Геометрия и тригонометрия на плоскости Минковского М. Г. Иванов
жүктеу/скачать 0.59 Mb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- Алгебраическая точка зрения
- Механическая (нерелятивистская) точка зрения
- Окружность, гипербола и расстояние
- Базисные векторы и годографы
- Круговой угол
- Гиперболический угол (быстрота)
- Механическая (релятивистская) точка зрения
- Движущийся наблюдатель
| Геометрия и тригонометрия на плоскости Минковского
М.Г. Иванов МФТИ. Кафедра теоретической физики. Специальная теория относительности (СТО) — очень геометрическая теория. Мы обсудим часть этой геометричности, рассмотрев аналогию между обычной (круговой) и гиперболической тригонометрией. Ведь даже в обычной кинематике, прежде чем рассматривать повороты в пространстве, изучают плоские повороты, а геометрия в учебниках обычно предшествует стереометрии, так и мы, прежде чем переходить к пространству-времени Минковского, начнём с рассмотрения плоскости Минковского. Алгебраическая точка зрения Итак, у нас есть замечательная функция экспонента, производная от которой совпадает с самой экспонентой. 
Чётная часть экспоненты — гиперболический косинус: 
Нечётная — гиперболический синус, их отношение — гиперболический тангенс: 
При больших значениях аргумента Легко убедиться, что
Также легко проверить основное тождество гиперболической тригонометрии 
Аналогично могут быть введены и обычные тригонометрические функции: 
 
Механическая (нерелятивистская) точка зрения Тригонометрические функции (косинус и синус) можно представить как чётное и нечётное решение дифференциального уравнения
Если рассматривать Аналогично гиперболические функции (гиперболические косинус и синус) можно представить как чётное и нечётное решения дифференциального уравнения Если рассматривать В обоих случаях в силу линейности дифференциальных уравнений мы можем рассматривать Из двух параметрических кривых 
(единичная окружность, поскольку 
(правая ветвь единичной гиперболы, поскольку Закон равных площадей говорит, что приращение площади, заметаемой радиус-вектором пропорционально приращению времени. В случае единичной окружности и единичной гиперболы легко видеть, что площадь между осью Это следует из рассмотрения бесконечномалого приращения площади в нулевой момент времени (ниже мы ещё к этому вернёмся и докажем подробнее) 
Когда круговой угол Окружность, гипербола и расстояниеЕщё раз рассмотрим те же две параметрические кривые
(единичная окружность) и 
(единичная гипербола). Только теперь во втором случае мы ось Уравнения этих кривых
Это уравнения кривых второго порядка. Главное отличие между ними — появление в уравнении гиперболы знака минус. Уравнение окружности имеет хороший геометрический смысл: «геометрическое место точек удалённых на равное расстояние от начала координат». Квадрат радиуса меняется от нуля до бесконечности, при нулевом радиусе окружность сжимается в точку. Расстояние Такому определению длины соответствует скалярное произведение
Таким образом можно рассматривать и уравнение гиперболы, только вместо расстояния придётся ввести интервал. Интервал Такому определению интервала соответствует скалярное произведение 
Квадрат расстояния между двумя различными точками всегда положителен, а квадрат интервала может иметь любое значение (положительное, отрицательное, или нуль). Если квадрат интервала оказывается положительным, то интервал — это время измеренное часами, которые двигались между точками по прямой. Мы не случайно обозначили одну из координат  Чтобы формула для интервала была корректна время  и координата  должны измеряться в одинаковых единицах. Это соответствует тому, что какая-то скорость объявляется универсальным коэффициентом перевода «секунд в метры» и оказывается равна единице. Ниже мы увидим, что эту роль выполняет скорость света в вакууме.
На левом рисунке изображены концентрические окружности с квадратами радиусов Мы видим, что вместо одной единичной окружности мы получили 2 плюс-минус единичных гиперболы, состоящих, в общей сложности из 4-х ветвей. Эти 4 ветви и будут в дальнейшем играть (иногда вместе, а иногда по очереди) роль единичной окружности.
Базисные векторы и годографыВернёмся к нашим параметрическим кривым. Изобразим теперь на рисунках радиус-векторы 
и их производные по параметрам 
Векторы Таким образом, по мере того, как конец вектора Если мы возьмём В повёрнутой системе координат БустЕ Обратная матрица буста составлена из компонент единичных векторов Как определить, какой скорости соответствует это преобразование? Скорость системы отсчёта — это скорость точки, которая во все моменты времени имеет в этой (движущейся) системе отсчёта нулевые пространственные координаты. Т.е. траектория этой точки в пространстве-времени (мировая линия) — ось времени движущейся системы отсчёта. Дифференцируя вдоль направления новой оси времени (вдоль вектора 
Отсюда легко найти, что  
и записать преобразование Лоренца в более привычном виде 
 Напомним, что наличие времени в законе преобразования для координаты нет ничего нового по сравнению с классической механикой: как и в классике наклон оси времени (мировой линии начала координат) соответствует скорости. Присутствие координаты в законе преобразования времени интереснее, т.к. оно означает изменение наклона оси , а ось — множество событий одновременных с событием в начале координат. «Относительность одновременности» — это наклон оси .
В системе координат после буста Круговой уголСм. рисунок в конце раздела. Величина угла Рассмотрим бесконечномалое приращение 
Т.е. получился определитель обратной матрицы поворота умноженный на  . Определитель матрицы поворота равен  (площадь квадрата натянутого на векторы  и  ), это связано с тем, что поворот сохраняет площадь.
Приращение длины дуги равно Таким образом, оба определения угла (через площадь сектора и через длину дуги) доказаны, причём доказательства показали связь этих свойств со свойствами поворота сохранять площадь и длину.
Проделаем теперь аналогичные выкладки в гиперболическом случае. Величина угла Рассмотрим бесконечномалое приращение 
Т.е. получился определитель обратной матрицы буста умноженный на Приращение интервала вдоль дуги равно Таким образом, оба определения гиперболического угла (через площадь сектора и через интервал вдоль дуги) доказаны, причём доказательства показали связь этих свойств со свойствами буста сохранять площадь и интервал. Механическая (релятивистская) точка зренияРассмотрим те же самые кривые, изменив параметризацию и масштаб 
Здесь появился масштабный фактор Запишем в обоих случаях радиус-векторы и первые две производные от них по параметрам  
Геометрический смысл вектора Физический смысл вектора При Домножив векторы скорости Импульс оказался пропорциональным времени! Это означает, что движение происходит под действием постоянной силы 
Таким образом, гиперболическое движение является релятивистским аналогом равноускоренного движения под действием постоянной силы (чуть ниже мы углубим эту аналогию). Такое движение имеет место, например, в линейном ускорителе, где заряженная частица разгоняется вдоль прямой под действием постоянной силы создаваемой однородным электрическим полем. На рисунке изображены мировые линии равноускоренной частицы согласно классической механике (синяя парабола) и согласно СТО (красная гипербола). На классической мировой линии обозначены точки, когда частица достигает скорости света и проведены касательные в этих точках. Видно, что кривые начинают заметно расходиться только на скоростях сравнимых со скоростью света. Домножив векторы ускорения Движущийся наблюдательКак эти два движения (классическое круговое и релятивистское гиперболическое) выглядят с точки зрения наблюдателя который эти движения совершает? Если наблюдатель катается с единичной скоростью по кругу сидя на карусели, то на него всё время действует сила направленная к центру круга, т.е. перпендикулярно скорости, поэтому если наблюдатель всё время сидит лицом по ходу движения, то все моменты времени для него эквивалентны: скорость вперёд, а сила налево, абсолютные величины те же самые, а поворот векторов компенсируется поворотом самого наблюдателя. Для такого наблюдателя удобно в каждый момент времени брать новую систему отсчёта, повёрнутую так, чтобы наблюдатель оставался на оси Если наблюдатель ускоряется под действием постоянной силы вдоль прямой, то удобно в каждый момент времени брать новую систему отсчёта, такую, что чтобы наблюдатель оставался на оси 
Напомним, что релятивистская скорость с компонентами Таким образом, для нашего равноускоренного наблюдателя все моменты времени тоже оказались равноценны, а значит для него гиперболическое движение — равноускоренное.
Пусть теперь, наш наблюдатель ускоряется не сам по себе, а в ракете, которая имеет ненулевую длину. После того, как двигатели ракеты начали работать, вошли в стабильный режим, в корпусе ракеты затихли все вибрации мы можем вспомнить, что все моменты времени для равноускоренного наблюдателя равноправны, а значит для него длина ракеты должна быть постоянна. Только длину эту надо откладывать вдоль оси  
где При таком преобразовании
То же самое происходит при таком преобразовании подобия и с круговым движением: 
 Как мы знаем, при гомотетии все длины растягиваются в одинаковое число раз (в  раз). То же самое справедливо и для интервалов. Таким образом, оси и  высекают в одном случае из гипербол, а в другом случае из окружностей подобные дуги, длины (интервалы) которых различаются в раз.
Мы получили, что нос ракеты движется с меньшим ускорением, чем хвост, и время на носу течёт быстрее! Можем ли мы проверить это «на подручных материалах» не имея под рукой ракеты? За неимением ракеты попробуем обойтись высоким зданием (возьмём, к примеру, КПМ). Согласно принципу эквивалентности (это уже из общей теории относительности (ОТО)) равномерно ускоренная система и система в однородном гравитационном поле на малых расстояниях ведут себя одинаково, поэтому КПМ в гравитационном поле Земли ничуть не хуже равноускоренной ракеты в космосе. 
Удивительно, что столь ничтожное ускорение времени на крыше по сравнению с первым этажом экспериментаторы могут измерить. Неинерциальная система отсчёта Нарисуем теперь неинерциальную систему координат связанную с наблюдателем, которая в каждый момент времени по часам наблюдателя совпадает с системой, относительно которой наблюдатель неподвижен. Т.е. от каждой мгновенной системы наблюдатель берёт лишь множество одновременных ему точек — ось .
 На рисунке изображены линии постоянных значений координаты  и времени  для этой системы. Линии  — дуги гипербол.  , гиперболы на рисунке соответствуют значениям +0,5, +1, +1,5, +2, +2,5. Линии  — лучи выходящие из начала координат и имеющие коэффициент наклона от –1 до +1. Какое именно время приписать каждому из этих лучей зависит от того, чему равна координата точки, в которой находятся часы. На рисунке предполагалось, что для часов  (соответствующая гипербола выделена цветом). Лучи на рисунке соответствуют значениям времени по этим часам равным –2, –1,5, –1, –0,5, 0, +0,5, +1, +1,5, +2.  .
Почему мы ограничили диапазон изменения На этом стоит остановиться подробнее ещё и потому, что здесь снова прослеживается связь с ОТО. На этот раз мы сможем увидеть на том же рисунке некоторые свойства похожие на те, что наблюдаются вблизи «поверхности» (на самом деле это не поверхность, а «горизонт событий») чёрной дыры. Чёрная дыра — это такая область пространства-времени, что никакой сигнал (включая световой) не может выйти из неё наружу (к удалённому наблюдателю). Граница этой области — горизонт событий. С точки зрения удалённого наблюдателя (который на дыру не падает) для того, чтобы достичь горизонта событий любому предмету требуется бесконечное время, однако, наблюдатель, который сам падает в чётную дыру обнаружит, что по его часам горизонт был достигнут за конечное время. В нашем случае горизонт событий — лучи На левом рисунке изображена мировая линия равноускоренного наблюдателя и закрашены все те события, на которые он может влиять. Для прояснения картины для двух точек мировой линии изображены световые сигналы, посланные наблюдателем в разные стороны (это позволяет легче понять, как послать сигнал в любую точку закрашенной области). На правом рисунке изображена мировая линия равноускоренного наблюдателя и закрашены все те события, которые могут влиять на наблюдателя. Для прояснения картины для двух точек мировой линии изображены световые сигналы, принятые наблюдателем с разных сторон (это позволяет легче понять, как принять сигнал из любой точки закрашенной области). Из картинок видно, что на самом деле горизонтов не один, а два:
Такая же ситуация получается и при рассмотрении полного решения, описывающего чёрную дыру: там тоже два горизонта, один из которых — горизонт чёрной дыры за который можно упасть, но откуда нельзя выбраться, а другой — горизонт белой дыры, откуда можно вылететь, но куда нельзя вернуться (впрочем, белые дыры считаются неустойчивыми). Что будет если кто-то вылетев из белой дыры попробует вернуться обратно, через горизонт событий? Вместо того, чтобы вернуться в белую дыру он упадёт в чёрную. Аналогично на нашем рисунке вылетев из под линии  (пересекши линию  ) можно вернуться снова в точку, где , но это будет уже линия  .
 Рисунок откуда-то из сети жүктеу/скачать 0.59 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|
, 
, 
. (см. рисунок).
как время, то это — уравнение движения (нерелятивистского движения, описываемого обычным 2-м законом Ньютона) гармонического осциллятора (грузика на пружинке) с единичной массой и единичной жёсткостью. В этом случае при отклонении грузика от устойчивого положения равновесия (от нуля) на него действует сила равная величине отклонения и направленная в сторону положения равновесия. Эта возвращающая сила заставляет грузик колебаться около положения равновесия.
как время, то это — уравнение движения (нерелятивистского движения, описываемого обычным 2-м законом Ньютона) «неправильного» гармонического осциллятора с единичной массой и единичной жёсткостью. В этом случае при отклонении грузика от неустойчивого положения равновесия (от нуля) на него действует сила равная величине отклонения и направленная в сторону отклонения. Эта отталкивающая сила заставляет грузик экспоненциально увеличивать отклонение от положения равновесия.
и 
как векторы в двухмерном пространстве (увеличение размерности больше 2 не даст ничего нового, т.к. движение всё равно будет проходить в одной плоскости). В обоих случаях сила направлена вдоль линии проходящей через начало координат, т.е. момент силы равен нулю, и момент импульса сохраняется. Закон сохранения момента импульса для точки в центральном поле даёт закон равных площадей (аналог 2-го закона Кеплера).
и 
) могут быть получены общие решения уравнений и (в силу их линейности) с помощью растяжений (сжатий) по 
, поворота системы координат и сдвига по времени. Что такое семейство решений общее, легко убедиться подсчитав параметры.
точка бесконечное число раз пробегает окружность против часовой стрелки. Когда гиперболический угол 
между двумя точками, координаты которых различаются на 
определяется как
между двумя точками, координаты которых различаются на 
определяется как
. На правом рисунке — «концентрические гиперболы» с квадратами радиусов 
. Цветом на рисунках выделены окружности и гиперболы с нулевым или плюс-минус единичным квадратом радиуса.
). Векторы 
и 
также являются единичными (в смысле метрики Минковского 
а 
), причём 
Векторы 
).
на угол 
то получим, что первый столбец матрицы образован компонентами вектора 
то получим, что второй столбец матрицы образован компонентами вектора 
формула для длины по прежнему справедлива (только со штрихами над координатами), это следует из того, что скалярные произведения базисных векторов такие же как и в исходной системе (
). Поэтому все окружности с центром в начале координат после поворота задаются теми же уравнениями.
задаётся значением скорости (вдоль оси 
).
преобразованием Лоренца (бустом), аналог угла — 
то получим, что первый столбец матрицы образован компонентами вектора 
то получим, что второй столбец матрицы образован компонентами вектора 
получаем скорость
формула для интервала по прежнему справедлива (только со штрихами над координатами), это следует из того, что скалярные произведения базисных векторов такие же как и в исходной системе (
). Поэтому все псевдо-окружности (гиперболы) с центром в начале координат после поворота задаются теми же уравнениями.
(маленький красный вектор). Площадь выделенного сектора возрастёт на площадь бесконечномалого треугольника (нарисован серым цветом). Приращение площади сектора равно половине векторного произведения векторов 
аргумента 
(маленький синий вектор). Площадь выделенного сектора возрастёт на площадь бесконечномалого треугольника (нарисован серым цветом). Приращение площади сектора равно половине векторного произведения векторов 
(площадь ромба натянутого на векторы 
и изменились параметры. Новые параметры 
и 
— это длина траектории и интервал вдоль мировой линии. В правильности расстановки коэффициентов легко убедиться из соображений размерности: аргументы тригонометрических и гиперболических функций должны быть безразмерными, а координаты (включая время) имеют размерность длины (или времени, что то же самое). Мы можем обратить 
.
— вектор кривизны, его длина — обратная величина к радиусу кривизны (
). Если двигаться по окружности так, чтобы параметр 
— релятивистское («четырёхмерное») ускорение (аналог вектора кривизны, 
).
имеем 
, а 
. При этом все три окружности, на которых лежат концы векторов 
сливаются в одну единичную окружность, сливаются в одну единичную гиперболу и две гиперболы, на которых лежат концы векторов 
мы получим вектор импульса 
и вектор релятивистского импульса 
. Компонентами релятивистского импульса являются энергия 
и обычный механический импульс
и вектор релятивистской силы 
(2-й закон Ньютона).
как раз соответствует нулевой обычной скорости, т.к. ненулевая компонента — временная (во времени нельзя остановиться).
— длина ракеты, а 
).
время наблюдателя 
), 2) область отрицательных 
. На этих лучах 
, 
, т.е. летит к точке 