2+1-мерная гравитация: новый взгляд

Эдвард Виттен

Струны 2007

Мадрид
25 июня 2007

Трехмерная чистая квантовая гравитация с действием Эйнштейна-Гильберта

была изучена с многих точек зрения, но ее статус существенно неясен.

Я предприму очень предварительное усилие пересмотреть это (благодаря Х. Малдацене)

Мое главное побуждение сделать это - черная дыра БТЗ. При отрицательной космологической постоянной в 2+1 измерениях есть черные дыры. Так как чистая гравитация в 2+1 измерениях "тривиальна", то есть, она не имеет никаких распространяющихся мод, мы могли бы надеяться получить точное описание квантовой теории этих черных дыр. По крайней мере выше 1+1 измерения, где распространяющиеся моды усложнили взаимодействия, нет никакой надежды получить одинаково точную модель черной дыры в теории, которая не "тривиальна".

Подсчет размерностей, кажется, делает эту теорию неперенормируемой,

но она фактически конечна в теории возмущений – по модулю переопределения поля и перенормировки космологической постоянной.

Это так по той же самой причине, по какой теория является "тривиальной". В 2+1 измерениях, тензор Римана R_ijkl может быть выражен в терминах тензора Риччи R_ij, который в свою очередь, используя уравнения Эйнштейна, может быть выражен как кратное метрического тензора g_ij . В итоге, на массовой оболочке единственный возможный контрчлен – это объем пространства-времени, то есть, перенормировка космологической постоянной.

То, что я только что сказал, действительно не зависит от того, как мы формулируем теорию возмущений, но фактически, есть естественная формулировка, в которой не нужна никакая перенормировка или переопределение поля.

Это следует из того факта, что классически, 2+1-мерная гравитация может быть выражена в терминах калибровочной теории. Спиновая связность является SO(2,1) калибровочным полем. может быть объединена с

"вирбеином" e, чтобы образовать калибровочное поле калибровочной группы SO(2,2), если космологическая постоянная отрицательна (и подобной ей группы в ином случае). Мы только объединяем _{и e в 4 x 4 матрицу}

Пока вирбеин является обратимым, обычные преобразования - локальные

лоренц-преобразования и диффеоморфизмы, объединяются вместе как калибровочные преобразования A. Это утверждение фактически имеет аналог при любом числе измерений. То, что является особенностью в 2+1 измерениях, - это что действие Эйнштейна-Гильберта может быть выражено в калибровочной-инвариантной форме

как взаимодействие Черна-Симонса. (Ачакарро и Тоунсенд 1987, EW 1988)

С этой точки зрения, теория возмущений перенормируема при подсчете размерностей и фактически конечна, так что нет никаких возможных локальных контрчленов (и космологическая постоянная есть структурная константа калибровочной группы).

Довольно ясно, что описание калибровочной теории гравитации является справедливым в теории возмущений, так как оно справедливо классически - и теория возмущений не будет выводить нас из классической области обратимого вирбеин.

Но непертурбативно есть реальный вопрос: должны ли мы будем в калибровочной теории допустить необратимый вирбеин.

Мое собственное представление в 1988 было таким, что описание калибровочной теории справедливо непертурбативно, и следует позволить вырожденному вирбеин иметь смысл в квантовой теории.

особенно N. Зайбергом, который утверждал, что в 0+1 и 1+1 измерениях, где мы действительно знаем, как извлечь смысл из квантовой гравитации, мы принимаем всерьез обратимость вирбеин на квантовом уровне.

Есть, однако, еще более серьезная проблема с идеей "калибровочная теория = гравитация в 2+1 измерении"

Спустя несколько лет после событий, которые я упомянул, обнаружилось, что для случая отрицательной космологической постоянной в этой "тривиальной" теории имеется черная дыра

(Банадос, Тейтельбойм, Занелли, 1992)

и события в AdS/CFT соответствии (начиная со Строминджер, 1997) прояснили, в течение нескольких лет, что к этому нужно отнестись серьезно.

Черная дыра БТЗ имеет горизонт положительной длины окружности и соответствующей энтропии Бекенстейна-Хокинга. Если, поэтому, чистая 2+1-мерная гравитация действительно соответствует квантовой теории, эта теория должна иметь огромное вырождение состояний черной дыры - которое мы не надеемся быть в состоянии получить из топологической полевой теории (хотя некоторые попытки были сделаны).

Перед тем как продолжить, позвольте нам обсудить то, к чему мы собираемся стремиться в попытке решить 2+1-мерную гравитацию.

Прежде всего, я собираюсь рассматривать только случай отрицательной космологической постоянной.

В настоящее время есть подозрение,

что квантовая гравитация с положительной космологической постоянной не существует непертурбативно (ни в каком измерении). Одна причина этого состоит в том, что невозможно при определить точные наблюдаемые. Если это имеет место, то это естественно, потому что мир с положительной космологической постоянной (как тот, в котором мы может быть живем) всегда нестабилен.

Если это так, то мир с действительно не имеет смысла как точная теория сам по себе, но (как нестабильная частица) должен изучаться в качестве части большей системы.

Является ли это правильной интерпретацией или нет, так как я не знаю, как определить любую точную наблюдаемую, я не знаю и то, что означало бы пробовать решить 2+1-мерную гравитацию с , так как

неясно, что мы хотели бы вычислить.

С нулевой космологической постоянной, если мы находимся выше 2+1 измерений, имеется разумная наблюдаемая: S-матрица.

В 2+1 измерениях без полей материи, мы не имеем никаких распространяющихся локальных полей, а также никаких черных дыр, если космологическая постоянная есть ноль. Таким образом, нет никакой S-матрицы, и снова, нет никакой ясной картины того, что мы хотим вычислять при попытке решить теорию.

С отрицательной космологической постоянной существует аналог S-матрицы, а именно, дуальная конформная теория поля. Она захватывает асимптотическую информацию, которая походит на S-матрицу в случае . Мало того, что это имеет смысл в 2+1 измерениях, но фактически одним из предшественников AdS/CFT соответствия была работа Брауна и Энно (1986) по 2+1-мерной гравитации.

Браун цвет и Энно показали что гильбертово пространство 2+1-мерной гравитации, с

многоточие обращается к факту, что этот результат не затрагивается полями материи - имеет действие лево- и право- движущихся пар

^{алгебры Вирасоро с}

В нашем современном понимании, это - часть намного более богатой структуры - дуальной CFT

_{найти дуальную CFT.}

И повторим, что мы сосредотачиваемся на случае

кажется, что ℓ, которая является космологической постоянной в единицах Планка, является свободным параметром. Но формула для центрального заряда

c_l = c_R ⁼ 3l/2G показывает, что это не может иметь места.

Согласно c-теореме Замолодчикова, в любом непрерывно варьируемом семействе конформных теорий поля в 1+1 измерениях, центральный заряд c является константой.

Следовательно он не может зависеть от переменного параметра, типа ℓ/G. Должно быть, что 2+1-мерная квантовая гравитация имеет смысл самое большее только при определенных значениях ℓ/G.

Конечно, теорема Замолодчикова имеет важное техническое предположение - теория должна иметь нормируемое и SL(2) - инвариантное основное состояние. Это предположение действительно в 2+1-мерной гравитации, с анти-де-ситтеровым пространством, являющимся классическим приближением к соответствующему квантовому состоянию.

(Это предположение в теореме Замолодчикова упускалось в некоторых заявлениях о 2+1-мерной гравитации.)

ℓ/G не может непрерывно изменяться, не ограничено чистой гравитацией – оно справедливо по той же самой причине в любой теории 2+1-мерной гравитации плюс материя, которая имеет разумный анти-де-ситтеров вакуум. Например, в моделях теории струн, для которых дуальные CFT известны, ℓ/G выражается в терминах целочисленных потоков, что дает прямое объяснение того, почему оно не может изменяться непрерывно.

Таким образом мы собираемся стремиться решить теорию только для отрицательной космологической постоянной, и более того, только при определенных значениях

ℓ/G. Но каковы эти правильные значения?

У меня нет никакого строгого способа определить это. Но есть простая картина, которая дает нам вероятный эвристический способ пробовать найти правильные значения, и оказывается, что она дает интересные значения.

Мы собираемся принять за исходное описание 2+1-мерной гравитации как калибровочной теории. Прежде всего, кроме ℓ/G

есть в действительности второй безразмерный параметр, так как можно добавить к действию число, кратное инварианту Черна-Саймонса спиновой связности:

Здесь k - целое число по топологическим причинам.

Таким образом теория действительно зависит от двух параметров, а именно, ℓ/G и k.

Мы понимаем, почему второе должно быть целым числом, но мы хотим знать, почему первое не может изменяться непрерывно (что противоречило бы c-теореме).

Если мы берем за исходное интерпретацию 2+1-мерной гравитации как калибровочной теории, это дает нам объяснение того, почему параметры принимают только специальные значения, и те значения, которые при этом выбираются, оказываются весьма интересны.

Мы используем тот факт, что калибровочная группа SO(2, 2) есть, по существу, то же самое, что и

SO(2,1) x SO(2,1). Два калибровочных поля SO(2,1) — это

_{и действие есть сумма}

Если мы принимаем описание на языке калибровочной теории буквально, то и k_L и k_R квантуются к целочисленным значениям по топологическим причинам. Кроме того, из формул Брауна и Энно, объединенных с соотношением гравитация/Черн-Саймонс, центральные заряды, оказываются равными слкдующему:

Это интересный результат, потому что голоморфная факторизация возможна в 2-мерной CFT только при этих значениях c.

Итак в последующем мы собираемся принять голоморфную факторизацию, и будем как раз пробовать описать голоморфную часть теории — голоморфную CFT с центральным зарядом c = 24k для некоторого целого числа k

Далее, один простой факт состоит в том, что энергией основного состояния такой теории является -c/24 =-k

Какие другие состояния имеют там место? Наивно, вообще никакие, так как 2+1-мерная гравитация "тривиальна". Однако, это неправильно. По крайней мере есть граничные возбуждения, которые приводят к алгебре Вирасоро Брауна-Энно.

Если бы не было никаких других возбуждений, то функция распределения для рода 1 была бы

Эта функция считает возбуждения вакуума, которые могут быть получены неоднократным действием тензора энергии-импульса и его производных.

Но это не может быть полным ответом, так как эта функция — не модулярный инвариант.

Должны быть некоторые дополнительные primaries, помимо identity. Функция распределения тогда будет

Теперь мы собираемся интерпретировать тот факт, что теория является классически "тривиальной", как означающий, что мы должны сделать ℓ как можно больше.

Поверхности Римана рода 1 параметризованы "j-функцией"

Тот факт, что функция распределения является модулярным инвариантом и имеет единственный полюс при q = 0,

означает, что она есть полином по J (q).

Более определенно, Z (q) - полином по J

порядка k, так как ее полюс при q = 0 имеет порядок k. Таким образом мы имеем

с некоторыми коэффициентами . Мы можем выбрать эти коэффициенты так, чтобы привести Z (q) в согласие

_{с наивной функцией}

с точностью до

порядка .

Мы интерпретируем их как черные дыры, так как теория "тривиальна" за исключением черных дыр.

На самом деле, получается нечто хорошее. Минимальная классическая масса черной дыры, в этих единицах, есть М= k. Но энтропия Бекенстейна-Хокинга исчезает, если масса будет точно равна k. Таким образом, черные дыры положительной энтропии существуют именно тогда, когда их масса больше чем k, в прекрасном согласии с фактом, что, согласно нашему предложению о квантовой теории, самой низкой размерностью primary (кроме identity) является k + 1

Кроме того, функция распределения, рецепт вычисления которой я описал, хотя я не до конца записал явную формулу, дает результат для вырождения черной дыры, который совершенно соглаcуется с энтропией Бекенстейна-Хокинга. На пути, следуя которому я объяснял эти вещи, это может походить на чудо, но покажется менее удивительным, если Вы познакомитесь с "Farey tail" Dijkgraaf, Maldacena, Moore, and Verlinde (1997)

Число primaries черной дыры массы 2 будет поэтому 196883. Энтропия черной дыры поэтому будет log(196883) =12.19 …

Классическая энтропия черной дыры с k=1 и массой 2 есть 4π=12.57... Таким образом мы ошиблись только несколькими процентами.

Это - худший случай. Когда мы увеличиваем k или массу черной дыры, то квазиклассическое приближение к энтропии черной дыры быстро улучшается и становится асимптотически точным при больших k.

Число 196883 для primaries черной дыры при этой низкой массе есть весьма специальное число.

Еще в 1970-х годах была построена последняя из спорадических (или исключительных) конечных простых групп - "монстр" Фишера-Грисса или "дружественный гигант." Низшей размерностью неприводимого представления монстра является 196883. Джон Маккей заметил, что это очень близко к коэффициенту третьего члена в
J(q)=q^-1 + 744 + 196884q + …

Френкэль, Леповски, и Меерман (1985) объяснили это, построив голоморфную конформную теорию поля с функцией распределения - нашим другом

J (q)

Они также догадались, что их теория ─

единственная голоморфная CFT с этой функцией распределения.

Если это так - а гипотеза не была полностью доказана - тогда теория монстра Френкеля-Леповски-Мермана должна быть дуальной CFT при k=1.

Таким образом, мы можем интерпретировать группу монстра как симметрию 2+1-мерных черных дыр, по крайней мере при этом значении k.

Что сказать о более высоких значениях k? Большой вопрос - существуют ли "экстремальные" CFT для k> 1. Имеют ли они симметрию монстра?