Лекция конспектісі 6В070400-Есептеу техникасы және бағдарламалық қамтамасыз ету мамандығы үшін

Жай итерация және Зейдель әдістері

Сызықты алгебралық теңдеулер жүйесін шешудің итерациялық әдістері.

Итерациялық әдістердің жинақталуы.

1. 
   Жәй итерация және Зейдель әдісі
   
2. 
   Жәй итерация әдісі
   
3. 
   Итерациялық әдістердің жинақталуы
   

(дәріс материалы)

1. 
   Жәй итерация және Зейдель әдісі
   

Мейлі f(x)=0 теңдеуі берілсін, мұнда f(x) – үздіксіз функция. Осы теңдеудің [a, b] кесіндісінде жататын нақты түбірін табу керек.

теңдеуімен алмастырамыз. Алғашқы жуықтау үшін алып

тізбегін тұрғизамыз. Бұл тізбек n үмтылғанда кез-келген үшін, (1)-ші теңдеудін [a, b] кесіндісіндегі дәл шешіміне жинакталады. Итерациялық процестің жинақты болуының жеткілікті шартын келтірейік.

Егер кесіндісінде, оң болса, онда

егер теріс болса, онда

Итерациялық процестің бір қадамын жазып көрсетейік. Алдыңғы қадамда табылған мәні үшін, есептейміз. Егер >ε болса, деп болжап келесі итерацияны орындаймыз. Егер <ε болса, есептеуді тоқтатып, түбірдің жуық мәнін деп қабылдаймыз. Алынған нәтиженің қателігі туындының таңбасына байланысты. Егер >0, табылған түбірдің қателігі егер <0 болса, онда қателік ε-нен аспайды.

Әдістің геометриялық интерпретациясы. y=x және функцияларының графиктерін тұрғызамыз. теңдеуінің түбірі ,

қисығының у=х түзуімен қиылысу нүктесінің абсциссасы болады (3-ші сурет). Алғашқы жуықтау үшін кез-келген нүктесін алып, сынық сызықтар тұрғызамыз (3-ші сурет, а, б). Бұл қисықтардың төбелерінің абсциссалары, түбірге жүйелі түрде жақындауды көрсетеді. Егер [a, b] кесіндісінде <0 болса, онда жүйелі түрде жақындау түбірдің маңында шайқалады, ал егер оң болса, онда жүйелі жуықтау тубірге, бірсарынды жақындайды.

Жәй итерация әдісін қолданғанда негізгі мәселе функциясын таңдау болады. Жәй итерация әдісінде функциясын, <1 болатындай етіп таңдау керек. Бұл жағдайда тізбектің түбірге жинақталу жылдамдығы, q саны кіші болған сайын жоғары болады.