применение дискриминирующей функции в задаче оценивания порядка двоичной марковской цепи

применение дискриминирующей функции в задаче оценивания порядка двоичной марковской цепи

Дискретные марковские модели, марковские цепи – это общий вид моделей для временных рядов. Как и для любой модели сигнала, важнейшей задачей здесь является оценивание их параметров. В первую очередь подлежит оценке порядок марковской цепи, который является ее самым важным параметром. На его основе строится сама модель, и определяются другие параметры.

В данной работе для оценки порядка двоичной марковской цепи предлагается использовать дискриминирующую функцию для биномиального распределения [1].

Введем обозначения:

где каждый отсчет случайного процесса x_l принимает значения из конечного множества A = {a_j|j = 0, 1}. Тогда стационарную дискретную марковскую модель порядка M можно задать набором переходных вероятностей:

где n – длина выборки.

Метод заключается в использовании дискриминирующей функции для обнаружения различий в статистических свойствах марковских моделей, построенных на заданной выборке исследуемого процесса.

По заданной выборке последовательно строятся модели порядка k от 1 до k*, где k*   некое число, заведомо превышающее значение порядка M марковского процесса, из которого получена анализируемая выборка. Полученные модели описываются распределением переходных вероятностей размерности 2^k+1. Между соответствующими переходными вероятностями моделей соседних порядков рассчитывалось значение дискриминирующей функции по формуле

где

Значения m₁, n₁, m₂, n₂ рассчитываются следующим образом:

и представляют собой число повторений в анализируемой выборке соответствующих комбинаций бит

В качестве критерия для оценки порядка марковского процесса предлагается использовать среднее значение дискриминирующей функции, посчитанное между моделями соседних порядков. Рисунок 1 иллюстрирует поведение предложенного критерия в зависимости от порядка модели (M=3, длина выборки 100000 бит).

Видно, что при k ≥ M среднее значение дискриминирующей функции становится меньше, чем при k < M. Также на рис. 1 показан порог, по пересечению с которым проводится оценивание марковского порядка.

На рис. 2 приведены результаты компьютерного моделирования. По вертикальной оси отложена вероятность правильного определения марковского порядка, по горизонтальной оси – длина анализируемой выборки. Зависимости построены для процесса второго порядка, усреднение проводилось по 200 выборкам. Из анализа зависимостей видно, что в данных условиях предложенный метод ведёт себя не хуже, чем метод, основанный на информационном критерии Байеса (BIC) [2], и лучше, чем метод, основанный на информационном критерии Акаике (AIC) [3].

1. 
   Бурланков Д. Е., Коньков Е. А.// Труды РНТОРЭС им. А.С. Попова. Серия: Цифровая обработка сигналов и ее применение. Вып. IX-2. М.: РНТОРЭС, 2006. С.449.
   
2. 
   Csizár I., Shields P. // Ann. Statistics. 2000. V.28, No.6. P.1601.
   
3. 
   Tong H. //J. Appl. Prob. 1975. V.12, No.3. P.488.
   

Метод оценивания параметров двоичной марковской модели переменного порядка

Е.А. Коньков

Нижегородский госуниверситет

Марковская модель переменного порядка является обобщением традиционной марковской модели конечного порядка k (см. выражение (1)) и отличается тем, что при таком же эквивалентном марковском порядке k может иметь существенно меньшее количество параметров [1]. Это связано с тем, что в отличие от марковской модели конечного порядка

(1)

глубина статистической зависимости не постоянна, а зависит от контекста:

. (2)

Оценивание параметров марковской модели переменного порядка заключается в оценивании по имеющемуся набору данных контекстной функции c(·) в (2) и традиционном частотном оценивании переходных вероятностей [1, 2].

В данной работе предлагается использовать для оценивания контекстной функции c(·) двоичной марковской модели переменного порядка итерационный алгоритм обрезки листьев контекстного дерева, в котором на каждом шаге решение об обрезке каждого листа принимается на основе сравнения дискриминирующей функции

(3)

с заданным порогом K [3]. В формуле (3) ‹μ₁› и ‹μ₂› – оценки параметров биномиального распределения, а Dμ₁ и Dμ₂ – дисперсии этих оценок, вычисленные по количествам соответствующих комбинаций нулей и единиц.

Д

Рис. 1

На рис. 2 приведены результаты компьютерного моделирования.

П

Рис. 2
о вертикальной оси отложено среднее значение отрицательного логарифма правдоподобия (NELL), по горизонтальной оси – значение порога K, которое использовалось при оценивании параметров модели. Точками обозначена экспериментальная зависимость отрицательного логарифма правдоподобия от параметра K. Видно, что зависимость имеет слабо выраженный минимум при K=0.8. Это оптимальное значение параметра для данных условий. Горизонтальная линия на рис. 2 – значение отрицательного логарифма правдоподобия для исходных сигналов при оптимальном значении K.

Поведение зависимости на рис. 2 в целом аналогично поведению таких же зависимостей в [1] с тем отличием, что область допустимых значений параметра K в предложенном методе ограничена интервалом (0, 1).

1. 
   Buhlmann P., Wyner A.J. // Ann. Statistics. 1999. V. 27, No.2. P.480.
   
2. 
   Dalevi D., Dubhashi D., Hermansson M. // Stat. Appl. Genetics Molecular Biol. 2006. V.5, No.1.
   
3. 
   Бурланков Д.Е., Коньков Е.А.// Труды РНТОРЭС им. А.С. Попова. Серия: Цифровая обработка сигналов и ее применение. Вып. IX-2. М.: РНТОРЭС, 2006. С.449.
   

ПРИМЕНЕНИЕ МОДИФИЦИРОВАННОГО ПОДХОДА КЕЙПОНА
В ЗАДАЧЕ ДЕМОДУЛЯЦИИ ЧМ-СИГНАЛОВ

Задача цифровой фильтрации возникает во многих областях науки и техники, в том числе связанных с приемом и анализом сигналов с различными видами модуляции (манипуляции). В задаче демодуляции частотно-манипулированных (ЧМ) сигналов фильтрация может быть использована для изменения представления обрабатываемого сигнала к виду, удобному для проведения декодирования переданной информационной последовательности. Для ЧМ-сигналов задача может быть сформулирована следующим образом: необходимо провести фильтрацию гармонического заполнения принятого сигнала таким образом, чтобы каждой из частот ЧМ-сигнала соответствовал некоторый постоянный уровень. В этом случае задача декодирования решается пороговым методом на основе критерия максимального правдоподобия.

Традиционные подходы к решению данной задачи основаны на использовании согласованных фильтров, что (особенно в условиях неизвестного сдвига спектра сигнала, вызванного, например, влиянием эффекта Доплера) предполагает использование схем автоподстройки частоты, что, с одной стороны, усложняет аппаратную реализацию, с другой – не позволяет обрабатывать короткие информационные сигналы. Применение полосовых фильтров, настроенных на каждую из частот ЧМ-сигнала, частично устраняет отмеченные проблемы, однако не является оптимальным с точки зрения обработки гармонических сигналов.

С другой стороны, могут быть предложены методы, основанные на модификации существующих подходов [1, 2] к синтезу фильтров, позволяющие учесть имеющуюся информацию об обрабатываемом сигнале и избежать использования схем автоподстройки частоты. Одним из таких подходов, применение которого оправдано для решения подобных задач [1, 2], является подход минимальной дисперсии Кейпона.

При обработке сигнала, в спектре которого могут быть выделены две частотные компоненты, подход Кейпона может быть модифицирован следующим образом. Необходимо найти такой вектор коэффициентов, который бы минимизировал дисперсию на выходе линейного фильтра при заданных коэффициентах пропускания b₁, b₂ на частотах f₁, f₂. Математически данная задача может быть сформулирована в следующем виде:

(1)

где c – вектор коэффициентов, e – вектор экспонент, R – автокорреляционная матрица сигнала, содержащего две синусоиды с частотами f₁, f₂.

Выполнение поставленных ограничений соответствует задаче обработки сигнала так называемого частотного телеграфа (ЧТ). Целью обработки является изменение формы представления сигнала, т.е. переход от его исходного вида к представлению, удобному для последующего анализа. В частности, по отклику фильтра могут быть произведены оценки параметров сигнала, выделение модулирующей последовательности или произведено обнаружение известного сигнала на фоне других сигналов и аддитивных шумов в условиях неизвестного сдвига спектра сигнала [3].

Система (1) допускает аналитическое решение на основе составления функционала Лагранжа. При этом предполагается, что АКМ сигнала невырождена и решение единственно, а порядок фильтра определяется количеством спектральных составляющих сигнала. При увеличении порядка фильтра вырождение АКМ приводит к существованию бесконечного множества решений, что позволяет выбрать из них одно, отвечающее некоторому критерию, который согласно общему математическому подходу должен быть выбран в виде функционала, оптимуму которого соответствует решение с требуемыми свойствами. Традиционным подходом в данном случае является замена обратной матрицы на псевдодобратную, что приводит к решению минимума нормы. Вместе с тем в задаче синтеза иноформационно-оптимального фильтра с ограниченным количеством коэффициентов в условиях недостатка информации может быть обосновано применение функционала энтропии Берга [4], выпуклость которого гарантирует единственность решения при линейных ограничениях.

Проведенные исследования устойчивости работы предлагаемого подхода по отношению к аддитивным шумам дают основания для применения описанного метода в задаче демодуляции ЧМ-сигналов в условиях неточного знания несущей частоты.

1. 
   Логинов А.А., Морозов О.А., Солдатов Е.А., Фидельман В.Р. // Автометрия. 2006. Т.42, №4. С.91.
   
2. 
   Li J., Stoica P., Wang Z. // IEEE Trans. Signal Process. 2003. V.51, No.7. P.1702.
   
3. 
   Логинов А.А. // Сб. трудов Девятой международной конференции «Цифровая обработка сигналов и ее применение». Т.1. М., 2007.
   
4. 
   Джейнс Э.Т. // ТИИЭР. 1982. Т.70, № 9. С.33.
   

Модифицированный МЕТОД ФУНКЦИИ НЕОПРЕДЕЛЕнности
в задаче определения временных задержек сигналов
в сильных шумах

Задача определения параметров многоканального распространения сигналов, таких как временной и частотный сдвиги, возникает во многих областях современной техники. Как правило, в приложениях, где исследование среды распространения сигналов является единственной задачей разрабатываемой системы, используются специальные виды сигналов и кодовых последовательностей, обладающих определенными корреляционными свойствами, и специальные методы их обработки, приводящие к сжатию информации и повышению отношения сигнал/шум. При обработке сигналов систем радиосвязи такая возможность, как правило, отсутствует. В условиях приема и исследования сигналов, специфических для систем связи, в частности – короткой длительности и с относительно узкой полосой частот на фоне шумов высокого уровня, разработка алгоритмов определения параметров многоканального распространения является актуальной задачей.

В условиях возможного изменения параметров исследуемого сигнала, в частности частоты заполнения, надежный алгоритм обнаружения может быть реализован на основе методов компенсации смещения спектра сигнала, например на основе анализа функции неопределенности [1] или методов обобщенной корреляции.

Задача формулируется следующим образом: для двух сигналов v₁ (t) и v₂ (t) необходимо определить временную задержку τ₀ и частотный сдвиг Δf₀. Применительно к данной задаче традиционно используемая функция неопределенности может быть записана следующим образом:

где обозначает операцию преобразования Фурье.

В работе предлагается модификация метода определения временного и частотного сдвига сигналов на основе использования нелинейного спектрального оценивания методом максимальной энтропии с явным получением множителей Лагранжа.

В основе алгоритма построения функции неопределенности лежит спектральное преобразование. Наиболее известные подходы к получению оценок спектральной плотности мощности (СПМ) связаны с применением преобразования Фурье. Существенным их недостатком является вытекающая из принципа неопределенности несовместность требований состоятельной оценки СПМ и высокой разрешающей способности. Использование традиционных линейных алгоритмов спектрального оценивания на основе быстрого преобразования Фурье (БПФ) является наиболее простым для технической реализации, но накладывает ограничения на эффективность обнаружения в случае работы с короткими выборками сигналов, которые часто используются в современных системах цифровой радиосвязи и радиолокации.

Эти ограничения могут быть ослаблены путем использования нелинейного метода максимальной энтропии (МЭ). С математической точки зрения метод МЭ сводится к оптимизации функционала информационной энтропии в форме Берга или Шеннона с ограничениями в виде учтенных посредством лагранжевых множителей априорных данных, в данном случае – корреляционных ограничений:

,

где P(f) – спектральная плотность мощности, λ – вектор неопределенных множителей Лагранжа λ_k, M – длина автокорреляционной последовательности, e_n (f)=exp(2πinf). Далее решается вариационная задача и ее результат подставляется в корреляционные ограничения, решение получаемой системы нелинейных уравнений сводится к медленно сходящейся процедуре многомерной оптимизации.

В работе предлагается использовать метод МЭ с определением множителей Лагранжа в явном виде [2]. Данный метод позволяет свести количество операций к фиксированному значению и получить повышенное спектральное разрешение на коротких выборках данных.

Решение вариационной задачи метода МЭ можно переписать в матричном виде следующим образом:

где p – вектор-столбец значений спектральной оценки, λ – вектор-столбец неопределенных множителей Лагранжа, E – матрица комплексных экспонент с элементами E_nk. Корреляционные ограничения можно записать в следующем виде:

где r – вектор-столбец отсчетов автокорреляционной последовательности. Отсюда можно получить с помощью несложных преобразований:

поскольку E – матрица комплексных экспонент и для нее обращение можно заменить на эрмитово сопряжение.

Численное моделирование предложенного алгоритма и сравнение результатов определения временного сдвига показали, что использование метода МЭ с явным вычислением множителей Лагранжа позволяет повысить эффективность при обработке коротких выборок сигналов, характеризуемых отношением сигнал/шум хуже -6 дБ при сравнимых вычислительных затратах.

1. 
   Макс Ж. Методы и техника обработки сигналов при физических измерениях. Т. 2. М.: Мир, 1983. С.199.
   
2. 
   Аратский Д.Б., Морозов О.А., Солдатов Е.А., Фидельман В.Р. // Радиоэлектроника. 1992, №11. С.45.
   

АНАЛИЗ ВОЗМОЖНОСТИ ПРИМЕНЕНИЯ СИСТЕМЫ ПРЯМОГО ЦИФРОВОГО СИНТЕЗА В УСТРОЙСТВЕ ИЗМЕРЕНИЯ УРОВНЯ ФАЗОВЫХ ШУМОВ

А.Б. Дюкин

Нижегородский госуниверситет

Цифровые синтезаторы частоты прямого синтеза отличаются высокой степенью точности воспроизведения требуемой частоты, низким показателем уровня шума и возможностью скачкообразной перестройки частоты при непрерывной фазе сигнала, что делает их более привлекательными по сравнению с другими типами синтезаторов [1].

Данная работа посвящена анализу возможности применения системы прямого цифрового синтеза (ПЦС) в устройстве измерения уровня фазовых шумов. Для этого необходимо определить величину вклада, вносимого конечной разрядностью аккумулятора системы ПЦС в стабильность частоты исследуемого сигнала. В качестве критерия стабильности используется величина вариации Аллана сигнала.

Оценку дисперсии Аллана для последовательности отсчетов можно произвести исходя из формулы:

, (1)

где величина , называемая нормированной частотой, определяется как

. (2)

На основании оценок нестабильности частоты системы ПЦС можно сделать вывод, что лучшее соотношение разрядности блоков системы ПЦС и обеспечения высокого уровня стабильности сигнала дает схема цифрового синтезатора включающая в себя:

• 
  16-разрядный блок квантования фазы;
  
• 
  5-разрядный генератор псевдослучайной последовательности;
  
• 
  каскад из 4-х оптимальных фильтров.
  

Предполагается использовать полученные результаты при разработке устройства измерения уровня фазовых шумов. Измерительная система должна обеспечивать минимальный уровень вносимых ею собственных шумов.

Для оценки спектра сигнала в достаточно узкой полосе удобно осуществлять перенос спектра в область низких частот с дальнейшим применением НЧ-фильтрации и децимации.

Опорным в схеме гетеродина является сигнал синтезатора прямого синтеза (рис. 1).


Белый фазовый шум
(некорр.)

Рис. 1

Для подавления шумов опорного сигнала ПЦС предлагается ввести второй канал преобразования и использовать кросскорреляционную оценку спектра, в которой в силу некоррелированности шумы будут в значительной степени подавляться. Защиту от наложения спектров при децимации обеспечивает каскад оптимальных фильтров, включенных последовательно с гетеродином. После фильтрации используется периодограммная оценка с взвешиванием окном Хемминга.

Применение кросскорреляционной обработки позволяет добиться снижения некоррелированной шумовой составляющей в спектре на 10…15 дБ.

Рис. 2

На рис. 2 показан промоделированный вид спектра выходного сигнала измерительной системы, полученного при подаче на вход синусоиды с нулевым уровнем фазового шума. Шум генераторов, тактирующих синтезаторы прямого синтеза, полагался равным -80 дБ.

Основными результатами можно считать:

• 
  определение влияния разрядности синтезатора прямого синтеза на стабильность выходного сигнала;
  
• 
  разработку схемы устройства измерения уровня фазовых шумов с использованием синтезатора прямого синтеза.
  

1. 
   Brandon D. DDS Design. Analog Devices – EDN, 2004. P.71.
   

жүктеу/скачать 1.65 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: