1-мысал. Дербес туындылы 13) теңдеуінің жалпы шешімін табу керек. Шешуі

теңдеуінің жалпы шешімін табу керек .

түрінде жазайық. Осыдан туындысының бойынша туындысы нөлге тең болғандықтан ол ке тәуелді функция екендігі шығады, яғни

Сондықтан .

Мұндағы кез келген функциясының интегралы -ке тәуелді функциясы мен тұрақты деп саналатын кез келген -ке тәуелді функциясының қосындысынан тұрады.

Сонымен берілген теңдеудің жалпы интегралы

теңдеуін канондық түрге келтіру керек.

яғни теңдеу гиперболалық типке жатады.Сипаттамалық теңдеуі мына түрде жазылады.

түрінде алынады.

Теңдеуді канондық түрге келтіру үшін жаңа айнымалылар енгіземіз

,

Теңдеуге қойып түрлендіру үшін осы айнымалылардың дербес туындыларын табайық.

Алдымен ескі айнымалылар бойынша туындыларды жаңа айнымалылар бойынша туындылармен өрнектеу формулаларын келтірейік.

Айталық, , (1.17) екі рет үздіксіз дифференциалданатын функциялар болсын. Сонда төмендегідей туынды формулалары алынады:

Әдетте (1.18) формулаларда v-ның орнына u деп ауыстырып жазады. Бірақ та туындыларын η=const (ξ =const) сызықтары бойынша алынған

Өйткені « функциясының немесе бойынша дербес туындысы» дегеннің екіншінемесе координаты алынғанша мағынасы жоқ.. Шынында да, туындысы айнымалысын ғана емес туындыда ашық көрінбесе де айнымалысын таңдап алудан тәуелді.

Енді мысалымыздағы және жаңа айнымалылары бойынша дербес туындыларды есептейік:

, , ,

; ;

;

;

Осыларды берілген теңдеуге апарып қоямыз:

теңдеуінің типін анықтап канондық түрге келтіру керек.

Мұны екі теңдеу түрінде жазуға болады

Осыдан

екі бірінші интегралдарын аламыз.

Сондықтан және деп алып дербес туындыларды есептейміз.

, ,,,

; ;

;

.

Осы мәндерді берілген теңдеуге қойып оның канондық түріне келеміз

теңдеуін аламыз.

теңдеуін канондық түрге келтіру керек.

түрінде жазылады. Оны теңдеуі түрінде жазып, берілген теңдеу эллипстік типке жататындығын анықтаймыз.

Бұл теңдеуді интеграалдау нәтижесінде

шешімін аламыз.

Егер жаңа координаталар үшін

айнымалыларын алатын болсақ , онда дербес туындылар мынадай түрде алынады:

Осы мәндерді теңдеуге қойып, түрлендірулерден кейін теңдеудің канондық түріне келеміз:

Осыдан теңдеуі

және болғанда, яғни бірінші және үшінші ширектерде эллипстік типке жататындығы көрінеді.

Егер , ал және, ал

болғанда теңдеудің канондық түрі

теңдеуімен өрнектеледі, яғни

теңдеуі екінші және төртінші ширектерде гиперболалық типке жататындығы анықталады. Егер болса, координата осьтерінің нүктелерінде теңдеу параболалық типке жатады. Бұл жағдайда сипаттамалық теңдеудің бір ғана бірінші интегралы бар болады. Теңдеуді канондық түрге келтіру үшін екінші сипаттауышын түрлендіру анықтауышы (Якобианы) нөлге тең болмайтындай етіп кез келген функция түрінде алады.

теңдеуінің жалпы шешімін табу керек.

яғни теңдеу гиперболалық типке жатады.

Сипаттамалық теңдеуін жазайық ,

немесе

Осыдан . Интегралдаудан шешімі алынады.

Олай болса

Енді берілген теңдеуде айнымалыларды ауыстырайық:

Осы туындылар мәндерін теңдеуге қоямыз:

Бұл теңдеудің жалпы шешімі

Алғашқы айнымалыларға көшіп берілген теңдеудің жалпы шешімін аламыз.

теңдеуі сызықты және коэффициенттері тұрақты болса, онда жаңа айнымалылар арқылы түрлендірулерден кейін әрбір жағдайда тағы да коэффициенттері тұрақты сызықтық теңдеулер алынады

Бұл теңдеулерді жаңадан белгісіз v функциясын енгізіп әрі қарай тағы да ықшамдауға болады. Жаңа функцияның түрі:

Мұндағы тұрақтыларын әдейілеп таңдап алуға болады.Сонда жоғарыдағы теңдеулерді мынадай түрлерге келтіруге болады.

Мысалы, айнымалыны ауыстыру функциясын дифференциалдағаннан кейін функциясы мен оның туындыларын ге қойып және ұқсас мүшелерін жинастырғаннан кейін мынадай теңдеу аламыз:

Әрі қарай ға қысқартып , мен ды

болатындай етіп алып

теңдеуін аламыз.

теңдеуінің

алғашқы шарттарын қанағаттандыратын шешімін табу керек.

Осыдан

теңдеулеріне көшіп, олардың бірінші интегралдарын анықтаймыз:

Олай болса жаңа айнымалылары енгізіп дербес туындыларды есептейміз.

Осы мәндерді берілген теңдеуге қоямыз :

немесе, түріндегі канондық теңдеу алынады.

Оның жалпы шешімі

Енді алғашқы шарттарды пайдаланамыз

Бірінші теңдеуді дифференциалдап теңдеуін аламыз. Сонан соң

жүйесіннен , теңдіктерін аламыз. Осыны интегралдаудан кейін

шешімін аламыз.

Олай болса, болады да яғни, - берілген есептің шешімі.

18-мысал.

Ұзындығы -ға тең шеттері бекітілген шектің алғашқы уақыттағы пішіні параболаға ұқсайды. Шекті бастапқы жылдамдықсыз босатып жібергендегі оның тербеліс заңын табу керек.

Осы мәндерді (2.42) формулаға қойып есептің шешімін аламыз

Шектің шеттері және нүктелерінде қатаң бекітілген. Ауытқулардың алғашқы уақыт мезгіліндегі түрі

Бастапқы жылдамдықтар нөлге тең. Шектің ауытқуларын анықтау керек.

алғашқы және шекаралық шарттары бойынша интегралдау керек.

Сонда (2.42) және (2.43) формулалар арқылы болады да, ал үшін мынадай өрнек алынады:

Бұл интеграл мәнінен басқа мәндерінде нөлге тең болады.

Олай болса есептің шешімі мынаған тең болады.

Шеттері және нүктелерінде бекітілген шекті кішкене балғамен ұрғанда оның бөлігінің нүктелері жылдамдық алады. Ұрғанға дейін шек тепе-теңдік күйінде болатын. Шектің ауытқуын табу керек.

Сондықтан (2.43) формула бойынша болады.

Енді - ны есептейміз.

Есептің шешімі

Шеттері және нұктелерінде бекітілген шек нүктесінде тепе-теңдік күйінен аз қашықтыққа керіледі де бастапқы жылдамдықсыз босатылып жіберіледі. Шектің ауытқуын табу керек.

8 сурет

Осыдан , ал мәнін есептейміз:

Мұндағы екі интегралды да бөліктеп интегралдау нәтижесінде мынадай мәнін анықтаймыз:

Сонымен,

Бір шеті бекітілген, ал екінші шеті бос цилиндр стерженнің бойымен таралған шағын тербелістерді интегралдау керек.

Мұндағы , Е- Юнг модулі, - сызықтық тығыздық.

Алғашқы шарттар

(2.74)

түрінде берілсін.

Есептің берілуі бойынша шекаралық шарттарды мына түрде жазуға болады:

(2.75)

Бұрынғы есептердегі шекаралық шарттардан бұл шарттар басқаша.

Сондықтан (2.42), (2.43) формулаларды пайдалана алмаймыз.

Енді Фурье әдісінің жалпы түрін пайдаланайық. Алдымен (2.73) теңдеудің тек қана (2.74) шарттары қанағаттарндыратын шешімін

көбейтіндісі түрінде іздейік.

Осыны (2.73) теңдеуге қойып және айнымалыларын бөлгеннен кейін мынадай теңдеу аламыз.

Бұл теңдіктің сол жағы -ға, ал оң жағы тек -ке тәуелді. Сондықтан осы тең қатынастардың әрқайсысы тұрақтыға тең болуы керек. Оны деп белгілеп мынадай диффериенциялдық теңдеулер аламыз.

Интегралдаудан кейін мынадай шешімдер аламыз:

Осыдан (2.76) шартты пайдаланып

С=0,

теңдіктеріне келеміз. Соңғы теңдік бойынша тек мынадай мәндер қабылдай алады

Олай болса, стерженнің меншікті тербелістерінің жиілігі:

Әрбір үшін (2.74) шарттарды қанағаттарндыратын (2.73) теңдеудің шешімін аламыз

Есептің шешімін қатар түрінде іздейміз:

Енді және коэффициенттері функциясы (2.74) шарттарды қанағаттандыратындай етіп аламыз ол үшін (2.,77) қатарды (2.74) –ке қойып белгілі Фурье қатарының коэффициенттерін табу әдісін пайдаланып және коэффициенттерін анықтаймыз.

Мынадай аралас есепті қарастырайық.

А. Берілген есептің (2.78) шеттік шарттарының түрімен байланысты есептің шешімін Штурм –Лиувилль есебінің меншікті функциялары бойынша құрылған қатар түрінде іздейміз.

Берілген теңдеудегі функциясын бойынша қатарға жіктейміз.

Мұндағы

Енді (2.79) және (2.80) жіктеулерді (2.78) теңдеуге қойып мынадай дифференциялдық теңдеу аламыз.

((2.77) теңдеуді қараңыз).

Ал (2.79) қатарды (2.78) алғашқы шарттарға қойғанда

(2.82)

шарттары алынады.

Дифференциялдық теңдеулер теориясынан (2.81) біртекті емес теңдеудің жалпы шешімі оның қандайда бір дербес шешімі мен оған сәйкес біртекті теңдеудің шешімінің қосындысынан тұратыны белгілі.

Сондықтан (2.81) теңдеудің жалпы шешімін

түрінде құрамыз.

Мұндағы –сәйкес біртекті теңдеудің жалпы шешімі:

(2.84)

Ал - (2.81) біртекті емес теңдеудің дербес шешімі.

Дербес шешімді іздегенде екі жағдайды айырып қарастыру керек - резонансты емес және резонансты жағдайлар.

1 Резонансты емес жағдай.

Кез келген ның мәні үшін

шарты орындалады. Онда дербес шешімді

түрінде іздеу керек.

Осыны (2.81) –ге қойғаннан кейін

теңдігін аламыз. Осыдан

Сонда (2.83) шешімін былай жазуға болады

Енді алғашқы шарттарды пайдаланып

Қандайда бір натурал мәнде

Бұл жағдайда

Осыны (2.81) теңдеуге қойып мынадай өрнек аламыз:

енді (2.90) –ды ескере отырып ұқсас мүшелерін жинастырып соңғы теңдіктен мынадай өрнек аламыз:

Теңдіктің екі жағындағы мен коэффициенттерін салыстырып

теңдеулерін аламыз.

Осыдан болғандықтан коэффициенттерін анықтаймыз.

Сонымен,

Сондықтан

Енді (2.82) алғашқы шарттарды пайдаланып белгісіз коэффициенттерді анықтаймыз:

Осыларды пайдаланып

Қорытындысында, егер қандай да бір мәнінде(2.90) шарты орындалса онда есептің шешімі мынадай түрде жазылады:

Берілген біртекті емес аралас есептің шешімін табу керек.

Болашақ шешімді берілген теңдеуге және шекаралық шарттарға қойып мынадай теңдеу аламыз.

Бұл есептің шешімінің түрі:

Енді берілген аралас есепте

ауыстыруын қолданып үшін мынадай біртекті аралас есеп аламыз:

Бұл есепті шешу үшін Фурье әдісін қолданайық

Штурм –Лиувилль есебінің

меншікті мәндері және меншікті функциясы түрінде анықталады.

Енді мәндерін орнына қойып үшін мынадай теңдеулер және олардың шешімдерін аламыз.

.................................................................................

Сонда

Алғашқы шартты пайдаланамыз:

Осыдан

теңдіктері алынады.

Әрі қарай,

теңдіктердің екі жақтарын салыстырып теңдіктерін аламыз. Сонымен,

Қортындысында, біртекті емес аралас есептің шешімін мына түрде анықтаймыз:

дифференциалдық теңдеуінің

шекаралық шарттарын және

алғашқы шартын қанағаттандыратын шешімін табу керек.

Бұл есепті шекаралық шарттары нөлге тең болатын есепке келтіруге болады. Ол үшін белгісіз функциясымен

теңдігімен байланыста болатын функциясын еңгізейік

Бұл v(x,t) функциясы теңдеуін және , біртекті шекаралық шарттарды қанағаттандырады.

Алғашқы шарттын түрі:

Сонымен, қойылған есепті шығара білетін мынадай есепке келтіреміз:


теңдеуінің

шекаралық шарттарды және

алғашқы шартын қанағаттандыратын шешімін табу керек.

формуласы бойынша анықтаймыз.

Мұндағы

мәніне тең. Сонда

түрінде іздейміз.

Осы қатарды берілген теңдеуге қойып мынадай өрнек аламыз.

Осыдан мәндерінде

Бұл теңдеудің шешімі

Әрі қарай

Алғашқы шартты пайдаланамыз

Мұндағы

Ал болғандықтан