II. Метод Кокса – Росса – Рубинштейна (биномиальная модель)

Ш. Натенберг. «Опционы: Волатильность и оценка стоимости. Стратегии и методы опционной торговли»
449
ней стоимости, если цена базового контракта выше цены исполнения, и равна нулю, если цена
базового контракта ниже цены исполнения. Ожидаемая доходность равна:
0,5 × (105 – 100) + 0 = 2,50.
Аналогично рассчитывается стоимость 90 колла:
0,5 × (105 – 90) + 0,5 × (95 – 90) = 10.
Этот подход можно сделать более общим, разделив время для экспирации на множество
коротких периодов и предположив, что в каждом периоде цена базового контракта обязательно
повысится на u или понизится на d. В результате мы получаем биномиальное дерево с мно-
жеством возможных цен базового контракта при экспирации. Биномиальное дерево в случае
трех периодов показано на илл. B.1.
Если предположить, что на каждой ветви биномиального дерева вероятность повышения
цены р равна вероятности ее понижения, то нам нужно просто рассчитать вероятность того, что
при экспирации цена примет то или иное значение. Ожидаемый доход от опциона – это сумма
разниц между каждым из таких значений, при котором опцион находится в деньгах, и ценой
базового контракта, умноженных на вероятность такого значения. Значения цены базового
контракта, при которых опцион оказывается вне денег, не учитываются.
Чтобы построить биномиальное дерево, примерно соответствующее логнормальному
распределению, можно определить следующее:
где n – количество периодов до экспирации;
v
– годовая волатильность базового контракта;

Ш. Натенберг. «Опционы: Волатильность и оценка стоимости. Стратегии и методы опционной торговли»
450
t
– время до экспирации в годах.
При очень больших значениях n терминальные цены биномиального дерева, относящи-
еся к моменту экспирации, распределяются логнормально.
Вероятность р повышательного движения определяется требованием безарбитражности
базового рынка, т. е. отсутствия прибыли от торговли базовым контрактом. Если, как в слу-
чае фьючерсных контрактов, проценты учитывать не нужно, мы гарантируем условие безар-
битражности базового фьючерсного рынка, определив вероятность повышательного движения
р
следующим образом:
p
= (1 – d) / (u – d).
На свободном от арбитража рынке акций цена акции должна в каждом периоде увели-
чиваться на сумму затрат на поддержание позиции. Если r – это безрисковая ставка, то rr –
ставка, на которую цена акций должна увеличиваться за каждый следующий период, равна:
rr
= 1 + rt / n.
Сделать рынок базовых акций безарбитражным мы можем, определив вероятность р сле-
дующим образом:
p
= (rr – d) / (u – d).
Наконец, мы должны дисконтировать ожидаемый доход от опциона по затратам на под-
держание позиции за весь срок действия опциона, умножив ожидаемый доход на 1 / (rr)
n
.
Базовые формулы модели Кокса – Росса – Рубинштейна выглядят следующим образом:
Чтобы использовать модель Кокса – Росса – Рубинштейна для оценки американского
опциона, нужно выяснить, имеет ли этот опцион в начале каждого периода стоимость, оправ-
дывающую его досрочное исполнение. Например, в нашем примере с двумя периодами и теку-
щей ценой базового контракта, равной 100, мы видели, что ожидаемый доход от 90 колла рав-
нялся 10. Если бы опцион был расчетным, то его теоретическая стоимость равнялась бы 10
минус затраты на поддержание позиции за период владения. Если бы эти затраты составляли
0,25, то теоретическая стоимость опциона равнялась 9,75. Однако, будь этот опцион амери-
канским, все трейдеры исполнили бы его, чтобы сразу получить 10 пунктов прибыли. Иными
словами, для американского опциона нам следовало бы принять теоретическую стоимость рав-
ной 10.
Если мы определим U(i, j) как j-ю базовую цену в конце i-го периода времени (илл. B.2),
а C(i, j) или Р(i, j) – как стоимость колла или пута при каждой U(i, j), то нам нужно будет
выяснить, является ли каждая C(i, j) меньше, чем U(i, j) – E, если мы оцениваем американский
колл, или каждая Р(i, j) меньше, чем E – U(i, j), если мы оцениваем американский пут. Если да,
то опцион становится кандидатом на досрочное исполнение, а мы принимаем стоимость C(i, j)
равной U(i, j) – E, или стоимость Р(i, j) равной Е – U(i, j).

Ш. Натенберг. «Опционы: Волатильность и оценка стоимости. Стратегии и методы опционной торговли»
451
Рассчитаем сначала каждую конечную стоимость базового контракта U(n, j) при j = 0,
…, n. По этим значениям можно определить стоимо сть опциона в каждом предыдущем узле,
С
(n – 1, j) или Р(n – 1, j), при j = 0,…, n – 1. Если С(n – 1, j) окажется меньше U(n – 1, j) – E,
или если Р(n – 1, j) окажется меньше Е – U(n – 1, j), то мы примем стоимость опциона равной
паритету и продолжим итеративную процедуру. Мы будем двигаться назад к С (0, 0) или Р(0,
0) (текущей стоимости колла или пута), устанавливая стоимость в каждом узле U(i, j) равной
mах для колла или max для пута:
Поскольку дельта опциона – это изменение его стоимости, деленное на изменение цены
базового контракта, биномиальный метод позволяет рассчитать и дельты колла и пута:

Ш. Натенберг. «Опционы: Волатильность и оценка стоимости. Стратегии и методы опционной торговли»
452
Чем больше n мы выберем, тем точнее будет рассчитанная этим методом стоимость
опциона. К сожалению, с ростом n количество вычислений, требуемых для оценки американ-
ского опциона, возрастает в геометрической прогрессии. Большинство пользующихся методом
Кокса – Росса – Рубинштейна трейдеров выбирают n между 25 и 50, что обеспечивает разум-
ный компромисс между точностью и затратами компьютерного времени.

жүктеу/скачать 5.55 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: