Вектором называется направленный отрезок или упорядоченная пара точек. Начало вектора также называется точкой его приложения. Замечание. Упорядоченным множеством

1.5.1. Определение. Векторным пространством называется любое множество векторов, для элементов которого

а) определена операция сложения (т.е. для каждой пары векторов и определен третий вектор , являющийся их суммой: = +);

b) определена операция умножения вектора на действительное число (т.е. для каждого вектора и действительного числа определен вектор ;

c) эти операции обладают установленными в параграфе 1.2. Линейные операции над векторами свойствами:

1. Для любых векторов и (коммутативность);

2. Для любых векторов , и (ассоциативность);

3. Для любого вектора ;

4. Для любого вектора существует противоположный вектор такой, что

.

5. Для любого вектора (ассоциативность);

6. Для любого вектора (дистрибутивность относительно суммы скаляров);

7. Для любых векторов и (дистрибутивность относительно суммы векторов);

8. Для любого вектора ;
Примеры векторных пространств
V¹ – множество векторов, расположенных на прямой;

V² – множество векторов, расположенных на плоскости;

V³ – множество векторов, расположенных в пространстве.

1.5.2. Определение. Базисом векторного пространства назы7ается линейно независимая упорядоченная совокупность векторов такая, что любой вектор пространства является линейной комбинацией векторов этой системы.

Базисом пространства V² векторов, расположенных на плоскости, является любая пара некомпланарных векторов этого пространства. Размерность пространства V² равна 2.

Базисом пространства V³ векторов, расположенных в пространстве, является любая тройка некомпланарных векторов. Размерность пространства V³ равна 3.
1.5.4. Определение. Пусть - базис пространства V³. Представление геометрического вектора в виде линейной комбинации векторов базиса

называется разложением вектора по базису . Коэффициенты линейной комбинации называются координатами вектора в базисе .

От противного. Рассмотрим разложение некоторого вектора по произвольному базису не единственно:

Вычитая равенства, получим .

Из определения 1.5.2 вытекает линейная независимость векторов .
Следовательно, лишь тривиальная их линейная комбинация равна нулевому вектору, откуда , что и требовалось доказать.
Замечание.
Из доказанной теоремы следует, что координаты данного вектора в заданном базисе определяются однозначно.

1.5.6. Теорема. (Линейные операции с векторами в координатной форме).

1. Докажем первую часть теоремы, касающуюся сложения векторов.

Пусть разложения векторов и в базисе имеют вид:

; .

Тогда

2. Аналогично получим

§1.6. Скалярное произведение двух векторов.

1.6.1. Определение. Скалярным произведением векторов и называется действительное число, равное произведению длин векторов на косинус угла между ними.

Скалярное произведение векторов и обозначается или . Итак,

.

1.6.2. Теорема. (Свойства скалярного произведения двух векторов).

1. ;

2. (скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины);

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. если , то ;

8. если , то либо хотя бы один из векторов и равен нулю, либо и ортогональны.

Доказательство.
Первое и второе свойства непосредственно следуют из определения:

1. косинус – четная функция, поэтому неважно, как отсчитывается угол – от к или от к ;

2. .

3. Используем первое свойство ортогональной проекции (Теорема 1.3.3.1)

4. Используем предыдущее свойство 3 и второе свойство ортогональной проекции (Теорема 1.3.3.2):

.

5. Используем свойство 3 и третье свойство ортогональной проекции (Теорема 1.3.3.3):

Шестое, седьмое и восьмое свойства очевидны (если , то ; если , то ; если произведение равно нулю, то необходимо один из сомножителей, входящих в определение (, либо , либо ) равен нулю).

Замечание 2.

Заметим, что вследствие ортонормированности базиса

Тогда

Следствие 2. (Вычисление координат орта вектора в ортонормированном базисе)

Из свойства 3 скалярного произведения (Теорема 1.6.2)

Если , то . Аналогично, . Таким образом, координаты вектора в ортонормированном базисе являются его ортогональными проекциями на направления, заданные соответствующими ортами.

откуда:

§1.7. Векторное произведение двух векторов.

1.7.1. Определение. Упорядоченная тройка некомпланарных векторов называется правой, если при приведении этих векторов к общему началу ближайший поворот от первого вектора ко второму виден с конца третьего вектора совершающимся против часовой стрелки. В противном случае тройка называется левой.

Например, на Рис. 1.8. показана правая тройка векторов .
Замечание 1.
Цикличная перестановка векторов не меняет ориентации тройки; (то есть после цикличной перестановки она остается либо правой, либо левой).
Замечание 2.
Тройки компланарных векторов не относят ни к правым, ни к левым.
Замечание 3.
Стандартный ортонормированный базис пространства V³ задается правой тройкой ортов.
1.7.2. Определение. Векторным произведением векторов и называется вектор , длина и направление которого определяются следующими условиями:

1. ;

2 ;

3. , , - правая тройка (если векторы и не коллинеарны).

Длина векторного произведения векторов и равна площади параллелограмма, построенного на этих векторах.

1.7.4. Механический смысл векторного произведения двух векторов.

1.7.5. Теорема. (Свойства векторного произведения двух векторов).

1. ; (антикоммутативность)

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6..

Свойства 2, 3, 4 и 5 вытекают непосредственно из определения векторного произведения 1.7.2. Свойство 1 также очевидно, поскольку при перемене порядка сомножителей векторы , и , очевидно, образуют левую тройку (см. Рис. 1.10). Свойство 6 будет доказано позднее, после свойств смешанного произведения трех векторов.

Докажем первое равенство . Рассмотрим вектор . Из определения векторного произведения 1.7.2 Так как векторы образуют правую тройку, то .

Доказательство остальных равенств полностью аналогично.
1.7.7. Теорема. (Выражение векторного произведения двух векторов, заданных в ортонормированном базисе).

Координаты векторного произведения векторов и равны алгебраическим дополнениям элементов первой строки символического определителя

.

Доказательство:

Пусть векторы и имеют в ортонормированном базисе разложения

, .

Тогда по свойству 6 векторного произведения