Методические разработки для управляемой самостоятельной работы по астрономии Минск 2011 Тема №1 История астрономии Вопросы программы: Астрономия как наука и учебный предмет

Эфемериды небесных тел

Вычисление положения планеты на орбите для момента t проводится в следующей последовательности:

1) По формуле (5), в которой известны Т и (t - t₀), определяют среднюю аномалию.

2) По формуле (4), при известных е и М, методом последовательных приближений находят эксцентрическую аномалию Е;

3) По формулам (2) и (3) вычисляют радиус-вектор и истинную аномалию.

Определив положение планеты на орбите для заданных моментов времени, можно вычислить для этих же моментов её пространственные гелиоцентрические координаты. Зная элементы орбиты Земли и вычислив для тех же моментов положение Земли на её орбите, можно определить геоцентрические координаты планеты и найти её расстояние от центра Земли.

Искусственные спутники Земли подчиняются тем же законам, что и естественные, но их орбиты имеют некоторые особенности.

ИСЗ выводятся на орбиту с помощью многоступенчатых ракет. Последняя ступень ракеты сообщает спутнику определённую скорость на заданной высоте h от поверхности Земли. Тело станет ИСЗ, если его скорость будет достаточной.

Если скорость запуска точно равна круговой скорости на данной высоте h, то тело будет двигаться по круговой орбите. Если скорость превышает круговую, то тело будет двигаться по эллипсу, причём перигей эллипса окажется в точке выхода на орбиту.

Масса спутника очень мала по сравнению с массой Земли.

Круговая скорость спутника на расстоянии r = R + h:

где m - масса Земли, R- её радиус.

У воображаемого спутника, движущегося по окружности у самой поверхности Земли (h = 0), при R = 6,378^.10⁸ см. скорость должна быть равна v_1k = 7, 91 км/с. Это первая космическая скорость относительно Земли.

Из-за наличия у Земли атмосферы, спутник, движущийся у самой поверхности, реально существовать не может. Поэтому запуск ИСЗ производится на некоторой высоте h >150 км. Круговая скорость на высоте h меньше 1-й космической и определяется по формуле:

Обычно запуск ИСЗ производится перпендикулярно к радиальному направлению.

Эллиптическая орбита ИСЗ. Эксцентриситет при горизонтальном запуске:

,

где q - расстояние перигея (ближайшей точки орбиты от центра Земли). Расстояние апогея:

Q = a(1 + e) = R + h_A,

h_A - высота апогея над земной поверхностью.

Период обращения спутника вычисляется по третьему закону Кеплера:

.
При R = 6370 км и g = 981 см/с² получим Т = 1,659^.10^-4а^3/2 (мин).

Зависимость формы орбиты ИСЗ от начальной скорости, с которой он выведен на орбиту показана на рисунке. Если в точке m спутнику сообщена горизонтальная скорость, равная круговой для этого расстояния от центра Земли, то он будет двигаться по круговой орбите. Если начальная скорость в точке m меньше круговой, то спутник будет двигаться по эллипсу, а при очень малой скорости по эллипсу, сильно вытянутому и пересекающему поверхность Земли. Выпущенный спутник упадёт на поверхность Земли, не совершив и одного оборота. Если скорость в точке m больше соответствующей круговой, но меньше параболической, то спутник будет двигаться по эллипсу.

О
Зависимость формы орбиты спутника от скорости
сновные причины, изменяющие эллиптическую орбиту спутника: экваториальное утолщение Земли и влияние сопротивления Земли. Вторая причина вызывает изменение высоты спутника и изменение формы орбиты. Основное сопротивление и уменьшение скорости спутника происходит вблизи перигея. Высота апогея спутника с каждым оборотом заметно уменьшается. Уменьшается большая полуось и орбита округляется. Когда высота апогея становится сравнимой с высотой перигея, спутник испытывает торможение, теряет свою скорость вдоль всей орбиты. Спутник приближается по спирали к поверхности Земли, входит в плотные слои атмосферы и сгорает.

Траектория космического аппарата состоит из двух основных участков - активного и пассивного. Движение на активном участке определяется тягой реактивных двигателей и притяжением Земли. Пассивный участок начинается с момента выключения двигателя последней ступени. На пассивном участке космический аппарат движется под действие притяжения Земли и других тел Солнечной системы. Для того, чтобы космический аппарат преодолел притяжение Земли и ушёл в космическое пространство, необходимо в начале пассивного участка сообщить ему скорость, равную или большую скорости

где h - высота начальной точки пассивного участка.

У поверхности Земли h = 0 и v_2k = v_1k2 = 11,2 км/с. Это вторая космическая скорость относительно Земли. Скорость космического аппарата в любой точке на пассивном участке (без учёта возмущений) определяется по формуле:

.

Для того, чтобы космический аппарат, преодолев притяжение Земли и войдя в сферу действия Солнца, не упал на его поверхность, он должен иметь в этот момент скорость относительно Солнца, отличную от нуля. Скорость, при которой запущенный с Земли космический аппарат может уйти за пределы Солнечной системы, сильно зависит от направления выхода аппарата из сферы действия Земли по отношению к направлению орбитального движения Земли и лежит в пределах 16,6 км/с 0< 72,8 км/с. Минимальная скорость v_3k = 16,6 км/с называется третьей космической скоростью относительно Земли.

Определение движения трёх тел, взаимно притягивающих друг друга с силой, обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними, называется задачей трёх тел.

Эта задача очень сложна и её математическое решение трудно. В 1912 году финский математик К. Зундман нашёл формальное решение этой задачи. Он выразил результат в виде степенных рядов. Однако, для расчётов солнечных затмений в рядах Зундмана нужно удерживать число членов, равное примерно единице с 40 нулями.

Лагранж в 1772 году доказал, что существует определённое количество частных случаев в этой задаче, для которых может быть найдено точное решение. Если заданы массы тел и их положение на плоскости, то рассматриваемые частные случаи движения в этой плоскости получаются при рассмотрении третьего тела в одной из пяти точек, называемых точками либрации или точками Лагранжа.

Первые три точки либрации располагаются в определённых точках прямой, соединяющей обе заданные массы, причём одна между ними, а две другие - вне их. Четвёртая и пятая точки являются вершинами двух равносторонних треугольников, в которых остальные вершины заняты заданными массами.

Л
Точки либрации

1. Если тела находятся на одной прямой, то они обращаются, оставаясь на ней, вокруг общего центра масс.

2. Если три тела расположены в вершинах равностороннего треугольника, то они обращаются вокруг общего центра масс так, что треугольник остаётся всё время равносторонним.

В начале ХХ века были открыты две группы астероидов, движение которых соответствует второму решению Лагранжа. В 1907 году был открыт 588 Ахиллес, позднее ещё восемь “греков”, движущихся по соседству с Ахиллесом. Пять “троянцев” движутся с другой стороны. Эти астероиды находятся в точках либрации системы Солнце - Юпитер.

В системе Земля-Луна тоже существуют точки либрации. В 1961 году польский астроном К. Кордылевский наблюдал облакообразные скопления в треугольных точках системы Земля-Луна.

Точки либрации могут быть устойчивыми, лишь когда отношение масс больших тел достаточно мало. Прямолинейные точки неустойчивы. Достаточно малой возмущающей силы, чтобы либроид удалился из окрестности данной точки. Треугольные точки будут устойчивыми почти для всех достаточно малых отношений масс. Неустойчивость может быть только в двух случаях, когда отношение масс равно одному из двух чисел – 0,0137 и 0,0249. Точки либрации активно используются в космонавтике.

1. 
   Что такое элементы орбиты?
   
2. 
   Что такое наклонение орбиты?
   
3. 
   Что такое долгота восходящего узла?
   
4. 
   Что такое эксцентриситет орбиты?
   
5. 
   Что такое перигей и апогей орбиты?
   
6. 
   Что такое истинная аномалия?
   
7. 
   Что называют эфемеридами небесных тел?
   
8. 
   Как можно найти элементы орбиты небесного тела по нескольким наблюдениям?
   
9. 
   Для чего рассчитывают эфемериды?
   
10. 
    Как зависит форма орбиты спутника от начальной скорости?
    
11. 
    Что такое первая, вторая и третья космические скорости?
    
12. 
    От чего зависит изменение орбиты спутника при движении вокруг Земли?
    
13. 
    Что такое задача трех тел?
    
14. 
    Какие трудности встречаются при решении задачи трех тел?
    
15. 
    Кто решил ограниченную задачу трех тел?
    
16. 
    Какие есть решения ограниченной задачи трех тел?
    
17. 
    Что такое точки либрации?
    
18. 
    Что явилось подтверждением истинности решений Лагранжа?
    
19. 
    Как используются точки либрации?
    

1. Найдите перигелийное и афелийное расстояния малой планеты Белоруссия, если ее большая полуось и эксцентриситет орбиты соответственно равны 2,405 а.е. и 0,181. На какое минимальное расстояние она приближается к Земле?

1. Астрономический календарь. Постоянная часть. М. Наука. 1981.

2. Кононович Э.В., Мороз В.И. Курс общей астрономии. М., Эдиториал УРСС, 2004.

3. Галузо И.В., Голубев В.А., Шимбалев А.А. Планирование и методика проведения уроков. Астрономия в 11 классе. Минск. Аверсэв. 2003.

4. Шимбалев А.А. Планеты Солнечной системы. Мн. БГПУ., 2009.

Тема №4
Влияние масс небесных тел на их движение. Солнечные и лунные затмения

Методы определения масс небесных тел.

Приливы и отливы.

Прецессия и нутация земной оси.

Понятие о задаче n-тел.

Открытие новых планет.