Генетические алгоритмы в задачах формирования портфеля инновационных проектов

Генетические алгоритмы в задачах формирования портфеля инновационных проектов^*

где – вектор решений, F – область допустимых решений, S – вся область поиска. В качестве ограничений выступают q неравенств и m-q равенств. Функция обычно называется функцией соответствия. Функция соответствия и ограничения могут быть как линейными, так и нелинейными. Вектор , удовлетворяющий всем ограничениям, называется допустимым решением. Множество всех допустимых решений составляет область допустимых решений. Задачу оптимизации можно сформулировать следующим образом: найти , такой что .

Математическая модель задачи формирования портфеля инновационных проектов определяется следующим образом.

Известны исходные данные:

Введем переменную, отражающую решение о включении j-го проекта Агента в портфель.

Данная функция соответствия означает, что необходимо добиться максимального эффекта от выбранного портфеля проектов. При этом экспертная оценка у проектов должна быть максимальной, а репутация Агентов наилучшей.

Введем следующие ограничения:

1. 
   Ограничение на общий бюджет. Совокупность стоимостей проектов не должна превышать общий бюджет Центра.
   

2. 
   Ограничение на бюджет, доступный отдельному Агенту. Совокупность стоимостей проектов Агента не должна превышать эту сумму.
   

3. 
   Ограничение на бюджет, доступный в определенный период. Совокупность стоимостей проектов, выполняющихся в этот период не должна превышать эту сумму.
   

4. 
   Ограничение по времени завершения проектов. Все проекты должны быть завершены в планируемом периоде.
   

5. 
   Ограничение по зависимости проектов друг от друга. Если проект может начаться только после выполнения другого (других проектов), то должно выполняться это условие.
   

6. 
   Другие ограничения. По плану проект должен начаться только однажды.
   

Проекты, входящие в множество S₀ должны быть выполнены в период l; проекты, входящие в множество S_d не должны попасть в портфель.

Задача формирования портфеля инновационных проектов является комбинаторной, а ее сложность экспоненциально растет с увеличение числа проектов или расширением горизонта планирования. Поэтому для решения этой задачи целесообразно применить генетические алгоритмы, которые успешно работают с большим объемом данных, способны решать комбинаторные задачи и достаточно гибки для учета всех возможных факторов и критериев.

Хромосома для использования в генетическом алгоритме будет иметь следующий вид (табл. 1).

Общая структура хромосомы для использования в генетическом алгоритме формирования оптимального портфеля инновационных проектов

N1			N2			…	NS
	…			…				…
	…			…				…

Здесь N₁…N_S – Агенты. X_ij – переменная, обозначающая выбран i-ый проект j-го Агента или нет. Y_ij – значение, указывающее период начала выполнения i-го проекта j-го Агента, находит в диапазоне от 0 до T-D_ij+1.

В результате анализа отечественных и зарубежных источников, посвященных вопросу учета ограничений в генетических алгоритмах, было выделено несколько возможных подходов. Эти подходы могут быть объединены в 4 группы.

Группа 1. Методы, основанные на штрафных функциях: метод «смертельных» штрафов, статические штрафы, динамические штрафы, штрафы на основе метода отжига, адаптивные штрафы, сегрегированный ГА, штрафы на основе метода коэволюции.

Группа 2. Методы, основанные на поиске пригодных индивидов: восстановление недопустимых индивидов к допустимым и т.п.

Группа 3. Методы, основанные на сохранении допустимости индивидов: система GENOCOP, декодирование индивидов.

Группа 4. Гибридные методы.

Упомянутые методы разрабатывались и использовались для решения задач линейной и нелинейной оптимизации, для работы с бинарным, целочисленным и вещественным представлением хромосомы. Поэтому не все они подходят для рассматриваемого случая.

Для проведения исследования был выбран метод «смертельных» штрафов, т.е. метод, в котором недопустимые индивиды отбрасываются, метод штрафных функций со статическими и динамическими штрафами, сегрегированный генетический алгоритм, метод восстановления недопустимых индивидов к допустимым. Остальные методы либо не подходят по упомянутым выше причинам, либо являются подмножеством выбранных методов.

Для исследования штрафных функций со статическими штрафами был выбран метод, предложенный Кури Моралесом (Kuri Morales) и Кузеда (Quezada) в [2]. В этом методе функция соответствия вычисляется следующим образом:

где s – количество соблюденных ограничений, m – общее количество ограничений. Ограничениями могут быть равенства или неравенства. K – большое положительное число. K должно быть таким, чтобы функция соответствия для недопустимых индивидов была значительно меньше функции соответствия допустимых индивидов. Особенность данного метода состоит в том, что он использует не величину, на которое нарушено ограничение, а количество нарушенных ограничений. Для рассматриваемого примера подойдет K=100.

Для исследования штрафных функций с динамическими штрафами был выбран метод, предложенный Джонсом (Jones) и Хоуком (Houck) в [3]. Они ввели следующую динамическую функцию для определения функции соответствия индивида во время итерации t:

, (11)

где , и – константы, определяемые исследователем. Авторы метода использовали , и . определена следующим образом:

Данный метод увеличивает размер штрафа в зависимости от номера поколения. Качество работы данного метода чувствительно к изменению параметров и . При этом авторы не указывают способ выбора данных параметров, а также не определяют чувствительность метода к изменению параметра . Джонс и Хоук отмечают, что наилучшие результаты удалось достичь при использовании следующих параметров: , . Эти параметры были использованы для исследования метода динамических штрафов применительно к рассматриваемой задаче.

Сегрегированный генетический алгоритм был представлен Ле Ришем (Le Riche) в [4]. В данном методе используется два штрафа и в двух разных популяциях. Цель – попытаться избежать проблемы слишком больших или слишком малых штрафов. Для этого и используется две популяции, функция соответствия в которых рассчитывается с использованием малого и большого штрафов. Алгоритм работы метода следующий:

1. 
   Инициализировать начальную популяцию размером 2´«размер популяции».
   
2. 
   Определить две штрафные функции и .
   
3. 
   Для каждого индивида рассчитать обе штрафные функции.
   
4. 
   Создать два ранжированных по штрафам списка.
   
5. 
   Объединить два ранжированных списка в один размером «размер популяции».
   
6. 
   Применить генетические операторы.
   
7. 
   Рассчитать обе штрафные функции для новой популяции.
   
8. 
   Из старой и новой популяции создать две популяции размером «размер популяции» каждая.
   
9. 
   Перейти к шагу 5.
   

Для тестирования сегрегированного генетического алгоритма будем использовать метод статических штрафных функций Кури Моралеса и Кузеда, описанный ранее. Также для объединения двух популяций в одну кроме стандартных операторов, определенных ниже, будем использовать оригинальный метод, предложенный Ле Ришем, который можно определить как стратегия элитизма с коэффициентом 0,5, т.е. в следующую популяцию попадают по половине лучших особей из двух исходных популяций.

Метод восстановления недопустимых индивидов к допустимым основан на функции, которая способна привести непригодный по ограничениям индивид к пригодному путем изменения его хромосомы. Особенность метода состоит в том, что функции восстановления могут существенно различаться, соответственно может существенно различаться эффективность работы алгоритма. В качестве еще одной особенности можно отметить то, что некоторая часть восстановленных индивидов может заменять родителей в популяции. Процент таких индивидов может варьироваться от 0% до 100%. Орвош (Orvosh) и Дэвис (Davis) в [5] определили так называемое правило 5%, в соответствии с которым наибольшую эффективность алгоритм имеет тогда, когда 5% восстановленных особей заменяют своих родителей в популяции. Для исследования данного метода будем использовать правило 5%, а также функцию восстановления, которая поочередно исключает из непригодного индивида случайный проект до тех пор, пока он не станет пригодным.

При выборе операторов генетического алгоритма необходимо обеспечить возможность исследования различных стратегий выбора индивидов для скрещивания и для перехода в следующую популяцию, а также адаптацию операторов кроссовера и мутации к особенностям рассматриваемой задачи.

В задаче формирования портфеля инновационных проектов изменению подвергается факт включения проекта в портфель, а также время начала исполнения проекта, поэтому при кроссовере и мутации необходимо выполнять операции не с отдельным битом хромосомы, а с участком хромосомы, отвечающей за проект. Таким образом, точка разрыва хромосомы должна всегда приходиться на границу двух проектов, а мутация должна осуществляться над проектом: если проект включен в портфель, то исключить его, иначе выбрать случайное время начала проекта.

Для исследования различных стратегий выбора индивида в качестве оператора выбора родителей использовались метод рулетки, панмиксия, инбридинг, аутбридинг; в качестве оператора отбора особей в новую популяцию использовались отбор усечением, метод Больцмана, стратегия элитизма + новые особи, стратегия элитизма + метод Больцмана. В качестве метрики различия индивидов для использования в операторах инбридинга и аутбридинга использовалось расстояние Хэмминга, которое определяется как число различающихся разрядов в бинарной хромосоме.

Генетические алгоритмы оценивались по следующим критериям: время выполнения алгоритма, соответствие полеченного результата абсолютному максимуму.

Параметры генетического алгоритма были следующие: количество поколений – 1000, количество особей в поколении – 20, вероятность мутации – 0,1, вероятность кроссовера – 0,8, кроссовер одноточечный, для отбора усечением порог 0,8, коэффициент элитизма – 0,1. Количество итераций при тестировании – 100. Количество проектов в тестовой модели – 5, количество Агентов – 2, горизонт планирования – 12 месяцев.

Как показало исследование среди выбранных методов лучше всего справляется с задачей поиска абсолютного максимума метод «смертельных» штрафов (эффективность 80%, время выполнения 23,3588 сек.), вторым по эффективности является метод восстановления недопустимых индивидов к допустимым (эффективность 79%, время выполнения 30,2101 сек.). Методы, основанные на штрафных функциях, и сегрегированный генетический алгоритм не показали достаточно хороших результатов. Возможно, это объясняется тем, что в задаче велико количество ограничений. По-видимому, для данного типа задач наиболее важно максимально расширить область поиска. В этом случае увеличивается вероятность попадания в абсолютный максимум. Об этом говорит тот факт, что наилучшие результаты были достигнуты при применении в качестве оператора выбора родителей аутбридинга, а в качестве оператора отбора особей в новую популяцию стратегии элитизма в совокупности с генерацией новых индивидов. Аутбридинг и ввод новых индивидов в популяцию нацелены на расширение области поиска, а стратегия элитизма способствует закреплению найденных хороших индивидов. Следует также отметить, что достаточно хорошие результаты были получены для метода восстановления при использовании рулеточного отбора для определения родительской пары в совокупности с той же стратегией элитизма и генерацией новых индивидов (эффективность 70%, время выполнения 29,6522 сек.).

Среди исследованных методов наилучшим как по скорости, так и по эффективности оказался метод «смертельных» штрафов с аутбридингом в качестве оператора выбора родителей, использованием стратегии элитизма и генерацией новых особей для формирования следующего поколения. Для определения оптимальных параметров для данного метода было проведено исследование, в ходе которого менялись вероятность кроссовера, вероятность мутации и коэффициент элитизма.

На начальном этапе исследования было определено влияние коэффициента элитизма на эффективность работы метода. Результаты представлены на рисунках 1 и 2.



Рис.1. Зависимость времени исполнения от коэффициента элитизма


Рис.2. Зависимость эффективности алгоритма от коэффициента элитизма
Как видно из приведенных результатов, наибольшего эффекта метод достигает при коэффициенте элитизма от 0,2 до 0,4, далее процент попадания в абсолютный максимум падает. Однако при малых значениях коэффициента элитизма алгоритм выполняется дольше всего. Поэтому для дальнейшего исследования было выбрано крайнее значение коэффициента 0,4, при котором эффективность высока, а время выполнения наименьшее.

На рисунках 3 и 4 представлены результаты исследования влияния вероятности мутации и кроссовера на время исполнения и эффективность метода при коэффициенте элитизма 0,4.

Количество поколений во всех упомянутых экспериментах было равно 1000. Для определения распределения номера поколения, в котором впервые появился абсолютный максимум был проведен эксперимент, состоящий из 100 запусков алгоритма при вероятности мутации 0,2, вероятности кроссовера 1 и коэффициенте элитизма 0,4, результаты которого представлены на рисунке 5.

Из приведенной диаграммы видно, что в 50% случаев абсолютный максимум был получен в течение первых 250 поколений. В течение 500 первых поколений абсолютный максимум найден уже почти в 80% случаев, а уменьшение количества поколений с 1000 до 750 практически никак не повлияет на результативность метода. При этом выигрыш во времени составит 23% для 750 поколений и 47% для 500 поколений.

1. 
   Лябах Н.Н., Денисов А.В. Алгоритмическое, математическое, информационное обеспечение формирования портфеля инновационных проектов // Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Технические науки. –№1, 2009.
   
2. 
   Morales K.A., Quezada C.C. A Universal eclectic genetic algorithm for constrained optimization // Proceedings 6th European Congress on Intelligent Techniques & Soft Computing, EUFIT'98, 1998. –P.518-522
   
3. 
   Joines J., Houck C. On the use of non-stationary penalty functions to solve non-linear constrained optimization problems with Gas // Proceedings of the First IEEE International Conference on Evolutionary Computation, IEEE Press, 1994. – P.579-584.
   
4. 
   Le Riche L.R., Knopf-Lenior C., Haftka R.T. A Segregated genetic algorithm for constrained structural optimization // Proceedings of the Sixth International Conference on Genetic Algorithms, Morgan Kaufmann, 1995. – P.558-565
   
5. 
   Orvosh D., Davis L. Shall We Repair? Genetic Algorithms, Combinatorial Optimization, and Feasibility Constraints // Proceedings of the Fifth International Conference on Genetic Algorithms, Morgan Kaufmann, San Mateo, CA, 1993.