А3;
  
• 
  по критерию Сэвиджа – выбор стратегии А1;
  
• 
  по критерию
  
• 
  Гурвица – выбор стратегии А1.