Лекции по элементарной математике Глава Элементы теории чисел § Метод математической индукции §

где a_n ,..., a₁, a₀

числа, принимающие значения 0, 1, ..., g – 1, причем

a_n 0.

Позиционная система счисления с основанием g называется g-

ичной (двоичная, троичная и т. д.). На практике чаще всего при- меняется десятичная система счисления (g = 10). В быстродейст- вующих вычислительных машинах применяют двоичную и восьме- ричную системы счисления.

Для обозначения чисел 0, 1, ... , g–1 в g-ичной системе счисления используют особые знаки, называемые цифрами. Иногда для кратко- сти сами эти числа называют цифрами (что, строго говоря, неверно, так как цифры – лишь знаки для обозначения некоторых чисел). Замеча- тельным открытием древнеиндийских математиков было изобретение нуля – особого знака, который должен был показать отсутствие единиц определенного разряда.

Для g-ичной системы счисления нужно g цифр (для обозначения чи- сел от 0 до g–1). Если g<10, то применяют те же обозначения цифр, что и в десятичной системе счисления (только берут не все цифры), а если g>10, то нужны особые обозначения для чисел от 0 до g–1 (например, в двенадцатеричной системе счисления нужны еще две цифры, а в два- дцатеричной – еще десять цифр).

В двоичной системе достаточно двух цифр: 0 и 1. Именно этим, в частности, объясняется широкое использование двоичной системы счис- ления в вычислительных машинах: основные элементы вычислительных машин – особые устройства, которые могут находиться в двух положе- ниях (скажем, пропускать или не пропускать ток). Одно положение ставят в соответствии цифре 0, а другое – цифре 1.

Докажем следующую теорему о систематической записи чисел: