– функциональные ряды, fn(x), f(x) – функции от , где D – область сходимости ряда.
Примеры функциональных рядов:
1) – степенной ряд
2) – тригонометрический ряд Фурье
Равномерная сходимость функциональной последовательности и функционального ряда.
Определение (равномерной последовательности на множестве E? D функциональной последовательности):
Пример:
Критерий Коши:
Определение равномерной сходимости функционального ряда на множестве E:
Критерий Коши:
.
Следствие. Если
Примеры:
1)
Признак равномерной сходимости.
1) Признак Вейерштрасса (мажорантный признак)
Пусть дан функциональный ряд и если – сходится, то функциональный ряд сходится равномерно на E.
Доказательство (по критерию Коши):
, так как и ![](127270_html_59250662.gif)
Примеры:
К ряду – признак Вейерштрасса неприменим.
2) Признак Абеля – Дирихле.
Пусть дан функциональный ряд , x?E? D.
![](127270_html_6dd44909.gif) Признак Абеля
Если:
bn(x) – монотонная по n последовательность при фиксированном x.
|
Признак Дирихле
Если:
по n монотонно, по равномерно
|
То ряд сходится равномерно на E. (без доказательства)
Примеры:
= f(x) = , x?(0; 2?) (без доказательства).
Теорема о непрерывности суммы функционального ряда.
Теорема: Пусть
Доказательство:
Докажем, что
Доказано.
Теорема об интегрировании функционального ряда.
Теорема:
Доказательство:
Теорема доказана.
Дифференцирование функциональных рядов
Теорема: Пусть fn(x) → f(x), x O(a),
fn’(x) C(O(a)),
Тогда f(x) D(O(a)) и f?’(x)=g(x), x O(a)
Доказательство (на основании теоремы об интегрировании функционального ряда):
fn’(t)=g(t), t [a,x] – непрерывная функция, так как ряд fn’(t) равномерно сходится на O(a). На основании теоремы об интегрировании функционального ряда этот ряд можно проинтегрировать почленно.
![](127270_html_m605d716b.gif)
Теорема доказана.
Степенные ряды
Степенными рядами называются ряды вида , где an, x0 –постоянные, x – переменная.
Мы будем рассматривать ряды с x0 = 0, т.е. ![](127270_html_m3ccd7c23.gif)
1 теорема Абеля. Пусть сходится при некотором x0. Тогда для любого ?h< ряд сходится равномерно на [-h;h]
Доказательство: Так как сходится, то , где M>0 – некоторая постоянная.
сходится по признаку Вейерштрасса
Следствие: 1) Область сходимости степенного ряда D может быть одним из следующих множеств:
D= , где R – радиус сходимости.
Любой степенной ряд сходится в точке x=0. В остальных случаях ряд сходится при всех , если R – радиус сходимости (точная верхняя грань множества x, для которых ряд сходится)-существует. Если точной верхней грани нет, то полагают - ряд сходится на всей числовой прямой.
Приведём примеры:
Чтобы найти радиус сходимости, можно воспользоваться признаками сходимости знакопостоянных рядов Даламбера, либо Коши.
Признак Даламбера:
Признак Коши: ![](127270_html_m1eeefd75.gif)
Примечание. Если ни один из указанных пределов не существует, то нужно положить радиус сходимости равным нижнему пределу (наименьшему частичному пределу) выражения для R.
Пример:
не существует, но =1 => => R = 1
2 теорема Абеля: Ряд сходится в точке x=x0 . Тогда ряд сходится равномерно на отрезке [0;x0] (или [x0;0] если x0<0).
Доказательство:
=> По признаку Абеля ![](127270_html_3baa1d3b.gif)
Следствия:
-
Непрерывность суммы степенного ряда
, D – область сходимости
2) Интегрирование суммы степенного ряда
, D – область сходимости
– радиус сходимости не меняется.
-
Дифференцирование суммы степенного ряда
, радиус сходимости при дифференцирование не меняется.
Ряды Тейлора
Применяя последовательно теорему о почленном дифференцировании степенного ряда, получим соотношение для n-го коэффициента ряда.
Пусть , R – радиус сходимости. Тогда
Доказательство:
- коэффициенты степенного ряда Тейлора
, т.е. ряд Тейлора для функции f(x) не всегда совпадает с самой функцией.
Пример:
=>
Теорема: Пусть
и ; тогда ![](127270_html_9db23d6.gif)
Доказательство: По формуле Тейлора с остатком в форме Лагранжа получим:
Теорема доказана.
-
Приведем разложения основных элементарных функций в ряд Тейлора.
1)
,
=> ![](127270_html_m109af1bc.gif)
![](127270_html_5ed913c2.gif)
![](127270_html_5f88dced.gif)
Проинтегрировав в пределах от 0 до x, получим:
![](127270_html_5f88dced.gif)
сходится при , в частности:
![](127270_html_5f88dced.gif)
![](127270_html_5f88dced.gif)
Тригонометрические ряды Фурье
, далее функция периодическая с периодом 2π.
Ряд Дирихле сходится при всех x.
π/2
π 2π
нечетная функция, an=0
(signx)
Достарыңызбен бөлісу: |