Контрольные вопросы по каждой из рассматриваемых тем занятий

Контрольные вопросы

1. 
   Что строится в процессе календарного планирования?
   
2. 
   Что определяется в процессе календарного планирования?
   
3. 
   В чем назначение календарного планирования?
   
4. 
   Опишите задачу С. Джонсона для двух станков.
   
5. 
   Опишите задачу распределения заказов.
   

Лабораторная работа №8
Решение задач по оптимизации

Ежедневно специалисты в области экономики и менеджмента сталкиваются с задачами оптимизации. Это и премирование штатного расписания, и расчет фонда заработной платы, и планирование рекламной компании, и еще множество задач, решаемых с помощью методов оптимизации. Наиболее легкими и показательными являются задачи линейной оптимизации.

Задачи линейного программирования относятся к задачам на условный экстремум функции. Однако для исследования линейной функции многих переменных на условный экстремум нельзя применить хорошо разработанные методы математического анализа.

Действительно, пусть необходимо исследовать на экстремум линейную функцию при линейных ограничениях . Необходимым условием экстремума является . Но . Отсюда . Так как все коэффициенты линейной функции не могут быть равны нулю, то внутри области, образованной системой ограничений, экстремальные точки не существуют. Они могут быть только на границе области.

Для решения таких задач разработаны специальные методы линейного программирования, которые особенно широко применяются в экономике.

8.1. Линейная оптимизационная задача

Для производства столов и шкафов мебельная фабрика использует необходимые ресурсы. Нормы затрат ресурсов на одно изделие данного вида, прибыль от реализации одного изделия и общее количество имеющихся ресурсов каждого вида приведены в табл. 8.1.

Таблица 8.1

Для решения этой задачи необходимо построить математическую модель. Процесс построения модели можно начать с ответа на следующие три вопроса:

1. 
   Для определения каких величин строится модель?
   
2. 
   В чем состоит цель, для достижения которой из множества всех допустимых значений переменных выбираются оптимальные?
   
3. 
   Каким ограничениям должны удовлетворять неизвестные?
   

Суммарная прибыль от производства столов и шкафов равна z=6*x1+8*x2. Целью фабрики является определение среди всех допустимых значений х1 и х2 таких, которые максимизируют суммарную прибыль, т.е. целевую функцию z

Ограничения, которые налагаются на х1 и х2:

• 
  объем производства шкафов и столов не может быть отрицательным, следовательно: х1, х2  0.
  
• 
  нормы затрат древесины на столы и шкафы не может превосходить максимально возможный запас данного исходного продукта, следовательно:
  

0,1x1 +0,3x2 60.

Кроме того, ограничение на трудоемкость не превышает количества затрачиваемых ресурсов

1,2x1+ 1,5х2  371,4.

Таким образом, математическая модель данной задачи имеет следующий вид:

Максимизировать функции.

z = 6х1 + 8х2

при следующих ограничениях:

0,2x1+ 0,1x2 40

0,1x1 +0,3x2 60

1,2x1+ 1,5х2  371,4

Данная модель является линейной, т.к. целевая функция и ограничения линейно зависят от переменных.

1. Отвести ячейки A3 и ВЗ под значения переменных х1 и х2 (рис. 8.1).

Рис.8.1. Диапазоны, отведенные под переменные,

2. В ячейку С4 ввести функцию цели: =6*АЗ+8*ВЗ, в ячейки А7:А9 ввести левые части ограничений:

=0,2*А3+0,1*ВЗ

=0,1*А3+0,3*ВЗ

= 1,2*АЗ+1,5*ВЗ,

а в ячейки В7:В9 - правые части ограничений. (рис.8.1.)

3. Выбрать команды Сервис/Поиск решения (Tools/Solver) и заполнить открывшееся диалоговое окно Поиск решения (Solver) как показано на рис 8.2. Средство поиска решений является одной из надстроек Excel. Если в меню Сервис (Тоо1з) отсутствует команда Поиск решения (Solver), то для ее установки необходимо выполнить команду Сервис/ Надстройки/ Поиск решения (Tools/Add-ins/Solver). Для ввода ограничений нажмите кнопку Добавить.

Рис. 8.2. Диалоговое окно Поиск решения задачи о максимизации прибыли на фабрике

Рис.8.3. Диалоговое окно Параметры поиска решения

4. После нажатия кнопки Выполнить (Solve) открывается окно Результаты поиска решения (Solver Results), которое сообщает, что решение найдено (рис. 8.4).

Рис. 8.4. Диалоговое окно Результаты поиска решения

5. Результаты расчета задачи представлены на рис. 8.5, из которого видно, что оптимальным является производство 102 столов и 166 шкафов. Этот объем производства принесет фабрике 1940 руб. прибыли.

Рис.8.5. Результаты расчета с помощью средства поиска решений для задачи максимизации выпуска столов и шкафов

1. 
   Построить математическую модель задачи, согласно вашему варианту.
   
2. 
   Решить задачу с помощью средства MS Excel Поиск решения.
   
3. 
   Сделать соответствующие выводы.
   

Для производства двух видов изделий А и В используется токарное, фрезерное и шлифовальное оборудование. Нормы затрат времени для каждого из типов оборудования на одно изделие данного вида приведены в табл.8.2. В ней же указан общий фонд рабочего времени каждого из типов оборудования, а также прибыль от реализации одного изделия.

Таблица 8.2

На звероферме могут выращиваться черно-бурые лисицы и песцы. Для обеспечения нормальных условий их выращивания используется три вида кормов. Количество корма каждого вида, которое должны ежедневно получать лисицы и песцы, приведено в табл.8.3. В ней же указаны общее количество корма каждого вида, которое может быть использовано зверофермой, и прибыль от реализации одной шкурки лисицы и песца.

Найти оптимальное соотношение количества кормов и численности поголовья лис и песцов.

Таблица 8.3

Для изготовления различных изделий А, В и С предприятие использует три различных видов сырья Нормы расхода сырья на производство одного изделия каждого вида, цена одного изделия А, В и С, а также общее количество сырья каждого вида, которое может быть использовано предприятием, приведены в табл. 8.4.

Таблица 8.4

Составить план производства изделий, при котором общая стоимость всей произведенной предприятием продукции является максимальной.

На швейной фабрике для изготовления четырех видов изделий может быть использована ткань трех артикулов. Нормы расхода тканей всех артикулов на пошив одного изделия приведены в табл.8.5. В ней же указаны имеющиеся в распоряжении фабрики общее количество тканей каждого артикула и цена одного изделия данного вида. Определить, сколько изделий каждого вида должна произвести фабрика, чтобы стоимость изготовленной продукции была максимальной.

Таблица 8.5

Артикул ткани	Норма расхода ткани (м) на одно изделие вида				Общее количество ткани (м)
	Вид 1	Вид 2	Вид 3	Вид 4
Артикул 1	1	-	2	1	180
Артикул 2	-	1	3	2	210
Артикул 3	4	2	-	4	800
Цена одного изделия (руб.)	9	6	4	7