Лекция Ықтималдықтар теориясының негізі
Ең кіші квадраттар принцпі
жүктеу/скачать 2.4 Mb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- Қосымша
- Лекция № 7. КОРРЕЛАТТЫ ТЕҢДЕУЛЕР. ТӘСІЛДЕРДІҢ МӘНІ
| Ең кіші квадраттар принцпі
1806 жылы француз математигі Лежандр сызықты теңдеулердің белгісіз жүйелерін анықтайтын өлшеулер нәтижесіне белгісіз түзетулер енгізетін ең кіші квадраттар әдісі деген атқа ие болған тәсілді ұсынды. Бұл тәсілде қосымша күшейткіштерге бағынатын – v түзетулер қосындысының нақты өлшеулеріне енгізетін квадраты минимумға тең болуы керек, түзетулердің басқа кіші қосындыларының квадраты төмендегі теңдеуді қанағаттандыруы тиіс: Біркелкі емес өлшеулер кезінде қосымша шаттардың қолданылуы: (6.7) (6.7) шарты ең кіші квадраттардың математикалық ережесі болып саналады. Осылайша, есептеу теңдеулерінің көптеген жүйелерінен (6.6) теңдеуі ғана (6.7) шартына таңдалаып алынады. Өлшеу нәтижелерінің математикалық өңдеуі жалпылама өсімшелердің (6.7) қажеттілігін сақтай отырып, ең кіші квадраттар тәсілінің теңдеуі деп аталады. Математикалық тұрғыдан бұл келесі есептеулерді көрсетеді. (6.7) функциясының минимумын табу керек болады, егер оның қолданылуы v тәуелсіз (6.6) теңдеуімен байланысты болса. Оысндай тапсырманы шешу үшін математикалық сараптауда екі негіщзгі тәсіл қолданылады: Лаграж тәсілі мен белгісіз көбейткіштер тәсілі; Абсолютті экстремум тәсілі, барлық өлшенген өсімшелер функциясының сәйкес келмейтін параметрлері негізінде көрсетіледі. Математикалық өңдеулер теориясы нәтижесінің геодезиялық өлшеулерінің бірінші тәсілі коррелативті (шарттар әдісі немесе шартты өлшеулер) деп аталады, екіншісі – параметрлік (қажетті белгісіздер әдісі немесе орталық (қарама қайшы) өлшеулері) деп аталады. Қосымша: 7.1-67. Бақылау сұрақтары: 1. Қатаң деңдеудің екі тәсілі. 2.Теңдеулерді теңестірудің қандай тәсілдері болады? 3. қатаң теңдеудің негізгі принцпі. Лекция № 7. КОРРЕЛАТТЫ ТЕҢДЕУЛЕР. ТӘСІЛДЕРДІҢ МӘНІ Алдыңғы лекцияларда айтып өткендей теңдеулерді коррелатты тәсімен есептеу үшін Лагранж тәсілі белгісіз көбейтіштермен қолданылады. Оны теңдеулер жүйесімен қарастырайық. Жалпы жағдайда теңдеулер жүйесі сызықты сипатта көрсетілмейді, ол теңдеулерді шешу жолдарыгн күрделендіреді, ал математика сызықты емес теңдеулерді шешу жүйесінің басқа тәсілін ұсынбайды. Теңестіруді ажырату үшін және оны есептеудің алгаритмін алу үшін, (6.6) теңдеуін түзетуді ескере отырып сызықты қалыпқа келтіреді. Сонда, функциясын тейлор қатарына қойып және оларды сызықты емес мүшелеріне байланыстырып, бірінші және келесі теңдеулер жүйесін (6.6) келтіре отырып, келесі теңдеуді аламыз: ……………………………………………………………………………………………………………. Содан кейін мәндерін енгізіп: , мұндағы i – өлшенетін (ауыспалы) (х) өсімшені өлшеудің нөмірі; j – ( функциясының) шартты белгілену нөмірі. (6.4) функциясын ескере отырып, аламтынымыз ; ; …………………………………………. , (7.1) мұнда аij – коэффициент; Wj – ерікті мүше. Гаусс қосындысының белгіленуін қолдана отырып алатынымыз: ; ; …………………. . (7.2) у индексіне гаусс жақшасындағы коэффициентке сәйкес келетін екінші индекстер коэффициентіне сәйкес келеді аij. Равенства (7.1) и (7.2) называются условными уравнениями поправок. Егер (6.6) теңдеуі басынан бастап сызықты түрде берілсе, онда (6.7) формуласы қажет болмайды, себебі аij коэффициенті белгілі болады. (6.7) функциясының минимумын табу үшін қолданылатын коррелативті тәсілдің теңдеуінің мәні өзара байланысты шартымен қолданылатын белгісіз (6.6) теңдеуінің тәуелсіз шарты Лагранж реттілігі бойынша белгісіз көбейткіштер көмегімен табылады. Математикалық сараптау реттілігі бойынша осындай есептеулерді шешу үшін, міндетті түрде келесі Лагранж функциясын құрамыз: , (7.3) мұндағы - Лагранждың белгісіз көбейткіштері; . Есептеу мүмкіндігінің ыңғайлы болуы үшін белгілеп өтейік , Мұнда - коррелаттар, осы атауы бойынша теңдеуді есептеу тәсіліне берілген атау. (7.1) теңдеуін ескере отырып және қабылданған белгіленулер, Лагранж функциясының келесі түрін көрсетеді: , (7.4) или түзетулерін анықтау үшін (7.4) функциясы минимумға жететін кезде, жеке туындайтын Ф функцияларды аргументтері бойыша алып нөлге ; ; ……………………………………………………… , осыдан (7.5) немесе , (7.6) мұндағы . q өсімшесін кері салмақ деп атайды, ал (7.5) және (7.6) теңдеулерін түзетулердің коррелативті теңестіруі деп атайды. Осы теңдеулерден іздеп отырған түзету табылады, егер мәні әрқашан нөлге тең болатын шарттың коррелаттары белгілі болса. n - (7.6) коррелатты теңдеудің түзету сандарының жүйесімен n белгісіз түзетулер мен r белгісіз коррелаттар k, (7.1) шартты теңдеулермен r сызықтық теңдеулердің белгілі n+r жүйесін құрайды. Коррелаттарды табу үшін түзетулер есебін (7.6) теңдеуінен (7.1) шартты теңдеуіне ауыстырып, басында (7.6) теңдеуін ашып жазамыз: ; ; …………………………………………… . Айтып өтсек, а коэффициенттерінде екінші индекс (7.1) түзетулердің шартты теңдеуінің нөмірін көрсетеді және k коррелаттар нөміріне сәйкес келеді, ал біріншісі – жолдар нөмірінде коэффициенттер орналасқан (өлшенген өсімшелер нөмірі). Осыдан кейін (7.1) бірінші шартты теңдеулер жүйесінің мүшелерін бағандарға орналастырып, әрбір мүшесіне сәйкесінше түзетулерін қоямыз. Ары қарай мүшелерін бағандарға қосып және нәтижелерін Гаусс белгілеуінде жазатын болсақ, төмендегі теңдеуді аламыз: , , ………………………………………………………. , . Басқада шартты теңдеулерді аналогты түрде орындаймыз. , , (7.7) ……………………………………………………… . (7.7) теңдеуін коррелаттардың бірқалыпты теңдеуі деп атайды. Олардың ішінде белгісіздер коррелаттар саналады, ал еркін мүшелері – түзетулердің шартты теңдеуінің түзетуінің еркін мүшелері деп аталады. Ашып қарайтын болсақ коэффициенттерді көрсетеді, мұнда а коэффициенттері кеезіндегі индекс – түзетулердің шартты теңдеуінің екінші индексі болады, осыған сәйкес теңдеу: ; ; ; …………………………………………………. ; (7.8) …………………………………………………. . Атап өтсек, (7.7) теңдеулер жүйесі анықталған болып саналады, мұндағы r теңестіру саны белгісіздер санына тең болады. (7.7) теңдеуінің нәтижесін шешу арқылы белгісіз коррелаттар мәнін береді, (7.6) түзетулері енгізілген соң іздеп отыған түзетулердің нәтижесін табамыз. Осыған байланысты, келесі есептерді шешу құрылымдары коррелатты тәсілдермен орындалады. 1. Өлшеу нәтижелерінің жүйесін орнатады және олардың салмақтары , қажеттіліктерді сараптау негізінде анықтайын k саны және r өсімшелердің артық өлшемі. 2. (6.2) теңдеуінің математикалық арақатынасын таңдап төмендегі қажеттіліктерді сақтай отырып құрастырады: шартты теңдеулер белгісіз болуға тиіс, олардың бірде біреуі басқасына қатысты болмауы тиіс; число условных уравнений r должно равняться n-k, где n – число измеренных, а k – число необходимых величин; шартты теңдеулер мүкіндігінше қарапайым және белгісіздердің минимал санын көрсету керек; Міндетті түрде бірінші қажеттілікті сақтамаған жағдайда теңдеуді шешу кезінде белгісіздік шартын сақтау керек екенін ескеру керек; екіншіден – барлық шарттар қанағаттандырылуы мүмкін емес, соңында кейбір қиыспаушылықтар теңдеуден кейін қалады. Соңғы қажеттілікті орындамау теңдеудің тапсырмасын күрделендіреді, ары қарай шығын мөлшері мен теңдеуді шешу үшін қажеттіліктерді көбейтеді. 3. Шартты теңдеулерді сызықты (7.1) теңдеуіне келтіріп, (6.7) бойынша коэффициенттерін, ал (6.4) бойынша түзетулердің шартты теңдеуінің еркін мүшелерінің есептейді. 4. (7.8) формуласы бойынша қарапайым теңдеулер коррелаттарының коэффициенттерін есептейді. 5. Қарапайым теңдеулерді шешу арқылы k коррелаттар нәтижесін алады. 6. (7.6) формуласы арқылы түзетулерін анықтайды. 7. Өлшенген өсімшелерді теідеуімен есептейді. 8. өлшенген шамалардың мәні арқылы өсімшелер теңдеуін шартты теңдеулер (6.6) бойынша қателіктер болмаған жағдайда қанағаттандыруын бақылайды. жүктеу/скачать 2.4 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|