Биссектрисы треугольника 1
жүктеу/скачать 103.3 Kb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- Контрольные вопросы 1.
- Задачи и упражнения 1.
- Ответы и указания к решению наиболее трудных задач. Задача 6.
| 08-06-04. Биссектрисы треугольника
1. Теорема о биссектрисе треугольника. Биссектриса угла треугольника обладает следующим важным свойством. Теорема. Биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим к ним сторонам. Доказательство. Первый случай. Пусть в треугольнике  стороны  и  равны. Тогда треугольник равнобедренный. Поэтому его биссектриса  , проведенная к основанию, является медианой (рисунок 2). Следовательно,  ,  , откуда
Второй случай. Пусть в треугольнике стороны и не равны. Тогда биссектриса не является высотой. Поэтому, если проведем перпендикуляры  и  , то получим прямоугольные треугольники  и  (рисунок 3). Треугольники и подобны, потому что их углы с вершиной  равны, как вертикальные. Из подобия этих треугольников следует, что
Прямоугольные треугольники  и  также подобны, так как их углы с вершиной  равны половине угла . Из подобия этих треугольников следует, что
Сравнивая полученные пропорции, получаем  , откуда  .
Пример. Найдем длины биссектрис острых углов прямоугольного треугольника со сторонами 3, 4, 5. Решение. Пусть  ,  ,  . Проведем биссектрису  (рисунок 4). По теореме о биссектрисе угла треугольника
Поэтому 
откуда Проведем биссектрису откуда 2.** Теорема, обратная теореме о биссектрисе угла треугольника. Справедлива теорема, обратная теореме о биссектрисе угла‘ треугольника. Если в треугольнике точка  расположена на стороне  так, что
то отрезок  — биссектриса угла .
Доказательство. Проведем в треугольнике биссектрису . В предыдущем пункте доказано, что  . Если предположим, что  , то тогда  , откуда  и  .
Откуда следует, что Аналогично приводит к противоречию и предположение Остается единственная возможность Теорема, обратная теореме о биссектрисе угла треугольника может служить признаком биссектрисы в треугольнике.
то есть
По теореме, обратной к теореме о биссектрисе, получаем, что 3.* Свойство биссектрисы внешнего угла треугольника. *Рассмотрим биссектрису внешнего угла треугольника. Возьмем треугольник Когда Пусть В результате получаем следующее свойство. Если биссектриса внешнего угла пересекает продолжение стороны треугольника в точке  , то  .
4.** Окружность Аполлония. Представим, что с аэродрома Обозначим через В следующем пункте мы докажем, что множество 5. Множество всех точек, расстояния от которых до двух данных точек находится в заданном отношении. В этом пункте рассмотрим доказательство следующей теоремы. Теорема. Множество всех точек  , расстояния от которых до двух заданных точек  и находятся в данном отношении  , при  есть окружность.
Доказательство. Разберем доказательство на примере, когда Первая часть. Пусть точка Аналогично, по свойству биссектрисы внешнего угла треугольника Так как угол Вторая часть. Возьмем на окружности с диаметром Через точку Таким образом, 6. Вывод уравнения окружности Аполлония с помощью координат. Разберем как можно получить окружность Аполлония координатным методом, на примере множества точек Введем систему координат так, как на рисунке 11. Пусть Тогда Из условия или
Заменяя переменные  и  на буквы  и  , получим уравнение
Это уравнение окружности с центром Контрольные вопросы 1. В каком отношении биссектриса угла треугольника делит противолежащую сторону треугольника? 2. Что можно сказать о прямой , если точка лежит на стороне треугольника и  ?
3. Каким свойством обладает биссектриса внешнего угла треугольника? 4. Докажите, что геометрическое место точек, расстояния от которых до двух данных точек и находятся в данном отношении  , есть окружность.
5. Как построить окружность Аполлония с помощью циркуля и линейки по данному отрезку и данному отношению  ?
Задачи и упражнения 1. Пусть см. Постройте окружность Аполлония, состоящую из таких точек , что
а) 2. Постройте треугольник, зная основание  , высоту  , опущенную на это основание, и отношение двух других сторон, равное  .
3. Построить треугольник по основанию , медиане  и отношению двух других сторон, равному . Рассмотрите случай  и случай  .
4. Рассмотрим треугольник и биссектрису  угла . Проведем через точку  прямую  , параллельную , и пусть продолжение биссектрисы пересекает в точке . Докажите, что
а) треугольник б) треугольник а) треугольник б) треугольник  подобен треугольнику  .
6. В треугольнике проведены медианы  и биссектриса  , которые пересекаются в точке . Прямая, проходящая через вершину и точку , пересекает сторону в точке  . Найдите длины отрезков  и  , если известно, что длина стороны равна  , а длина стороны равна  .
7. В трапеции  с основаниями и  биссектриса угла перпендикулярна боковой стороне  и пересекает ее в точке  . В каком отношении прямая  делит площадь трапеции, если известно, что  ?
8. Медиана и биссектриса треугольника пересекаются в точке , причем длина отрезка в три раза больше длины отрезка  . Длина медианы равна , длина биссектрисы равна . Найдите площадь треугольника .
9. Через вершину треугольника проведена прямая, параллельная биссектрисе угла и пересекающая продолжение стороны в точке  . Пусть — середина отрезка . Определите в каком отношении прямая делит площадь треугольника , если известно, что длина стороны равна , а сторона равна .
Ответы и указания к решению наиболее трудных задач. Задача 6.   DM || СF (рис.1). Тогда  . Из треугольника  по свойству биссектрисы имеем  . Так как FK || DM, то  . Поэтому  . Следовательно,  ,  .
Задача 7. Указание. Продолжим боковые стороны трапеции до пересечения в точке (рис.2). Тогда в треугольнике отрезок является и биссектрисой, и высотой. Поэтому   , а так как  , то  и  . Пусть площадь треугольника  . Тогда S∆ABE = S∆BME. Из подобия треугольников  и следует, что S∆CDM = (1/4)2 ·S∆ABM =S . Тогда  .
Задача 8. Указание. Проведем DK || BC (рис.3). Так как  , то  . В условии задано, что  , поэтому  . Рассматривая треугольники  и  , получаем, что они равны. Следовательно, треугольник равнобедренный, так как отрезок является и медианой и биссектрисой. В результате получаем:  , S∆ABD = =(1/2) ·a·(3/4) ·b=(3/8)ab , S∆ABC = 2· S∆ABD =(3/4) ab.
Задача 9. Указание. Проведем EM || BC (рис.4). Из условия, что отрезок параллелен биссектрисе угла , следует  . Поэтому  . Далее из подобия треугольников  и  получаем  ,  , откуда  . В результате S∆ACK : S∆ABC = CK : BK = b : (a+b).жүктеу/скачать 103.3 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|
. По теореме Пифагора 
. 
(рисунок 5). 
. Поэтому 
. По теореме Пифагора
. 
, а это противоречит условию. Значит, предположение неверно. 
.
, а значит, точки 
. Построим треугольник 
— биссектриса.
и меньше 
. Проведем окружности с центром 
. Эти окружности пересекутся в точке 
. Тогда биссектриса внешнего угла пересекает продолжение стороны 
, 
. Тогда треугольники ABE и BCF подобны как прямоугольные, у которых 
. Отсюда 
. Кроме этого и треугольники AEK и CFK подобны как прямоугольные с общим острым углом. Отсюда 
. Поэтому 
или 
. Поэтому для ответа на поставленный вопрос можно найти множество 
всех точек 
, вдоль которого летит бомбардировщик, мы сможем определить точку пересечения 
. Соединим ее отрезками с точками 
и 
(рисунок 9). Поскольку 
не равно 
, то биссектриса угла 
и 
. По свойству биссектрис внутреннего угла треугольника получаем 
. Следовательно, положение точки 
, а поэтому положение точки 
прямой (рисунок 10), то точка 
. 
. 
в точке 
в точке 
, откуда 
. Это означает, что точка 
и поэтому равноудалена от его вершин 
, откуда получаем 
. 
. 
, 
. Обозначим координаты произвольной точки 
.
, 
. 
и радиусом 
. 
б) ; 
. 
— равнобедренный; 
подобен треугольнику 
.
- – равнобедренный;