Күштердің берілген жүйесінің тепе-теңдікте болу кезіндегі жағдайы

Осыны дәлелдейік. Күштердің берілген кез келген жүйесі тепе-теңдікте болған жағдайда, (1.44) шарттары орын-дала ма екен, соны тексерейік. Қандай да бір центрге қатысты алынған жүйенің бас векторы нөлге тең болмаса, онда ол басқа центрде нөлге айналмайды. Өйткені ол жүйенің келтіру центрінің орнына тәуелді емес. Демек, тепе-теңдіктегі жүйе үшін бас вектор-дың нөлге тең болуы қажет. Ал болса, онда берілген күштер жүйесі қорытқы бір қос күшке келтіріледі. Бұл қос күш моменті жүйенің келтіру центрін өзгерткенмен өзгермейтін вектор. Олай болса жүйенің тепе-теңдікте болуы үшін болу керек. Сөйтіп, күштердің берілген жүйесі тепе-теңдікте болу үшін (1.44) шарттарының орындалуы қажет.

Енді (1.44)-шарттарының жүйе тепе-теңдігі үшін жеткілікті де екенін дәлелдейік. Ол үшін (1.44)-шарттары орындалды дейік. Онда жүйе тепе-теңдікте бола ма соны тексерейік. Егер болса, онда берілген күштер жүйесі моменті болатын бір қос күшке келген болар еді де тепе-теңдік болмас еді. Ал егер керісінше болса, онда күштер жүйесі бір теңәсерлі күшке келтірілген болар еді де, тағы да тепе-теңдік болмас еді. Ендеше екі вектордың екеуі де бірдей:

, (1.45)

болулары жүйенің тепе-теңдікте болуы үшін қажет және жеткілікті.

(1.44) теңдеулердегі бас вектордың және бас моменттің жүйедегі күштер арқылы берілген өрнектерін алсақ, онда ол теңдеулер мынадай түрге келеді:

(1.46)

(1.44) векторлық теңдеулері алты скалярлық теңдеулерге эквивалент болады:

Немесе (1.47) теңдеулерін берілген күштердің координаттар өстеріндегі проекциялары және олардың координаттар өстеріне қатысты моменттері арқылы жазайық:

(1.48) тепе-теңдік шарттарын сөзбен былай айтамыз. Күштердің кез келген жүйесі тепе-теңдікте болуы үшін, жүйедегі барлық күштердің әрбір координаттар өстеріндегі проекцияларының қосындылары нөлге тең болулары және барлық күштердің әрбір координаттар өстеріне қатысты алынған моменттерінің қосындылары нөлге тең болулары қажет және жеткілікті.