Даже не неправильно Виттен о 2+1-мерной гравитации

Даже не неправильно

Виттен о 2+1-мерной гравитации

Виттен начал со своей мотивации: изучить полностью квантовые черные дыры в точно решаемой игрушечной модели. Нет никаких точно решаемых моделей в 3+1, а 1+1 слишком просто, так что остается 2+1. Принимая 2+1, для положительной космологической постоянной Λ, он подозревает, что теория является непертурбативно нестабильной и нельзя получить точных наблюдаемых, для Λ =0 нет черных дыр, так что остается отрицательное значение Λ, здесь вакуумным решением является анти-де-ситтерово пространство, AdS₃.

Квантовая гравитация в AdS₃ связана с 2-мерной конформной теорией поля. Имели место исследования AdS₃/CFT₂ как низшей версии струнно-калибровочной дуальности, но здесь Виттен использует не теорию струн на AdS₃, а квантовую теорию поля. После доклада кто-то спросил о теории струн, Виттен отметил только, что возможно то, о чем он должен говорить, может быть вложено в теорию струн, и что недавняя статья Грина и др., показывающая, что нельзя получить чистую супергравитацию как предел теории струн, не применима в 3-мерии. Если Вы хотите интерпретировать эту новую работу в свете войны теорий LQG/string, стоит отметить, что используемая здесь техника выражения гравитации в терминах переменных калибровочной теории в надежде проквантовать ее в этих переменных вместо того, чтобы использовать струны, является одной из центральных идей в программе LQG, направленной на квантование 3+1-гравитации. Виттен в то же время тщательно указывал, что не существует 3+1-мерного аналога того, что он делает, утверждая, что нельзя ковариантно выразить гравитацию в терминах калибровочной теории в 3+1 (он сказал, что LQG делает это нековариантно).

При отрицательных Λ теория имеет решения в виде так называемых черных дыр BTZ, обнаруженных Банадосом, Тейтельбоймом и Занелли еще в 1992 г., именно для квантовой теории этих черных дыр Виттен пытается найти точное решение. Техника, которую он использует, восходит к 80-м годам, и заключается в выражении теории в терминах SO(2,1) калибровочной теории (или ее двойного накрытия SL(2, R)) , где действие становится действием Черна-Саймонса. Более точно, действие Эйнштейна-Гильберта

(здесь космологическая постоянная ) переписывается как SO(2,2) =SO (2,1) х SO (2,1) калибровочная теория со связностью

где — 3х3 матрица (спиновая связность), e ─ триплет векторов, а действие калибровочной теории есть действие Черна-Саймонса:

причем (4 здесь, возможно, не вполне правильно …).

Виттен хочет использовать связь между этим видом топологической КТП и 2-мерной конформной полевой теорией, которую он сначала исследовал в нескольких контекстах (включая тот, который принес ему медаль Филдса в конце восьмидесятых). Он отмечает, что в этом контексте существование левой и правой симметрий Вирасоро с центральными зарядами было впервые обнаружено Брауном и Энно еще в 1986 г., и он ссылается на это открытие как на первое свидетельство AdS/CFT соответствия. Если у Вас действительно имеется описание CFT, ожидается, что центральные заряды не могут изменяться непрерывно, напротив, 2+1 гравитация будет иметь смысл только при определенных значениях , но Виттен отмечает, что нет никакого строгого способа найти правильные значения, к которым приводит квантование.

Он затем продолжает и делает "предположение", добавляя к действию число, кратное инварианту Черна-Саймонса спиновой связности

Теперь теория зависит от двух параметров: и целое число .

Используя тот факт, что SO(2,2) =SO (2,1) х SO (2,1), можно переписать полное действие в виде суммы двух членов Черна-Саймонса:

для связностей

Теперь вместо и мы имеем и они квантуются, если мы относимся к калибровочной теории серьезно. Сшивая поле Черна-Саймонса и гравитацию, получаем, что центральные заряды оказываются равными

и голоморфная факторизация возможна в 2-мерной CFT только при этих значениях.

Cмотря только на голоморфную часть, мы имеем голоморфную CFT с центральным зарядом и энергией основного состояния (заметьте, что теперь k другое, чем было прежде …).

Функция распределения, как ожидается, будет иметь вид ():

Виттен продолжает, замечая, что это выражение не является модулярно инвариантным, так что следует ожидать других членов в произведении, соответствующих другим первичным состояниям. Из аргумента, который я не понял, он утверждал, что они будут иметь порядок , при энергиях на выше, чем энергия основного состояния, и его предложение состояло в том, что эта модулярно инвариантная функция включает состояния черной дыры.

В этих единицах минимальная масса черной дыры будет , но здесь мы получаем состояния только массы и выше. Это происходит, потому что энтропия Бекенстейна-Хокинга черной дыры равна 0, таким образом она не вносит вклада в функцию распределения.

Виттен утверждал, что это предложение дает вырождение состояний, которое согласуется с формулой энтропии Бекенстейна-Хокинга. Как пример, для функция распределения дается известной J-функцией

и таким образом, для черной дыры массы 2 число первичных частиц будет 196883, а энтропия будет ln (196883) =12.19, что можно сравнить с квазиклассическим предсказанием Бекенстейна-Хокинга 12.57 (ожидается согласие только для больших k, M).

Число 196883 известно как наинизшая размерность неприводимого представления группы монстра, и эта функция распределения известна как имеющая коэффициенты, которые дают размерности других неприводимых представлений (”модулярная фантазия”). Есть гипотеза, что существует единственная CFT с этой функцией распределения. Если это так, это должна быть CFT, которая в качестве своей группы автоморфизмов имеет группу монстра. Всегда казалось странным, что эта очень специальная CFT не соответствует какой-то особенной физической системе, но если Виттен прав, то теперь она имеет интерпретацию в терминах квантовой теории черных дыр в 2+1 измерениях.

Так или иначе, это все, что я был в состоянии понять, о том, что говорил Виттен, и чего он требовал. Другие люди работали над этой проблемой в прошлом, в качестве недавней обзорной статьи по этой теме см. Carlip здесь. Carlip описывает понимание проблемы как “очень неполное”, и в качестве одного из объяснений, он описывает связь проблемы черной дыры с теорией Лиувилля. После доклада из аудитории прозвучал вопрос об этом, и Виттен указал, что как он думает, объяснение на основе теории Лиувилля не работает.

Я здесь никакой не эксперт, отсюда неясность деталей, почему некоторые из этих вещей могли бы быть верны, и каковы могли бы быть применения, но это действительно кажется замечательной новой идеей, использующей красивую математику, и кажется, обеспечивающей многообещающее понимание для критической игрушечной модели в низших размерностях. Я подозреваю, что это привлечет большое внимание теоретиков в будущем.

По отношению к этой заметке я особенно поощряю любые комментарии от людей более знающих, чем я сам и могущих поправить все, что я изложил неправильно. Я также настоятельно рекомендую людям, которые мало знают об этом, воздержаться от комментариев, которые добавят шума и неправильной информации. Достаточно плохо уже то, что я пытаюсь дать информацию о том, в чем я неопытен; если Вы можете помочь, это здорово, но в противном случае, пожалуйста не делайте это еще хуже …

Физика высоких энергий - Теория

Название: Трехмерная повторно посещенная гравитация

Авторы: Эдвард Виттен

(Помещено 22 июня 2007)

Предметы: Физика высоких энергий - Теория (hep-th)

Цитируйте как: arXiv:0706.3359v1 [hep-th]

История подачи