Математиканы оқытудың теориясы

Кх) - К ~х) = 2һ(х). 
(4)
(3) ж эне (4) теңдіктерден §(х) пен һ(х) ф ун кц и ялары н
тау ы п а л ға н н а н к е й ін , / ( х ) ф у н к ц и я с ы н ы ң о л а р д ы ң
қосындысы екенін ескереміз:
Ңх) + Ң - х )
Ңх ) - Ң - х )
Кх) = 
0 1 ; 
..... ' . 
(5)
(5) те ң д ік т ің ж а зы л у ы он ы ң ф орм альды д әл ел д еу і. 
О ны ң х -т ің б а р л ы қ м ә н д е р ін д е д ү р ы с т ы ғ ы н т е к с е р у
тең д іктегі бірінш і қ о сы л ғы ш ты ң ж ү п , е к ін ш іс ін ің таң 
екендігін тағайы ндау болып табылады .
Б е р іл г е н е с е п т ің ш е ш ім і (5) ф о р м у л а д а н т ік е л е й
ш ығады:
1 
= 
х2 
+ 
1 
х4 - X 
х6 - 1 
х7 - X
Кейбір ж ағдайларда есепті ж алпы лау ж аң а нәтижелерге 
алып келуі м үм кін.
У. Сойер « ж ал п ы л ау — бүл м а те м а ти к а л ы қ б ілім ді 
кеңейтудің ең оңай ж әне ңарапай ы м ж олы болса керек» 
деп тегін айтпаған (32).
А н а л о ги я ж ән е м одельдеу. М а те м а ти к а л ы қ объек- 
т іл е р д ің к ей б ір ң а с и е т т е р ін о қ ы п -ү й р е н у б ар ы сы н д а 
оларды ң басқа бүры ннан белгілі об ъ ектілерд ің ңасиет- 
терімен сәйкес келіп қалуы м үм кін . Осындай сәйкестіктерді 
тағайындау нәтижесінде, ол объектілердің басқа қасиеттері 
де сәйкес келеді деп ж орам алдауға болады. Осы түрдегі 
п а й ы м д ау а н а л о г и я н ы ң н е г із ін ң а л а й д ы . « А н ал о ги я
бойынша қорытынды ш ы ғару, пайымдаудың ең үйренш ікті 
ж әне м аңы зды тү р ін ің бірі. Ол бізді ш ы н д ы қ қ а ж а қ ы н
үйғары м га алып келіп, оның дүры сты ғы тәж ірибе немесе 
қатаң ой қоры тулар нәтиж есінде тексеріліп отырады» деп 
ж азды Д. Пойа (41).
А н а л о г и я ғ а ең ж а қ ы н әд іс м о д ел ьд еу , с о н д ы қ т а н
ғы лы м и пайы мдаудағы к ір ік тір у беталы сы ның күш ею іне 
байланы сты модельдеудің м аңы зы едәуір артып келеді.
А н а л о г и я  (грек. апаІо§іа — сәй к естік, үқсасты ң) — 
объектілердің кейбір белгілерінің үқсасты гы на сүйеніп,
79

о л а р д ы ң б а с ң а б е л г іл е р ін ің де ү ң с а с б о л а т ы н д ы ғ ы
ту р ал ы қо р ы ты н д ы ш ы ғар аты н тан ы м әдісі. А н алоги я 
бойы нш а қ оры ты н д ы ж асау сүлбасы н кө р сетей ік. Егер 
қ ар асты р ы л ы п оты рған А ж ән е В  об ъ ек тіл ер ін ің ортақ 
қасиеттері су с2,...,сп болып ж әне А объекті тағы да й деген 
ңасиетке ие болса, онда В  да сі ңасиетке ие болады деген 
қоры ты нды ж асалы н ады .
А налогия бойы нш а қоры ты нды ы қти м ал ған а болады. 
Ол ғы лы м и болж ам ж асауды ң ңайнар көзі бола отырып, 
ғы лы м и ізденіс ж асауда үлкен м аңы зға ие.
А н алоги ян ы ң ай р ы қш а сипаты бір ж үйедегі қаты стар 
мен ңасиеттерді екін ш і ж үйеге көш іру болып табылады. 
О қуш ы ларды ң бір объектіні оңып үйренудегі білімдерді 
екін ш і объектіге көш іру қабілетін ңалы птасты ру — оқыту- 
дағы ең м аңы зды мәселелердің бірі.
С о н д ы қ т а н м а т е м а т и к а м ү ғ а л ім і а н а л о г и я ә д іс ін
м еңгеріп, оның әрбір түрін сабақ беру процесінде еркін 
қолдана білуі ж әне аналогия бойынш а ж асалы ны п ж атқан 
қоры ты н ды н ы ш ы н д ы қң а ж ақ ы н д ататы н ф акторларды
білуі тиіс.
А .И .У е м о в т ы ң з е р т т е у л е р ін е с ү й е н с е к , а н а л о г и я
бойынша ж асалған қоры ты нды ны ң ы қтималды ғы ж оғары 
болу үш ін м ы надай ш арттар оры ндалуы тиіс (34):
1) А ж ән е В  объектілеріне ортақ белгілер сх, с2, ..., сп 
м үм кіндігінш е көп болуы қаж ет;
2) ол белгілер екі объект үш ін де елеулі белгілер болуы 
тиіс;
3) ол белгілер салы сты ры п отырған объектілердің әр 
түрлі ж ақ тар ы н ңам ты ғаны жөн;
4) екін ш і объектіге ж атқы зы латы н сі белгісі сх, с2, ..., сп 
белгілерімен типтес болуы керек;
5) сх, с2, ..., сп белгілер салы сты ры латы н объектілердің 
өзіне ған а тән болып, кез келген объектіге тиісті болмауы 
керек;
6) егер қоры ты нды аз аңпарат берсе, онда ол ш ы нды ққа 
көбірек ж ақы н болады. Бүл екінш і объектіге көш ірілетін сі 
белгісі ерекш е сипатқа ие болмауы керек дегенді білдіреді. 
сі б ел гісі н еғү р лы м ң ар ад ү р сін болса, соғүрлы м оны ң 
ы қтим алды ғы ж оғары (32).
О қыту процесінде ан алоги я ж аң а білім дерді ңалы п- 
тасты ру, бүрын оңы ты лған материал мен ж аң а материал
80

ар асы н д ағы б ай л ан ы сты та ға й ы н д а у , м а те м а ти к а л ы ң
үғы м дарды ң қ аси еттерін дәлелдеу, алы н ған білім дерді 
қолдану ж әне оны п ракти калы ң тексеруде ңолданы лады .
Ж аң а білімдерді қалыптастыруда аналогияны қолдануға 
м ысалдар ң арасты рай ы қ.
Ү ғы м дарды қ а л ы п т а с ты р у д а а н а л о ги я н ы ң бір түрі 
и зо м о р ф и зм д і қ о л д а н у ғ а к ө ң іл а у д а р а й ы қ . М ы сал ы , 
коммутативті топ үғымын ңалыптастыру кезінде қүрылым- 
дарды ң м ы н ад ай ү ң састы қ (а н ал о ги я л ы қ ) қ аси еттер ін
қарасты руға болады: ңосу ам алы мен бүтін сандар ж иы ны
ж ән е көбей ту ам алы мен р ац и о н ал оң сандар ж и ы н ы . 
А н ал о ги ял ы ң ңасиеттерді сәйкестендіру ассоц и ати втік 
ж ән е к о м м у та т и в тік ам ал д ар , бей тарап ж ән е қ а р а м а - 
қ а р с ы э л е м е н т т е р д ің болуы к о м м у т а т и в т ік топ деп 
аталаты н бірдей қүры лы м ды ан ы қтай ты н ы н көрсетеді. 
Ж иы ндарды ң нақты табиғатынан ж әне амалдардың нақты
мағынасынан ауы тқи отырып, дерексіз ком м утативтік топ 
теориясы қүры лады .
М атем атика тарихы нда теорияны ң дамуы на аналогия- 
ны ң ү л к ен рөл атң ар ған ы ту р алы м ы сал д ар д ы көп теп
келтіруге болады.
М ысалы, көпөлш емді геом етрияны ң негізгі үғы м дары
ж а з ы ң т ы қ т а ғ ы ж ә н е ү ш ө л ш е м д і к е ң іс т ік т е г і н е г із г і 
үғы м дарға аналогияны пайдалану нәтиж есінде енгізілді. 
К ом плекстік айны м алы сы бар ф ун кц и я н ақты айны м а- 
лысы бар ф ункцияны ң аналогиясы негізінде пайда болған. 
К ом п лекстік айны м алы сы бар ф у н к ц и я н ы ң теори ясы н
қү р у к езін д е н ақ ты ай н ы м ал ы ф у н к ц и я л а р д ы зерттеу 
әдістері мен аналогия пайдаланы лған.
Б ү р ы н о қ ы ты л ға н м атер и ал мен ж а ң а м атер и ал д ы
оқыту арасындағы байланысты тағайы ндауда аналогияны
пайдалануға мысалдар ңарасты райы қ. М ысалы, ш арды ң 
(сфераның) диам етрі үғы м ы н енгізуді бы лай ж ү р гізу ге 
болады: м ектеп тің п лан и м етри я курсы н да д өң гелек тің
(шеңбердің) диаметрі, дөңгелек шеңберінің (шеңбердің) кез 
келген екі нүктесін ңосатын хордаларды ң (кесінділердің) 
ең үлкені ретінде аны ңталады , стереометрияда ш арды ң 
(сфераның) диаметрі дәл сол сияңты аны қталады .
М ектеп м атем атика курсы нда екі түзудің параллель- 
дігінің аны ңтам асы нан аналогияны пайдаланы п, ж азы қ-
81

ты қтарды ң п араллельдігі немесе түзу мен ж азы қ ты қ ты ң
параллельдігін ің ан ы қтам алары түж ы ры м далады .
А налогияны ғы лы м да ж әне оңыту процесінде дәлелдеу- 
лер ж ү р гізу д ің эвр и с ти к а л ы қ тәсіл і ретінде ған а емес, 
дәлелдеу әдісі ретінде де ңолдану аз кездеспейді. М ысалы, 
Е вклид П ифагор теоремасын дәлелдеу үш ін тікбүры ш ты
үш б ү р ы ш ты ң қ аб ы р ғал ар ы н а тү р ғы зы л ған квад р аттар
ж әне сол қабы рғаларға түрғы зы лған тікбүры ш ты үшбү- 
ры ш тар арасы ндағы аналогияны пайдаланған.
А налогия ж а ң а білімдерді игеруде ж әне оларды прак- 
т и к а д а ң о л д ан у б ар ы сы н д а п а й д а л а н ы л а д ы . М ы салы , 
бір есепті ш ы ғару ж олы н іздестіру үш ін берілген есепке 
үқсас есептер ңарасты ры лады . Бүл үқсас есеп оңай немесе 
ш ы ғару ж олы бүры ннан белгілі болуы тиіс.
М атем атиканы оқы ту кезінде оқуш ы лар аналогияны
дүрыс пайдаланбау нәтижесінде көптеген ңателер жібереді. 
Мысалы, шеңберге іштей сызылған тік бүрыштың диаметр- 
ге тірелетінінен аналогияны гіайдаланып, сфераға іш тей 
сызылған тікбүрышты үш жаңты бүрыш әр уақытта сфераның 
үлкен дөңгелегіне тіреледі деп қорытынды шығарады. Кез 
келген үш бүры ш ты ң биіктіктері бір нүктеде қиылы сады, 
бірақ ол кез келген тетраэдр үш ін дүрыс бола бермейді. 
Бүл қателіктердің негізгі себебі, оқуш ылар бір объектінің 
ңасиеттерін екінш і бір объектіге көшіру кезінде ол қасиет- 
тердің бір-бірінен айы рм аш ы лы гы на көңіл аудармайды. 
Мәселен, М >0, N >0 болгандагы 1о£а(М*ЛГ) = 1о§аМ  + Іо^іУ 
ф орм уласы нан ан ал о ги ян ы п ай далан ы п , м ы надай қате 
формула жазады:
і о қ / м + і у ; = іо ё ам  + іо£алг.
1 -к ес те д е ү қ с а с т ы қ т ы (а н а л о г и я н ы ) п а й д а л а н ы п
оңуш ы ларды ң ж и і ж іберетін қателері келтірілген ”.

жүктеу/скачать 5.94 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: