2 Дәріс. Таңдама. Таңдаманың сандық сипаттамалары

1.Бас жиынтық және таңдама.

2. Вариациялық қатар.

3. Полигон және гистограмма.

4. Таңдаманың сандық сипаттамалары.

5. Таңдама орта және дисперсияны есептеу көбейту әдісі.

Көптеген кездейсоқ құбылыстардың бағынатын заңдылығын анықтау тәселесі, бақылау нәтижесінің статистикасын зерттейтін ықтималдық теориясының әдістіне негізделгегн.

Математикалық статистииканың мынадайесептерін қарастырамыз:

1. 
   Жүргізілген тәжірибенің немесе бақылаудың нәтижесінде, алынған статистикалық мағлұматтарға жинау жән оларды топқа бөлу әдістерін көрсету.
   
2. 
   Зерттеудің мақсатына байланысты статистикалық мағлұматтарға анализ жасау әдістерін іздеп табу.
   

Кейде қажетті белгісі бойынша , заттар жиынтығындағы әрбір затты түгелдей тексеруге тура ккеледі. Іс жүзінде бұлай түглдей тексеру өте сирек зерттейді. Таңдап алынған жиынтық немесе жай ғана таңдамалы деп, кездейсоқ таңдап алынған заттардың жиынын айтады.

Тәжірибе жүргізілгенде белгі мәндері қалай болса солай орналасуы мүмкін. Мысалы, тексерілген 100 вал диаметрі см-мен 15, 12, 16, 12, 13, 14, 16, 13, 14, 12 болып шықты. Мұны реттеп жазсақ 12, 12, 12, 13, 13, 14, 14, 15, 16, 16 болар еді. Мұны ықшамдап кесте түрінде жазсақ, мынадайболады:

Бұл кестенің жоғарғы жолын белгі мәндері (варианталары), ал төменгі жолында әрбір мәннің неше рет кездескені келтірілген. Осылай реттелген кестені вариацмялық қатар деп атайды.

Әдетте белгіні (вариантаны) кездейсоқ шамалар сияқты х, у, z, ...., y_k, z₁, z₂, …., z_k арқылы белгілейміз. Варианта қайталап отыруы мүмкін. Ол қайталаулардың абсалютті санын (жиілігін) n₁, n₂… n_k деп белгілесек, онда вариациялық қатардың жалпы түрін мына кесте көрсетеді.

2 – кесте

Мұнда, х_і – варианталары сәйкес;

n_i – жиіліктер;

- вариация қатардың көлемі.

Іс жүзінде варианта абсалютті жиілікпен қатар салыстырмалы жиілік түрінде де беріледі. Бұл жағдайда 2 кесте былай жазылады:

3 – кесте

ал,

Егер вариациа үздіксіз өзгеретін болса, онда вариациалық қатарды интервалдар бойынша құруға тура келеді.

Жалпы түрде интервалдық қатар мынадай болады:

4 – кесте. Жиіліктің интервалдық түрі.

немесе

Жиілік полигоны деп (x_і; n_i), (x₂; n₂), ..., (x_к; n_к), нүктелерін кесінділермен қосқанда шыққан сынық сызықтарды айтады. Полигон салу үшін абцисса осіне x_і – варианттары, ал оларға сәйкес жиіліктері ордината осіне салынады. (x_і; n_i) нүктелерін кесінділермен қоссақ жиілік полигонын аламыз (1 сурет). Салыстырмалы жиілік полигоны деп (x₁; w₁), (x₂; w₂), ..., (x_к; w_к) нүктелерін кесінділермен қосқанда шыққан сынық сызықтарды айтады. Салыстырмалы жиілік полигонын салу үшін, абцисса осіне x_і – варианттары, ал оларға сәйкес w_i – салыстырмалы жиіліктер ордината осіне салынады. (x_і; w_і) – нүктелерін кесінділермен қоссақ салыстырмалы жиілік полигонын аламыз.

Жиілік гистограммасы деп табандарының ұзындықтары һ – қа тең дербес интервалдан, ал биіктері қатынасындай болатын тік төртбұрыштардан құрылған сатылы фигураны айтады.

Жиілік гистограммасын салу үшін абцисса осіне дербес интервалды, ал олардың жоғарғы жағынан абцисса осіне паралелль және одан ара қашықтықтары - қа тең кесінділер жүргіземіз. Мұндағы - жиілік тығыздығы. і – ші тік төртбұрыштың - ге тең. Сонымен жиілік гистограммасының ауданы барлық жиіліктердің қосындысына тең, яғни таңдау көлеміне тең.

Салыстырмалы жиілік гистограммасын салу үшін абцисса осіне интервалдарды, ал оның жоғарғы жағынан абцисса осіне паралелль және одан қашықтықтары қатынасына тең кесінділерді саламыз.

і – ші тік төртбұрыштың ауданы:

- ге тең.

Сонымен салыстырмалы жиілік гистограммасының ауданы, барлық салыстырмалы жиіліктер қосындысына, яғни бірге тең.

Статистикалық үлестірімнің сандық сипаттамаларын және оларды есептеу формулаларын қарастырайық.

1. 
   Арифметикалық таңдамалы орта. Белгінің (Х) арифметикалық ортасы деп варианталардың жалпы санына (таңдаманың көлеміне) қатынасын айтады, яғни (егер барлық варианталар әртүрлі болса):
   

х_і – варианталар (белгі мәндері):

Егер таңдама вариациялық қатармен беоілсе, онда

Мұнда,

х_і – варианталар.

2. 
   Мода (М₀). Берілген вариациялық қатардың ең жиі кездесетін вариантасын мода деп атайды. Басқаша айтқанда, ең жоғары жиілікке сәйкес варианта мәні мода болады.
   
3. 
   Медиана (М_е). Жиынтықты тең етіп екіге бөлетін белгі мәнін медиана деп атаймыз. Егер белгінің өзгеруші мәндері тақ болып, ұлғаю ретімен орналасса x_1,x₂, ..., x_{m-1, ,}x_m ,x_m+1, ..., _,x_2n-1, онда бұл үйлестіру үшін М_е медианасы х_m вариантасына тең, яғни М_е =х_m, өйткені М_е =х_m – нен төмен де жоғары да белгінің саны бірдей m-1 мәндері орналасқан.
   

4. 
   Вариация құрамы. Ауытқу сипаттамаларының ішіндегі ең қарапайым – вариация құрамы. Мұның мәні R белгінің максимум және минимум мәнінің айырымына тең:
   

5. 
   Дисперсия және орташа квадраттық ауытқу.
   

Кездейсоқ шамамен оның математикалық күтімі айырымының квадратының математикалық күтімін дисперсия (шашырау дейді).

Х кездейсоқ шамасының дисперсиясын Д(х) арқылы белгілесек, онда анықтама бойынша:

Белгі мәндерінің арифметикалық ортадан ауытқу квадраттары қосындысының арифметикалық ортасын таңдамалы дисперсия немесе дисперсия дейміз.

6. 
   Түзетілген дисперсия
   

7. 
   Орташа квадраттық ауытқу
   

8. 
   Вариация коэффициенті
   

5. Тандама орта және дисперсияны есептеу көбейту әдісі.

а) Шарттық варианталар.

Делік, таңдама варианттарлары өспелі ретінде орналасқан, яғни вариациялық қатар түрінде.

Айырымы h – қа тең арифметикалық прогрессияны құрастыратын варианталарды бірдей қашықтықтағы варианталар деп атайды.
формуламен анықталатын вариантталарды шарттық варианта деп атайды.

Мұндағы С – жалған ноль (санақтың жаңа бастамасы).

Һ – қадам (екі көрші варианталардың айырмасы).

Алғашқы варианталарды шарттық варианталарға ауыстыруы, ықшамдалған әдістер таңдамының жинақты сипаттамаларын есептеу үшін негізделген.

б) Таңдамалы орта мен дисперсияны есептеу көбейтінді әдісін қарастырайық.

Делік, таңдама бірдей қашықтықтағы варианталар және оларға сәйкес жиіліктер түрінде берілсін. Бұл жағдайда таңдамалы ортаны және дисперсияны көбейту әдісі формулаларымен табу қолайлы.

Яғни, - таңдамалы орта

- таңдамалы дисперсия

Мұндағы һ – қадам

С – жалған ноль (ең үлкен жиілігі бар варианта).

- бірінші ретті шарттық сәт.
- екінші ретті шарттық сәт.

Көбейтінді әдісін қолдауын бір мысалда қарастырайық.

1. 
   Варианталарды бірінші бағанға жазамыз.
   
2. 
   Жиіліктерді екінші бағанға жазамыз, жиілік қосындысын (n=100) екінші бағанның төменгі торшасына жазамыз.
   
3. 
   Жалған ноль (С) ретінде С=16 вариантаны аламыз, оның ең үлкен жиілігі бар (С ретінде бағаның ортасында тұрған әлде қандай вариантаны алуға болады). Жалған ноль тұрған жолдың үшінші бағанның торшасына 0 жазамыз, оның үстінен тізбектеп – 1, -2 – жазамыз, ал о – дың астына 1,2,3 жазамыз.
   
4. 
   Жиіліктердің шарттық варианталарға көбейтінділерін төртінші бағанға жазамыз, ал олардың қосындысын бағанның төменгі торшасына орналастырамыз.
   

	хі	ni
	12	5	-2	-10	20	5	1
	14	15	-1	-15	15	0	0
	16	50	0	0	0	50	1
	18	16	1	16	16	64	4
	20	10	2	20	40	90	9
	22	4	3	12	36	64	16
				=23

Бақылау:

273=127+2*23+100

273=127+146

273=273

5) Жиілікті шарттық варианталардың квадраттарына көбейтіп шыққан көбейтінділерді бесінші бағанға жазамыз, шыққан сандарды қосып, олардың қосындысын бағанның төменгі торшасына орналастыр-

ады.

6)Шарттық ықтималдылықтарды 1 санына үлкейтіп және олардың квадраттарын сәйкес жиеліктерге көбейтіп көбейтіндіні алтыншы бақылау бағанға жазамыз; барлық шыққан сандарды қосып, олардың қосындысын бағанның төменгі торшасына орналастырамыз.

Бақылау үшін мына теңбе-теңдікті қолданамыз:

Бақылау: ; =127+2*23+100

Бақылау қосындылардың дәл келу есептеуінің дұрыс болу куәлігі. Бірінші және екінші ретті шарттық сәттерді есептейміз.

Қадамын табайық һ=14 – 12=2

Жалған ноль С=16 еске алып, таңдамалы орта мен дисперсияны есептейміз.

Сенімділік интервалды анықтайық (-; +); мұндағы – бағаны мына формуламен анықтаймыз =, ал t параметрді қатынасын табамыз. сенімділігі бар жиынтықтың белгісіз математикалық күтімін а бағалау үшін _ сенімділік интервалды табамыз. Сонымен ; ; (екінші кестеден t=1.96) енді баға

немесе

жүктеу/скачать 228 Kb.

Достарыңызбен бөлісу: