Построение разности двух множеств

8. Проверка двух множеств на равенство не требует особых пояснений:

9. Проверка двух множеств на включение (set1


Представление множеств битовыми массивами

В случае, если 65 000 элементов недостаточно для задания всех необходимых множеств (например, 10 множеств по 10 000 элементов в каждом), это число можно увеличить в 8 раз, перейдя от байтов к битам. Тогда 1 байт будет хранить информацию не об одном, а сразу о восьми элементах: единичный бит будет означать наличие элемента в множестве, а нулевой бит - отсутствие.

Задавая битовый массив, начнем нумерацию его компонент с 0:

Тогда результатом операции <номер_элемента> div 8 будет номер той компоненты массива, в которой содержится информация об этом элементе. А вот номер бита, в котором содержится информация об этом элементе, придется вычислять более сложным образом:

Эти вычисления потребуются нам еще не раз, поэтому запишем их снова, более строго, а затем будем использовать по умолчанию (element - это "номер" обрабатываемого элемента в нашем множестве):

Перечислим теперь действия, которые потребуются для реализации операций над множествами, заданными битовыми массивами.

1. Проверка множества на пустоту почти не будет отличаться от аналогичной проверки в случае представления множества не битовым, а обычным массивом.

2. Проверка элемента на принадлежность множеству потребует несколько большей изворотливости ведь нам теперь нужно вычленить соответствующий бит:

Поясним, что здесь используется операция "побитовое и", которая работает непосредственно с битами нужной нам компоненты массива и числа, состоящего из семи нулей и единицы на месте с номером bit.

3. Добавление элемента в множество теперь будет записано так:

Здесь нельзя использовать обычную операцию сложения (+), так как если добавляемый компонент уже содержится в множестве (то есть соответствующий бит уже имеет значение 1), то в результате сложения 1+1 получится 10: единица автоматически перенесется в старший бит, а на нужном месте окажется 0.

4. Удаление элемента из множества придется записать более сложным образом:

Операция not превратит все 0 в 1 и наоборот, следовательно, теперь в качестве второго операнда для побитового and будет фигурировать число, состоящее из семи единиц и нуля на месте с номером bit. Единицы сохранят любые значения тех битов, которые должны остаться без изменения, и лишь 0 "уничтожит" значение единственного нужного бита.

5. Пересечение множеств реализуется теперь при помощи операции "побитовое и":


6. Объединение множеств реализуется при помощи операции "побитовое или":

7. Разность двух множеств может быть построена так:

Поясним, что здесь мы вначале прибавляем содержимое второго множества к первому, чтобы затем быть полностью уверенными в правомерности операции вычитания.

8. Проверка двух множеств на равенство по-прежнему не требует особых пояснений:

9. Проверка двух множеств на включение (set1



Замечание. Если предстоит многократно выполнять действия с элементами битовых массивов, то используемые для этого значения "единиц" удобнее всего сразу задать в специальном массиве:


И далее вместо громоздкой конструкции shl(bit-1) можно использовать просто ed[bit].