Элективный курс «Абсолютная величина (модуль)»

средняя общеобразовательная школа с.Ошторма Юмья

Согласовано Утверждено

на заседании УМО на заседании экспертной

учителей математики комиссии

Протокол № 1 от _________ Протокол № __________

Руководитель УМО: Председатель экспертной

____________ Гилязева М.М. группы:

_________ Садикова А.Р.
Элективный курс

«Абсолютная величина (модуль)»

( Учебный курс профильной подготовки для учащихся 10-х классов, 34 часа)

Учитель математики Васильева В.А.

I квалификационной категории

2008 г.
Пояснительная записка

Понятие абсолютной величины (модуля) является одной из важнейших характеристик числа как в области действительных, так и в области комплексных чисел.

Это понятие широко применяется не только в различных разделах школьного курса математики, но и в курсах математики, физики и технических наук, изучаемых в вузах. Например, в теории приближенных вычислений используются понятия абсолютной и относительной погрешности приближенного числа. В механике и геометрии изучаются понятия вектора и его длины (модуля векто­ра). В математическом анализе понятие абсолютной величины чис­ла содержится в определениях таких основных понятий, как пре­дел, ограниченная функция и др. Задачи, связанные с абсолютными величинами, часто встречаются на математических олимпиадах, вступительных экзаменах в вузы, ЕГЭ.

Программой школьного курса математики не предусмотре­ны обобщение и систематизация знаний о модулях, их свойствах, полученных учащимися за весь период обучения. Это позволит сделать программа «Абсолютная величина действительного числа».

Курс рассчитан на профильную подготовку учащихся 10 классов общеобразова­тельных школ, проявляющих интерес к изучению математики.

Курс позволит школьникам систематизировать, расширить и укрепить знания, связанные с абсолютной величиной, подгото­виться для дальнейшего изучения тем, использующих это понятие, научиться решать разнообразные задачи различной сложности, способствует выработке и закреплению навыков работы на компь­ютере.

Учителю курс поможет наиболее качественно подготовить учащихся к математическим олимпиадам, сдаче ЕГЭ, экзаменов при поступлении в вузы.

Программа элективного курса предполагает знакомство с теорией и практикой рассматриваемых вопросов и рассчитана на 34 часа.

Содержание курса состоит из восьми разделов, включая введе­ние и итоговое занятие.

В процессе изучения данного курса предполагается исполь­зование различных методов активизации познавательной деятель­ности школьников, а также различных форм организации их само­стоятельной работы.

Результатом освоения программы курса является представ­ление школьниками творческих индивидуальных и групповых ра­бот на итоговом занятии.

Цели курса: обобщение и систематизация, расширение и углубление знаний по теме абсолютная величина, обретение практи­ческих навыков выполнения заданий с модулем, повышение уровня ма­тематической подготовки школьников.

Задачи курса

— вооружить учащихся системой знаний по теме абсолютная величина;

— сформировать навыки применения данных знаний при ре­шении разнообразных задач различной сложности;

— подготовить учащихся к ЕГЭ;

— сформировать навыки самостоятельной работы, работы в малых группах;

— сформировать навыки работы со справочной литературой, с компьютером;

— сформировать умения и навыки исследовательской работы;

— способствовать развитию алгоритмического мышления уча­щихся;

— способствовать формированию познавательного интереса к

математике.

• определение абсолютной величины действительного числа;

• правила построения графиков функций, содержащих знак абсолютной величины;

• алгоритмы решения уравнений, неравенств, систем уравне­ний и неравенств, содержащих переменную под знаком мо­дуля.

Уметь:

• применять определение, свойства абсолютной величины действительного числа к решению конкретных задач;

• читать и строить графики функций, аналитическое выраже­ние которых содержит знак абсолютной величины;

• решать уравнения, неравенства, системы уравнений и нера­венств, содержащих переменную под знаком модуля.

Цели и задачи элективного курса. Вопросы, рассматривае­мые в курсе и его структура. Знакомство с литературой, темами творческих работ. Требования, предъявляемые к участникам курса. Аукцион «Что я знаю об абсолютной величине».

Абсолютная величина действительного числа а. Модули проти­воположных чисел. Геометрическая интерпретация понятия |а|. Модуль суммы и модуль разности конечного числа действительных чисел. Модуль разности модулей двух чисел. Модуль произведения и мо­дуль частного. Операции над абсолютными величинами. Упрощение выражений, содержащих переменную под знаком модуля. Приме­нение свойств модуля при решении олимпиадных задач.

Правила и алгоритмы построения графиков функций, аналитическое выражение которых содержит знак модуля. Графики функций y=f |х|,

y=f (-|x|), y=|f(x)|, y= |f |х||, |у| =f(x), где f(х) ≥ 0, | у| = |f (х)|. Графики некоторых простейших функций, заданных явно и неявно, аналитическое выражение кото­рых содержит знак модуля. Графики функций, аналитическое вы­ражение которых содержит знак абсолютной величины в олимпи­адных заданиях.

4. Уравнения, содержащие абсолютные величины (11 ч).

Основные методы решения уравнений с модулем. Раскры­тие модуля по определению, переход от исходного уравнения к равносильной системе, возведение в квадрат обеих частей уравне­ния, метод интервалов, графический метод, использование свойств абсолютной величины. Уравнения вида | f(х)| = a, f\x\ = а, где а R; |f(x)| = g (х) и | f(х)| = | g (x) |. Метод замены переменных при решении уравнений, содержащих абсолютные величины. Метод интервалов при решении уравнений, содержащих абсолютные вели­чины. Уравнения вида |f₁ (х)| ± |f₂ (х)| ±.. .±|f_n (х)| = а, где а е R, |f₁ (х)| ± |f₂ (х)| ±.. .± |f_n (х)| = g (x). Способ последовательного раскрытия модуля при решении уравнений, содержащих «модуль в модуле». Графическое решение уравнений, содержащих абсолют­ные величины. Использование свойств абсолютной величины при решении уравнений. Уравнения с параметрами, содержащие абсо­лютные величины. Защита решенных заданий ЕГЭ.

Неравенства с одним неизвестным. Основные методы ре­шения неравенств с модулем. Неравенства вида |f(x)| > _{ ≥ ≤} а , где а R.. Неравенства вида |f(x)| >_{ ≥ ≤} g(x), |f(x)| >_{ ≥ ≤} |g(x)|. Метод интерва­лов при решении неравенств, содержащих знак модуля. Неравенст­ва с параметрами, содержащие абсолютные величины.

• уметь применять определение, свойства абсолютной величины действительного числа к решению конкретных задач;

• читать и строить графики функций, аналитическое выраже­ние которых содержит знак абсолютной величины;

• решать уравнения, неравенства, системы уравнений и нера­венств, содержащих переменную под знаком модуля.

1. 
   С.И.Колесникова «Решение сложных задач ЕГЭ» 300 задач с подробным решением. Издательство Москва Айрис пресс 2005 год.
   
2. 
   Г.А.Воронина Практическое руководство для учителя «Элективные курсы» Издательство Москва Айрис пресс 2006 год
   
3. 
   М.И.Сканави Сборник задач по математике М.: ОНИКС, 2006
   
4. 
   Электронный учебник «Алгебра 7 – 11»
   
5. 
   Олехник С.Н. и др. Уравнения и неравенства. Нестандартные методы
   

2. А.Г. Мордкович. Алгебра 9. Углубленное изучение. Учебник.

3. А.Г. Мордкович. Алгебра 9. Углубленное изучение. Задачник.

4. Галицкий М.Л. и др. Сборник задач по алгебре 8 – 9 кл. – М.:

Просвещение, 1995.

5. Электронный учебник «Алгебра 7 – 11»

Вариант – 1.

1. 
   |5х + 3| = 1
   
2. 
   |2х + 5| + |2х – 3| = 8
   
3. 
   |х² + 2х| – |2 – х| = |х ²- х|
   
4. 
   1 ≤ |3х – 2| ≤ 2
   
5. 
   х² - 2|х| – 8 ≥ 0
   
6. 
   |(3х + 1)(х – 3)| ≤ 3
   

Вариант – 2.

1. 
   |2х - 3| = 1
   
2. 
   |х - 5| + |2х –6| = 7
   
3. 
   |х² + 3х| – |4 – х| = |х ²- х|
   
4. 
   1 ≤ |2х – 1| ≤ 2
   
5. 
   х² - 5|х| – 4 ≥ 0
   
6. 
   |(2х + 1)(х – 5)| ≤ 3
   

Решите уравнения и неравенства

2) | x|² - 4 < 0 Ответ:

3) |x|² - 4 > 0 Ответ:
Б. 1) |x|² - 3|x| ≥ 0 Ответ:

2) |x|² - 3|x| > 0 Ответ:

3) |x|² - 3|x| ≤ 0 Ответ:

4) |x|² - 3|x| < 0 Ответ:

В. 1) x² - 2x + | x| = 0 Ответ:

2) x² - 2x + | x| < 0 Ответ:

3) x² - 2x + | x| > 0 Ответ:
Г. 1) |x² - 2x| + x = 0 Ответ:

2) |x² - 2x| + x < 0 Ответ:

3) |x² - 2x| + x > 0 Ответ:

3. Карточки – задания на построения графиков, содержащих модуль.
Вариант - 1

Постройте графики функций.

у = - |x| y = - |x + 1| y = ||x + 1| - 1|

у у у

0 х 0 х 0 х

Вариант - 2

Постройте графики функций.

у = - |x - 1| y = 1- |x + 1| y = |x + 1| - 1

0 х 0 х 0 у

Вариант – 1.

а) у = |x² - 5x + 6| = 0

б) |(x - 2)² - 3| = 0

в) |x² - 3| = 0

Вариант – 2

а) у = |x² - 7x + 10| = 0

б) |(x + 2)² - 4| = 0

в) |x² + 5| = 0

5. Неравенства с двумя переменными, содержащими модуль, на координатной плоскости.

Вариант – 1. Вариант - 2

а) ху ≥ 4 а) ху ≤ - 4

б) |xy| ≤ 4 б) |xy| ≥ 4

в) х |у| ≤ 4 в) у |х| ≤ 4
6. Контрольная работа по элективным курсам.

1. 
   Решите уравнение:
   

б) х | 3х + 5| = 3х² + 4х + 3;

в) |х – 2 | = 3 |х + 1|;

г) |х + 1| + |х – 2| = 2х + 4;

д) |2х – 6| - |2х – 3| = 3.
2. Решите неравенство:

а) х – 2 ≥ 1;

б) |х² - х | < | 3 – х | + | х² - 3 |.

• 
  Построить графики функций и указать виды преобразований:
  

2. ;

3. .

• 
  Повторить алгоритм построения графика функции .
  
• 
  Записать алгоритмы построения графиков функций: , .
  

• 
  Построить графики функций:
  

2. ;

3. .

1. Постройте график функции: а) у=׀х+1׀- 2;

б) у=3׀х-2׀.

2. Решите уравнения:

а) ׀2х-3׀=5;

б) ׀3х²-2х-7׀=5-3х;

в) ׀х+2׀- ׀3х-4׀+ ׀2х+7׀-х =׀х+5׀.

3. Решите неравенство:

а ) ׀3х-11׀<7;

б) ׀2х+1׀>х²-3х-4.

1. Постройте график функции:

а) у=׀х+2׀-3;

б) у=-2׀х׀+1.

2. Решите уравнения:

а) ׀2-3,5х׀=6,2;

б) ׀5-3х׀=3х²-2х-7;

в) ׀х-1׀+ ׀х-2׀ =׀х-3+4׀.

3. Решите неравенство: