Инвестиции
жүктеу/скачать 7.35 Mb.
|
5.5 Форвардные ставки
В рассмотренном ранее примере годовая спот-ставка составила 7%. Это означает, что рынок установил приведенную стоимость $1, который будет выплачен Казначейством через один год - $1/1,07 = $0,9346. Другими словами, соответствующая процентная ставка в коэффициенте дисконтирования для приведения денежного потока через один год к его текущей стоимости равна 7%. Для упоминавшейся 8%-ной спот-ставки современная стоимость $1, который будет получен через два года, будет равна $1/1,08 = $0,8573. Для определения приведенной стоимости $1, выплачиваемого через два года, можно провести двухшаговое дисконтирование. На первом шаге определяется не приведенная стоимость этого доллара, а его стоимость через год. А именно, $1, получаемый через два года, через один год будет эквивалентен $1/(1 + f1,2). На втором шаге определяется приведенная стоимость доллара путем дисконтирования его стоимости через год по слот-ставке 7%. Таким образом, приведенная стоимость равна:
Однако эта величина должна равняться $0,8573, так как в соответствии с двухгодовой спот-ставкой сегодняшняя стоимость одного доллара, получаемого через два года, равна $0,8573. В результате получаем следующее уравнение: 
решением которого является f1,2 = 9,01%. Ставка f1,2 в коэффициенте дисконтирования называется форвардной ставкой (forward rate) от первого до второго года, т.е. это ставка в коэффициенте дисконтирования, которая используется для определения стоимости доллара через год при условии, что этот доллар будет получен через два года. В рассмотренном примере $1, получаемый через два года, эквивалентен величине $1/1,0901 = $0,9174, получаемой через один год (еще раз обратите внимание на то, что приведенная стоимость суммы в $0,9174 равна $0,9174/1,07, т.е. $0,8573). Математически связь между годовой спот-ставкой, двухгодовой спот-ставкой и годовой форвардной ставкой записывается следующим образом:
что может быть переписано так: 
или (l + s1)(l + f1,2) = (l + s2)2 (5.17)
Рисунок 5.1 иллюстрирует эти вычисления с помощью рассмотренного выше примера, а затем делается обобщение. В более общем виде для спот-ставок в годы t – 1 и t связь с форвардной ставкой между годами t – 1 и t такова:
или
 (5.19)
Но существует и другая интерпретация форвардных ставок. Рассмотрим заключаемый сейчас контракт на заем денег через год и возвращение их через два года. Такой контракт называется форвардным контрактом. Процентная ставка по одногодичному займу, указываемая сейчас в таком контракте (заметьте, что проценты должны быть выплачены по истечении контракта, т.е. через два года), будет определяться как форвардная ставка. Важно различать эту ставку и ставку по одногодичным займам, которая установится через год (спот-ставка через год). Форвардная ставка применяется к контракту, заключаемому сейчас, но относится к будущему периоду времени. После заключения контракта условия становятся неизменными, несмотря на то, что сама сделка произойдет позднее. Если вместо заключения форвардного контракта сейчас ждать наступления следующего года и затем подписывать контракт на заем денег по спот-ставкам, которые тогда установятся, то условия могут оказаться как лучше, так и хуже, чем сегодняшняя форвардная ставка, так как будущую спот-ставку невозможно точно предсказать. В рассмотренном выше примере на рынке установилась такая цена на казначейские ценные бумаги, что инвестор, покупающий ценную бумагу со сроком обращения два года, потребует процентную ставку, равную двухгодовой спот-ставке в 8%, т.е. инвестора будут устраивать следующие условия: 1) годичный заем правительства по процентной ставке, равной годовой спот-ставке в 7%; 2) форвардный контракт с правительством на заем правительством денег через год и получение их обратно через два года по форвардной процентной ставке 9,01%. Рассмотренные форвардные контракты являются неявными. Однако иногда форвардные контракты заключаются явным образом. Например, можно получить обязательство от банка на предоставление ему годичного займа, который будет возвращен через год по заранее определенной фиксированной ставке. Финансовые фьючерсные рынки (обсуждаемые в гл. 21) предоставляют стандартные форвардные контракты такого типа. Например, в сентябре можно заключить контракт, по которому требуется заплатить $970 в декабре для покупки 90-дневного казначейского векселя с выплатой $1000 в марте.
Уравнение (5.12) показывает, как может вычисляться коэффициент дисконтирования для t лет через t -летнюю спот-ставку. В частности, двухгодовой коэффициент дисконтирования, связанный с 8%-ной двухгодовой спот-ставкой, равен 1/(1 + 0,08)2 = 0,8573. Уравнение (5.17) предлагает эквивалентный метод вычисления коэффициентов дисконтирования. При вычислении двухгодового коэффициента дисконтирования необходимо воспользоваться формулой:
или
В результате коэффициент дисконтирования для года t, являющийся членом уравнения (5.12), может быть выражен следующим образом: 
Таким образом, имея набор слот-ставок, можно определить рыночную функцию дисконтирования любым из этих двух способов - результат будет одинаковый. В первом случае слот-ставки используются в уравнении (5.12) для получения набора коэффициентов дисконтирования. Во втором случае спот-ставки используются для определения набора форвардных ставок, а затем путем внесения в уравнение (5.21) спот-ставок и форвардных ставок определяется набор коэффициентов дисконтирования. 5.7 Начисление сложных процентов
До сих пор при обсуждении процентных ставок предполагалось, что выплаты процентов происходят ежегодно. Часто подобный подход является адекватным, но для более точных подсчетов желательны более короткие промежутки времени. Более того, некоторые кредиторы производят перерасчет процентов несколько раз в год. Начисление сложных процентов (compounding) – это выплата процентов на проценты. В конце каждого периода начисления процентов к основной сумме долга добавляются проценты. За следующий период проценты начисляются исходя из увеличенной суммы основного долга. Этот процесс продолжается до окончания последнего интервала такого начисления. Рассмотренные ранее формулы можно применить для расчета сложных процентов за интервалы времени, кратные одному году. Для упрощения процедуры можно вести расчеты в единицах выбранных периодов начисления. Например, доходность к погашению может быть подсчитана для любого выбранного интервала времени инвестирования. Если вклад Р долларов обернется получением F долларов через десять лет, то доходность к погашению может быть рассчитана при ежегодном начислении сложных процентов из следующего уравнения:
так как F будет получена через десять годовых периодов. Результат (ra) будет означать годовую ставку процента при ежегодном начислении сложных процентов. Аналогично доходность к погашению может быть рассчитана при полугодовом начислении сложных процентов из уравнения:
так как F будет получена через 20 полугодовых периодов. Результат (rs) будет означать полугодовую ставку при начислении сложных процентов каждые полгода. Она может быть удвоена для получения годовой ставки с полугодовым начислением. Аналогично годовая ставка (ra) при ежегодном начислении сложных процентов может быть рассчитана при вычислении ставки rs из следующего уравнения:  (5.24)
Например, рассмотрим инвестицию, стоящую $2315,97, которая принесет $5000 через десять лет. Применяя уравнения (5.22) и (5.23), получаем: 
и 
откуда получаем, что ra = 8% и rs =3,923%. Таким образом, инвестиция в данную ценную бумагу может бьпъ описана как инвестиция в банковский депозит, соответствующая или 8%-ной годовой ставке с ежегодным начислением, или полугодовой ставке 3 923% с полугодовым начислением сложных процентов, или годовой ставке 7,846% (2 х 3,923%)2 с полугодовым начислением сложных процентов. Для уменьшения проблем, возникающих вследствие большого числа методов определения процентных ставок, Федеральный закон о справедливом кредитовании (Federal Truth-in-Lending Act) требует от каждого кредитора подсчета и представления годовой процентной ставки (APR, annual percentage rate), следующей из условий контракта. Годовая процентная ставка определяется следующим образом: 1) рассчитывается доходность к погашению за период, равный периоду начисления сложных процентов. Этот период берется равным минимальному интервалу между выплатами процентов; 2) полученная процентная ставка умножается на количество периодов начисления, содержащихся в целом году. При неравной величине интервалов выплат задача усложняется, но в Федеральном законе о справедливом кредитовании эта ситуация предусмотрена, что упрощает задачу сравнения условий различных займов. Полугодовое начисление сложных процентов обычно используется при определении доходности к погашению для облигаций, так как купонные выплаты, как правило, делаются дважды в год. Большинство финансовых калькуляторов и компьютерных программ позволяют вычислять доходности к погашению при многократных годовых выплатах3.
Помимо метода, который установлен Законом о справедливом кредитовании, существуют другие методы определения процентных ставок. Традиционной процедурой является метод банковского учета (bank discount method). Если кто-нибудь берет у банка $100 взаймы на один год, то банк может сразу удержать процентные выплаты, например 8%, и выдать только $92. В соответствии с этим методом учетная ставка равна 8% номинальной суммы долга. Заемщик получает только $92, за которые он должен заплатить $8 в качестве годовых процентов. Истинная процентная ставка должна вычисляться на основе той суммы, которую заемщик получает фактически, что в нашем случае дает 8,70% ($8/$92 х 100%). Несложно найти соотношение банковской учетной ставки и истинной годовой процентной ставки. (В такой ситуации истинная процентная ставка часто называется эквивалентной доходностью облигации (bond equivalent yield).) Если банковскую учетную ставку обозначить через BDR, то истинная процентная ставка (APR) задается следующим выражением: BDR/(1 - BDR). Поскольку BDR > 0, то величина банковской учетной ставки показывает заниженную стоимость займа (так как BDR < BDR/(1 – BDR)). В последнем примере 8,70% > 8%, т.е. банковская учетная ставка оказалась меньше истинной процентной ставки по займу на 0,70%.
В каждый момент времени стоимость казначейских ценных бумаг складывается в соответствии с существующим набором спот-ставок и связанными со спот-ставками коэффициентами дисконтирования. Обычно спот-ставки для разных интервалов времени разные. Часто годовая слот-ставка меньше, чем двухгодовая, которая в свою очередь меньше, чем трехгодовая ставка, и т.д. (st увеличивается с увеличением t). В другой период годовая спот-ставка больше двухгодовой и т.д. (st уменьшается с увеличением t). Аналитик по ценным бумагам должен понимать, какая тенденция преобладает в конкретный момент, поскольку это важная отправная точка при оценке ценных бумаг с фиксированным доходом. К сожалению, дело обстоит не так просто. Только облигации правительства США, очевидно, не подвержены риску неуплаты. Однако такие облигации отличаются правилами налогообложения, способами выкупа и другими свойствами. Несмотря на эти проблемы, приблизительное соотношение доходностей к погашению по различным казначейским ценным бумагам приводится в каждом выпуске Бюллетеня Казначейства (Treasury Bulletin). Это соотношение представляется в форме графика, изображающего текущую кривую доходности (рис. 5.2). Кривая доходности (yield curve) – это график, отражающий изменения доходности к погашению казначейских ценных бумаг с различными сроками погашения в зависимости от даты погашения. Кривая доходности дает представление о временной зависимости (term structure) процентных ставок и обновляется ежедневно с изменением доходности к погашению. Рис. 5.3 иллюстрирует некоторые формы кривых доходности, наблюдавшиеся в прошлом4. Связь между доходностью и сроком, оставшимся до погашения, менее очевидна, чем это изображено на рис. 5.2. На самом деле доходность далеко не всех казначейских ценных бумаг соответствует кривой доходности. Отчасти это происходит из-за упомянутых правил налогообложения, способов выкупа и т.д., отчасти из-за того, что ставка дохода, выплачиваемая по купонным облигациям, не связана явно с существующим набором спот-ставок. Так как набор спот-ставок - основной определитель цены любой казначейской ценной бумаги, то нет причин ожидать, что все доходности к погашению лежат на кривой доходности. На самом деле более информативно было бы изображать на вертикальной оси спот-ставки, а не доходности к погашению. В связи с этим возникает два интересных вопроса: почему краткосрочные и долгосрочные спот-ставки различаются по величине и почему разница между этими ставками меняется со временем (иногда долгосрочные спот-ставки больше, а иногда краткосрочные)? Попытки ответить на эти вопросы могут быть найдены в различных теориях временной зависимости (term structure theories).
Три основные теории применяются для объяснения временной зависимости процентных ставок. При рассмотрении этих теорий особое внимание уделим временной зависимости спот-ставок, потому что именно эти ставки (а не доходности к погашению) чрезвычайно важны для определения стоимости казначейской бумаги.
Теория непредвзятых ожиданий (unbiased expectations theory), или теория чистых ожиданий (pure expectations theory), предполагает, что форвардная ставка представляет собой усредненное ожидание спот-ставки за рассматриваемый период. Таким образом, набор возрастающих спот-ставок может быть объяснен тем, что рынок (т.е. подавляющее большинство инвесторов) считает: спот-ставки в будущем будут возрастать. Наоборот, набор убывающих спот-ставок может быть объяснен рыночными ожиданиями убывания спот-ставок5.
Чтобы лучше понять эту теорию, вернемся к недавнему примеру с годовой спот-став-кой 7% и двухгодовой спот-ставкой 8%. Основной вопрос состоит в следующем: почему эти спот-ставки различны или, другими словами, почему кривая доходности возрастает? Предположим, что инвестор может инвестировать $1 на два года (будем считать, что любое количество денег может быть инвестировано под преобладающую спот-став-ку). Инвестор может инвестировать деньги на два года по спот-ставке 8%. Назовем эту стратегию «стратегией покупки до погашения» (maturity strategy). В этом случае он получит $1,1664 ($1,1664 = $1 х 1,08 х 1,08). Однако инвестор может вложить $1 на один год под спот-ставку 7% и таким образом через год получить $1,07 ($1 х 1,07) для реинвестиции во втором году. Хотя инвестор не знает, какой будет спот-ставка через один год, он может ожидать, что спот-ставка составит, например, 10% (обозначим эту величину es1,2). Тогда ожидаемая величина его двухгодовой инвестиции в $1 будет равна $1,177 ($1 х 1,07 х 1,1). В этом случае инвестор выбрал «стратегию возобновления» (rollover strategy). Это означает, что он предпочитает инвестировать под 7% сейчас в ценную бумагу со сроком погашения один год, а не два года, потому что таким образом он ожидает заработать больше в конце второго года (заметьте, что $1,177 > $1,1664). Однако ожидаемая 10%-ная спот-ставка второго года не может представлять общих ожиданий на рынке. Если бы это было так, то люди не инвестировали бы деньги по двухгодовой спот-ставке, а следовали бы описанной «стратегии возобновления». Вследствие этого двухгодовая спот-ставка быстро бы поднялась, так как предложение денег для двухгодичных займов под 8% было бы меньше спроса на эти займы. С другой стороны, предложение денег для годичных займов под 7% превышало бы спрос, приводя к быстрому уменьшению годовой спот-ставки. Таким образом, рассмотренный набор спот-ставок, включающий ожидаемую спот-ставку 10%, не может соответствовать равновесной ситуации. Что произойдет, если ожидаемая в будущем году спот-ставка составит 6% вместо 10%? При такой ставке доход инвестора, выбравшего «стратегию возобновления», будет меньше, чем доход инвестора, выбравшего «стратегию покупки до погашения» ($1,1342 < $1,664). Поэтому инвестор выберет последнюю стратегию. Однако и в этой ситуации ожидаемая 6%-ная спот-ставка не может отражать общее мнение о рынке, так как в противном случае люди отказывались бы от инвестиций по годовым спот-ставкам. Раньше было показано, что форвардная ставка в этом примере равна 9,01%. Что будет, если ожидаемая величина спот-ставки будет равна форвардной ставке? В этом случае «стратегия возобновления» принесет $1,1664 ($1 х 1,07 х 1,0901) в конце второго года, т.е. ту же величину, что и «стратегия покупки до погашения». На рынке установится равновесие, так как обе стратегии могут дать одинаковый доход. Соответственно при двухгодичных инвестициях будет безразлично, какую из стратегий выбирать. Заметим, что при годовых инвестициях можно вложить $1 в годовую ценную бумагу и получить $1,07 через год. Наряду с этим можно применить «наивную стратегию» (naive strategy), в соответствии с которой двухгодовая ценная бумага покупается и продается через один год. При такой стратегии ожидаемая цена продажи через год составит $1,07 ($1,664/1,0901) при ставке 7% (стоимость к погашению такой ценной бумаги будет равна $1,1664, или $1 х 1,08 х 1,08), но так как во втором году ожидается спот-ставка 9,01%, то стоимость ценной бумаги через год вычисляется дисконтированием стоимости к погашению. Так как «стратегия покупки до погашения» и «наивная стратегия» имеют одинаковый ожидаемый доход, то с точки зрения годичной инвестиции обе стратегии равноценны. Таким образом, теория непредвзятых ожиданий утверждает, что ожидаемая будущая спот-ставка равна по величине соответствующей форвардной ставке. В рассмотренном примере текущая годовая спот-ставка равна 7%, и в соответствии с теорией общественное мнение ожидает, что через год спот-ставка станет равна 9,01%. Это ожидаемое увеличение годовой спот-ставки является причиной возрастания кривой доходности, на которой двухгодовая спот-ставка (8%) больше, чем годовая спот-ставка (7%).
Теория непредвзятых ожиданий утверждает, что в равновесии ожидаемая будущая спот-ставка равна соответствующей форвардной ставке:  (5.25)
Поэтому, заменив в уравнении (5.17) f 1,2 на es1,2, получим следующее уравнение:  (5.26)
по виду которого ясно, что доход от покупки ценной бумаги с единой спот-ставкой на весь срок инвестиции должен равняться доходу от «стратегии возобновления»6. Предыдущий пример относится к возрастающей временной зависимости, при которой чем больше срок займа, тем больше спот-ставка. Очевидно, что подобные рассуждения можно провести для убывающей временной зависимости, при которой чем больше срок займа, тем меньше спот-ставка. При возрастающей временной зависимости инвестор ожидает повышения спот-ставок в будущем, а при убывающей кривой доходности он ожидает убывания спот-ставок в будущем.
Важным вопросом, дополняющим предыдущие рассуждения, является следующий: почему инвестор ожидает, что спот-ставки в будущем будут меняться (понижаться или повышаться)? Возможный ответ на этот вопрос может быть получен из того факта, что спот-ставки, наблюдаемые на рынке, являются номинальными ставками, т.е. на спот-ставках отражаются реальные ставки без риска неплатежа и ожидаемая инфляция7. Если предположить изменение какого-либо (или обоих) из этих факторов, то соответственно можно ожидать изменения спот-ставок. Например, предположим, что реальная ставка в настоящий момент равна 3%. Если текущая годовая спот-ставка равна при этом 7%, то это означает, что общественное мнение на рынке ожидает 4%-ную инфляцию в следующем году (номинальная ставка приблизительно равна сумме реальной ставки и ожидаемой инфляции; см. уравнение (5.3)). Согласно теории непредвзятых ожиданий будущая спот-ставка равна 9,01%, что больше на 2,01% нынешней годовой 7%-ной спот-ставки. Почему же ожидается, что спот-ставка поднимется на 2,01%? Потому что ожидается рост инфляции на 2,01%. А именно, рост инфляции в ближайшие 12 месяцев приблизительно будет равен 4%, а в следующие 12 месяцев ожидается ее увеличение до 6,01%. Таким образом, двухгодовая спот-ставка (8%) больше годовой спот-ставки (7%), потому что инвесторы ожидают роста годовой спот-ставки в будущем в связи с усилением инфляции с 4% до приблизительно 6,01%. В общем, если экономические условия таковы, что текущие краткосрочные спот-ставки ненормально высоки (вследствие, скажем, относительно высокой инфляции), то по теории непредвзятых ожиданий кривая доходности должна быть убывающей (так как ожидается, что инфляция будет убывать). В противоположном случае, если экономические условия таковы, что текущие спот-ставки ненормально низки (вследствие, скажем, относительно низкой инфляции), то кривая доходности должна быть возрастающей (так как ожидается, что инфляция будет возрастать). Исторический анализ кривых доходности подтверждает, что кривые доходности были возрастающими в периоды низких процентных ставок и убывающими в периоды высоких процентных ставок. Однако анализ истории временных зависимостей сталкивается со следующей проблемой. В частности, для рассмотренной теории непредвзятых ожиданий было бы логичным предположить, что вероятность возникновения возрастающих временных зависимостей должна быть примерно равна вероятности возникновения убывающих. В действительности же возрастающие временные зависимости встречаются чаще. Теория наилучшей ликвидности предлагает объяснения этих явлений.
Например, инвестор с двухгодовым периодом инвестирования предпочтет «стратегию возобновления», потому что он хочет иметь возможность получить деньги в конце первого года. Если бы он следовал «стратегии покупки до погашения» двухгодовой ценной бумаги, то в случае необходимости он должен был бы продавать ее через год. Однако неизвестно, по какой цене он смог бы это сделать. Таким образом, «стратегия покупки до погашения» имеет элемент дополнительного риска, который отсутствует при следовании «стратегии возобновления»8. В результате инвестор с двухгодовым сроком инвестиции не будет следовать «стратегии покупки до погашения», а предпочтет «стратегию возобновления» при условии, что ожидаемые доходы по этим стратегиям будут одинаковы. Только если доход, ожидаемый по «стратегии покупки до погашения», выше, инвестор купит двухгодовую ценную бумагу. Вследствие этого заемщики должны предлагать инвестору некоторую премию за риск в форме увеличенного ожидаемого дохода для того, чтобы он был заинтересован в покупке двухгодовой ценной бумаги. Станут ли заемщики предлагать такую премию при выпуске двухгодовых ценных бумаг? Ответ: «да». Во-первых, частый выпуск новых ценных бумаг может быть дорогим из-за регистрации, рекламы и бухгалтерской работы. Эти расходы могут быть уменьшены за счет выпуска ценных бумаг на больший срок. Во-вторых, некоторые заемщики осознают, что долгосрочные ценные бумаги – менее рискованный источник займа, потому что в этом случае не придется беспокоиться о дополнительном займе по возможно более высоким процентным ставкам. Таким образом, заемщики заинтересованы в том, чтобы платить больше (посредством увеличения процентных ставок) за более долгосрочные займы. В нашем примере годовая спот-ставка была равна 7%, а двухгодовая спот-ставка -8% В соответствии с теорией наилучшей ликвидности инвестор согласится следовать «стратегии покупки до погашения» только в том случае, если ожидаемый доход от этой стратегии больше, чем ожидаемый доход от «стратегии возобновления». Это означает, что ожидаемая спот-ставка должна быть несколько меньше, чем форвардная ставка (9,01%), возможно, она составит 8,6%. В этом случае доход от инвестиции в $1 на два года составит $1,1620 ($1 х 1,07 х 1,086), если следовать «стратегии возобновления». Так как согласно «стратегии покупки до погашения» доход от инвестиции в $1 составит $1 1664 ($1 х 1,08 х 1,08), то очевидно, что «стратегия покупки до погашения» даст больший ожидаемый доход на двухлетнем интервале. Это премущество связано с большим риском изменения процентной ставки при использовании этой стратегии.
Разность между форвардной ставкой и ожидаемой будущей спот-ставкой называется премией за ликвидность (liquidity premium)9. Это «дополнительный» доход, предлагаемый инвесторам для привлечения их к покупке более рискованных долгосрочных ценных бумаг. В нашем примере премия за ликвидность была равна 0,41% (9,01% - 8,6%). В более общем виде:  (5.27)
где L1,2 - премия за ликвидность для периода, начинающегося через год и кончающегося через два года10. Как теория наилучшей ликвидности объясняет возрастание или убывание временной зависимости спот-ставок? Для ответа на этот вопрос нужно обратить внимание на то, что ожидаемый доход от $1 при использовании «стратегии возобновления» через два года будет равен $1 х (1 + s1) х (1 + es1,2). В свою очередь ожидаемый доход через два года по «стратегии покупки до погашения» будет равен $1 х (1 + s2)2. Как уже упоминалось, в соответствии с теорией наилучшей ликвидности существует больший риск при применении «стратегии покупки до погашения», вследствие чего такая стратегия должна давать больший ожидаемый доход. Следовательно, должно выполняться следующее неравенство:
или
 (5.29)
Это неравенство - ключевое для понимания того, как теория наилучшей ликвидности объясняет временную зависимость11. Убывающие кривые доходности
Сначала рассмотрим убывающую кривую доходности (s1 > s2). Неравенство, введенное выше, будет выполняться в данном случае, когда ожидаемая спот-ставка (es1,2) существенно меньше, чем текущая спот-ставка (s1)12. Таким образом, убывание кривой доходности будет наблюдаться только тогда, когда рынок ожидает существенного уменьшения процентных ставок. Предположим, например, что годовая спот-ставка (s1) равна 7%, а двухгодовая спот-ставка (s2) - 6%. Так как 7% больше 6%, то это убывающая временная зависимость. В соответствии с теорией наилучшей ликвидности из уравнения (5.29) получим:
что может быть верно только в том случае, когда ожидаемая спот-ставка (es1,2) существенно меньше 7%. При данных годовой и двухгодовой спот-ставках форвардная ставка (f1,2) равна 5,01%. Если премию за ликвидность (L1,2) сделать равной 0,41%, то из уравнения (5.27) получаем, что es1,2 равна 4,6% (5,01% - 0,41%). Таким образом, временная зависимость будет убывающей вследствие ожиданий того, что годовая 7%-ная спот-ставка в будущем будет убывать до 4,6%. Теория непредвзятых ожиданий также объясняет убывание временной зависимости тем, что предполагается убывание спот-ставки в будущем. Однако по теории непредвзятых ожиданий предсказывается падение спот-ставки до 5,01%, а не до 4,6%.
Рассмотрим постоянную кривую доходности (s1 = s2). Уравнение (5.29) будет выполняться в этом случае только при условии, что es1,2 меньше s1. Следовательно, постоянство временной зависимости будет наблюдаться только тогда, когда рынок ожидает падения процентных ставок. Предположим, что s1 = s2 = 7% и L1,2 = 0,41%, тогда f1,2 = 7% и в соответствии с уравнением (5.27) ожидаемая будущая спот-ставка равна 6,59% (7% - 0,41%), что меньше текущей 7%-ной спот-ставки. Эти выводы противоречат теории непредвзятых ожиданий, согласно которой постоянная временная зависимость означает, что рынок ожидает неизменного уровня процентной ставки. Возрастающие кривые доходности
Последнее, что осталось рассмотреть, - это возрастающие кривые доходности (s1 < s2). Если возрастание слабое, то, скорее всего, ожидается падение процентных ставок. Например, если s1 = 7% и s2 = 7,1%, то форвардная ставка равна 7,2%. Если премия за ликвидность равна 0,41%, то ожидаемая спот-ставка равна 6,79% (7,2% – 0,41%), что меньше годовой текущей 7%-ной спот-ставки. Таким образом, причиной слабого возрастания кривой доходности является ожидание рынком слабого понижения спот-ставки. Напротив, по теории непредвзятых ожиданий причиной слабого возрастания кривой доходности является ожидание слабого повышения спот-ставки. Если временная зависимость возрастает достаточно сильно, то, вероятнее всего, рынок ожидает повышения процентных ставок в будущем. Например, если s1 = 7% и s2 = 7,3%, то форвардная ставка равна 7,6%. Продолжая считать премию за ликвидность равной 0,41%, из уравнения (5.27) получаем, что рынок ожидает повышения годовой спот-ставки с 7 до 7,19% (7,6% - 0,41%). Теория непредвзятых ожиданий также объясняет это возрастание временной зависимости тем, что ожидается повышение спот-ставки, но на большую величину (до 7,6% вместо 7,19%). Сделаем основные выводы. По теории наилучшей ликвидности убывающая временная зависимость свидетельствует об ожидаемом уменьшении процентной ставки, тогда как возрастающая временная зависимость может свидетельствовать как о повышении, так и о понижении процентной ставки в прямой связи со скоростью возрастания (крутизны наклона) временной зависимости. В общем, чем круче наклон, тем вероятнее, что рынок ожидает повышения процентных ставок. Из теории наилучшей ликвидности следует, что возрастающие временные зависимости вероятнее, чем убывающие. Как уже говорилось, в ретроспективе наблюдается именно такая закономерность.
Третье объяснение поведения временной зависимости основывается на предположении о разделении, или о сегментации, рынка (market segmentation). Считается, что различные инвесторы и заемщики привязаны законами, предпочтениями или привычками к определенным срокам погашения ценных бумаг. Возможно, существует один рынок для краткосрочных ценных бумаг, другой – для ценных бумаг со средним сроком погашения и третий – для долгосрочных ценных бумаг. По теории сегментации рынка, спот-ставки определяются спросом и предложением на каждом рынке в отдельности. Более того, в наиболее строгом варианте этой теории инвесторы и заемщики не покидают свои рынки и не вторгаются в другие даже в том случае, когда текущие ставки на рынках таковы, что переход на другой рынок может привести к существенному увеличению ожидаемого дохода13. По этой теории возрастающая временная зависимость возникает, если пересечению кривых спроса и предложения для краткосрочных инвестиций соответствует меньшая процентная ставка, чем пересечению кривых спроса и предложения для долгосрочных инвестиций. Аналогично убывающая временная структура возникает, если пересечение для краткосрочных инвестиций происходит при большей процентной ставке по ним, чем по долгосрочным.
Эмпирические данные помогают лучше понять предпосылки формирования той или иной теории временной зависимости. Однако исходя из них трудно точно оценить, какая из трех теорий оказывается более точной. Теория сегментации рынка имеет относительно более слабые эмпирические подтверждения. Это вполне понятно, если предположить, что существуют инвесторы и заемщики, которые достаточно подвижны для того, чтобы перемещаться в те сегменты рынка, для которых ожидаемый доход выше. Своими действиями эти инвесторы и заемщики придают временной зависимости непрерывность, связанную с ожиданиями будущих процентных ставок. Эмпирические факты говорят в пользу того, что имеется причинно-следственная связь между ожидаемыми спот-ставками и видом временной зависимости. Эта гипотеза лежит в основе как теории непредвзятых ожиданий, так и теории наилучшей ликвидности. Но факты больше говорят в пользу последней теории, потому что премия за ликвидность существует реально14. В частности, наблюдаются возрастающие премии за ликвидность по казначейским ценным бумагам со сроком погашения приблизительно до одного года (например, L0,5; 0,75 < L0,75; 1). Однако премии за ценные бумаги сроком более одного года не превышают премии за годовые ценные бумаги. То есть инвестор требует премию за то, что он покупает годовые ценные бумаги вместо, скажем, полугодовых. При этом премия за приобретение полуторагодовой ценной бумаги не больше (хотя риск изменения процентной ставки у полуторагодовой ценной бумаги больше), чем премия за годовую ценную бумагу (L0,75; 1 = L1; 1,5). Следует быть очень осторожным при оценке величины премии за ликвидность. Без сомнения, эти премии (если они существуют) меняются со временем. Поэтому очень сложно оценить их среднюю величину, а все наблюдения должны проводиться корректно. Подведем итоги. Ожидания величины будущих спот-ставок являются очень важным фактором при определении временной зависимости. Существуют премии за ликвидность, но они не увеличиваются для сроков погашения более одного года. Это означает приблизительно одинаковую ожидаемую доходность для стратегий, связанных с годовыми ценными бумагами, и стратегий, связанных с покупкой ценных бумаг со сроком погашения более одного года. Анализ временной зависимости процентных ставок важен для определения текущего набора спот-ставок, который может быть использован для оценки любой ценной бумаги с фиксированным доходом. Этот анализ также важен тем, что он предоставляет некоторую информацию о рыночных ожиданиях будущего уровня процентных ставок.
12. Предположим, что текущая годовая спот-ставка равна 6%, а форвардные ставки через год и через два года равны соответственно:
f1,2 = 9% f2,3 = 10%
13. Предположим, что правительство выпустило три облигации. По первой выплачивается $1000 через один год, в настоящее время она продается за $909,09. По второй выплачивается $100 через один год и $1100 спустя еще год, в настоящее время она продается за $991,81. По третьей выплачивается $100 через один год, $100 - еще через год и $1100 - еще через один год. В настоящее время она продается за $997,18. а. Каковы сегодняшние коэффициенты дисконтирования для долларов, получаемых через один, два и три года? б. Каковы форвардные ставки? в. Ваш друг Хонус Вагнер предлагает вам заплатить ему $500 через один год, $600 – через два года и $700 - через три года вместо займа, который вы могли бы дать ему сегодня. Предполагая, что Хонус не подведет, как много вы согласитесь дать ему взаймы? 14. Национальный банк Mercury принимает сберегательные вклады под 6% годовых. Подсчитайте эффективную годовую процентную ставку, если банк производит начисление сложных процентов: а) раз в полгода; б) ежедневно (365 дней в году). 15. Марти Марион осуществляет трехлетнюю безрисковую инвестицию $30 000 в бумаги с фиксированным доходом. В первый год процентная ставка равна 8%, во второй - 10 и в третий - 12%. Каждая купонная выплата может быть реинвестирована по ставке, которая будет действовать в год, следующий после этой выплаты. а. Предполагая ежегодное начисление сложных процентов и выплату вложенной суммы в конце третьего года, определите, до какой величины вырастет инвестированная сумма через три года? б. Пересчитайте ваш ответ для вопроса (а), предположив, что сложные проценты начисляются каждые полгода. 16. Используя Wall Street Journal как источник данных, найдите таблицу «Treasury bonds, Notes & Bills». Найдите доходности к погашению для казначейских ценных бумаг со сроками погашения один месяц, три месяца, один год, пять лет и двадцать лет. На основе этой информации постройте кривую доходности на день публикации журнала. 17. Правда ли, что наблюдаемые убывающие кривые доходности не согласуются с теорией наилучшей ликвидности, объясняющей поведение временной зависимости процентных ставок? Объясните. 18. Предположим, что временная зависимость форвардных ставок в настоящий момент является возрастающей. Какая из облигаций будет иметь меньшую доходность к погашению: а) 15-летняя чисто дисконтная облигация или 10-летняя чисто дисконтная облигация? б) 10-летняя облигация с 5%-ными купонными выплатами или 10-летняя облигация с 6%-ными купонными выплатами? 19. Как изменятся ваши ответы на вопросы пункта 18, если структура форвардных ставок будет убывающей? 20. В этой главе были описаны три теории, объясняющие поведение временной зависимости процентных ставок. Какая из теорий, по вашему мнению, лучше объясняет соотношение спот-ставок и сроков погашения? Приведите аргументы в пользу вашего мнения. 21. Предположим, что текущие спот-ставки таковы:
Если выполняется теория непредвзятых ожиданий, то каковы должны быть доходности к погашению по чисто дисконтным облигациям со сроками погашения один год и два года через год? 22. (Вопрос к приложению.) Пересчитайте ответы к вопросам 14 и 15, предполагая, что начисление сложных процентов осуществляется непрерывным образом. 23. (Вопрос к приложению.) Определите истинную стоимость чисто дисконтной облигации с номинальной стоимостью $1000 и сроком погашения один год, предполагая 8%-ную ставку в коэффициенте дисконтирования с непрерывным начислением сложных процентов.
а. Пользуясь теорией непредвзятых ожиданий, определите форвардную ставку. Опишите, как вы будете подсчитывать форвардную ставку для казначейской облигации со сроком погашения три года через два года после 15 мая 19.. г., используя фактические данные из таблицы. б. Обсудите, как объясняется тремя описанными в главе теориями временная зависимость на 15 января 19.. г. в. Обсудите, что случилось с временной зависимостью в течение определенного периода, в частности, для казначейских облигаций со сроком погашения два года и десять лет. г. Предположим, что вы принимаете инвестиционное решение только на основе диапазона ставок, которые действовали в январе 19.. г., и ожидаете, что к маю разница между доходностью по облигациям со сроком погашения один год и двадцать пять лет установится на уровне более типичном - 170 базисных пункта (или 1,7%). Объясните, что бы вы сделали в этом случае в январе, и опишите, что случилось бы между 15 января и 15 мая. 25. а. Подсчитайте двухгодовую спот-ставку на основе данных (см. ниже) о доходности для казначейских ценных бумаг США. При вычислениях предположите, что проценты выплачиваются ежегодно. Приведите все вычисления.
б. Объясните, почему кривая для спот-ставки может быть получена из текущих значений доходности к погашению для купонных облигаций? в. Считая, что годовая спот-ставка для казначейских ценных бумаг равна 9,0%, а двухгодовая – 9,5%, подсчитайте годовую форвардную ставку для ценной бумаги со сроком погашения два года, до истечения которого остается один год. Объясните, почему годовая форвардная ставка 9,6% не может преобладать на рынке при данных спот-ставках. г. Опишите вариант практического применения понятий «спот-ставка» и «форвардная ставка».
Непрерывное начисление сложных процентов
При вычислении результата инвестирования могут использоваться различные периоды начисления сложных процентов. Например, законы могут налагать ограничения на фиксированную ставку выплат, но не налагать ограничений на периоды начисления. Такова была ситуация в начале 1975 г., когда ставка процентных выплат по займам и депозитам сроком от шести до десяти лет была ограничена на уровне 7,75% годовых. Первоначально по большинству займов и накоплений выплачивались простые проценты. При этом $1, вложенный в начале года, вырастал до $1,0775 к концу года. Позже, в целях привлечения вкладчиков, некоторые учреждения объявили, что они будут выплачивать 7,75% годовых, но производить полугодовое начисление сложных процентов по ставке 3,875% (7,75%/2). Это означает, что $1, вложенный в начале года, вырастет до $1,03875 через 6 месяцев, а еще через 6 месяцев эта величина вырастет до $1,079 ($1,03875 х 1,03875), что будет означать эффективную ставку 7,9% за год. Эта процедура не считалась нарушением закона. Вскоре другие учреждения предложили 7,75% годовых, пересчитываемых ежеквартально (т.е. 7,75%/4 = 1,938% в квартал), что означало эффективную процентную ставку 7,978% за год. Затем другие предложили пересчитывать годовую ставку 7,75% ежемесячно (7,75%/12 = 0,646% в месяц), что давало эффективную годовую ставку 8,031%. Предел был достигнут, когда одна компания предложила непрерывное начисление годовой ставки 7,75%. Если r означает годовую ставку сложных процентов (в нашем случае 7,75%), а n – количество начислений за год, то эффективная годовая ставка определяется выражением:
где re – эффективная годовая процентная ставка. Таким образом, при полугодовом начислении сложных процентов с годовой ставкой 7,75% получаем:
а при квартальном начислении: 
и т.д. По мере того как интервалы начислений уменьшаются, их число (я) увеличивается, а также увеличивается эффективная процентная ставка re. Математически доказывается, что при росте п величина [1 + (r/n)]n стремится к еr, где е - константа, равная 2,71828 с точностью до пяти знаков. В нашем примере e0,0775 = 1,0806, что означает эффективную годовую ставку 8,06%15. Может быть получена и более общая формула непрерывного начисления. Пусть при годовой ставке r при непрерывном начислении Р долларов вырастают до Ft долларов через t лет, тогда соотношение этих величин будет следующим:
Аналогично нынешняя стоимость Ft долларов, которые будут получены через t лет при непрерывном начислении с годовой ставкой r, равна: 
Таким образом, если спот-ставки выражаются как годовые ставки при непрерывном начислении сложных процентов, то коэффициенты дисконтирования dt могут быть подсчитаны следующим образом: 
Последние три формулы могут применяться при любых значениях t, включая дробные значения (например, если Ft будет получено через 2,5 года, то t = 2,5). Примечание
2 Заметьте, что, используя уравнение (5.24), мы получим ra = 1,039232 - 1 = 8%, т.е. то же значение, которое получается из уравнения (5.22). 3 Подумайте, что случится, если будет произвольно увеличиваться число периодов начисления сложных процентов в одном году так, чтобы каждый из интервалов становился очень малым. В пределе получится бесконечно большое число бесконечно малых интервалов, т.е. ситуация непрерывного начисления, которая обсуждается в Приложении. 4 Иногда кривая доходности может иметь «горбы», где она ненадолго возрастает, а затем убывает, возможно, выравниваясь между средними и большими сроками погашения. 5 Не так давно была разработана «современная теория ожиданий», которая является более логичной экономически, чем теория непредвзятых ожиданий. Однако из нее следуют выводы и объяснения поведения временной зависимости, аналогичные тем, что следовали из теории непредвзятых ожиданий. Учитывая их сходство, была приведена только теория непредвзятых ожиданий. 6 Уравнение (5.25) может быть записано в более общем виде так:  . Таким образом, используя уравнение (5.19), теория непредвзятых ожиданий утверждает, что  .
7 См. уравнения (5.1) - (5.3) и гл. 13 для выяснения природы взаимоотношений номинальных ставок, реальных ставок и уровня ожидаемой инфляции. 8 К сожалению, этот риск часто называют «риском ликвидности» (liquidity risk), тогда как по смыслу более подходит название «риск изменения процентной ставки» (price risk), потому что именно изменчивость ставок, сопутствующая долгосрочным ценным бумагам, представляет проблему для инвестора. Отчасти данный риск компенсируется риском, присутствующим при применении «стратегии возобновления» вместо «стратегии покупки до погашения», а именно риском, связанным с неопределенностью спот-ставки в конце первого года, по которой будет осуществляться дальнейшее инвестирование. Теория наилучшей ликвидности предполагает, что этот риск относительно мал и не столь важен для инвестора. 9 Иногда эту разницу называют премией за срочность (term premium). Смотрите статью Брэвфорда Корнелла «Измерение премии за срочность: практические наблюдения» (Bradford Cornell, «Measuring the Term Premium: An Empirical Note», Journal of Economics and Business, 42, no. 1 (February 1990), pp. 89-92). 10 Следует заметить, что, хотя форвардная ставка может быть определена, и ожидаемая слот-ставка, и премия за ликвидность могут оказаться неопределенными. Все, что можно сделать, – это попытаться оценить их значения. 11 Уравнение (5.27) может быть записано в более общем виде:  Таким образом, используя уравнение (5.19), теория наилучшей ликвидности утверждает, что:
Так как 
13 Более умеренная версия называется теория наилучшей среды обитания (preferred habitat theory), по которой заемщики и инвесторы могут покинуть свой сегмент рынка (определяемый сроком погашения обязательств) только при условии, что разница между доходностями в различных сегментах достаточно велика. 14 Эмпирические наблюдения не являются бесспорными. Фама утверждает, что факты не соответствуют ни теории непредвзятых ожиданий, ни теории наилучшей ликвидности, тогда как Маккалок опровергает аргументы Фамы и склоняется в пользу последней теории. См.: Eugene F. Fama, «Term Premiums in Bond Returns», Journal of financial Economics, 13, no. 4 (December 1984), pp. 529-546; J. Huston McCulloch, «The Monotonicity of the Term Premium: A Closer Look», Journal of Finacial Economics, 18, no. 1 (March 1987), pp. 185-192; «An Estimate of the Liquidity Premium», Journal of Political Economy, 83, no. 1 (February 1975), pp. 95-119; взгляды Маккалока отражены также в работе: Matthew Richardson, Paul Richardson, Tom Smith, «The Monotonicity of the Term Premium: Another Look», Journal of Financial Economics, 31 no 1 (February 1992), pp. 97-105. 15 Для подобных вычислений могут быть использованы таблицы натуральных логарифмов. Натуральный логарифм 1,0806 равен 0,0775, а антилогарифм 0,0775 равен 1,0806.
спот-ставка коэффициенты дисконтирования рыночная функция дисконтирования дисконтирование форвардная ставка начисление сложных процентов годовая процентная ставка кривая доходности временная зависимость теория непредвзятых ожиданий теория наилучшей ликвидности премия за ликвидность сегментация рынка Рекомендуемая литература
Homer Sedney, Martin L. Leibowitz, Inside the Yield Book: New Tools for Bond Market Strategy (Englewood Cliffs, NJ: Prentice Hall, 1972). Marcia Stigum, The Money Market (Homewood, IL: Business One Irwin, 3rd ed., 1990). Frank J. Fabozzi, ed.. The Handbook of Fixed-Income Securities (Homewood IL: Business One Irwin, 3rd ed., 1991).
Deborah W. Gregory, Miles Livingston, «Development of the Market for U.S. Treasury STRIPS», Financial Analysts Journal, 48, no. 2 (March/April 1992), pp. 68-74. 3. Более подробно теории временной зависимости и практика их применения отражены в работах: John Y. Wood and Norma L. Wood, Financial Markets (San Diego, CA: Harcourt Brace Jovanovich, 1985), Chapter 19. Frederic S. Mishkin, The Economics of Money, Banking, and Financial Markets (Glenview, IL: Scott, Foresman, 1989), Chapter 7. Peter A. Abken, «Innovations in Modeling the Term Structure of Interest Rates», Federal Reserve Bank of Atlanta, Economic Review, 75, no. 4 (July/August 1990), pp. 2-27. Frank J. Fabozzi and Franco Modigliani, Capital Markets: Institutions and Instruments (Englewood Cliffs, NJ: Prentice Hall, 1992), Chapter 12. Steven Russell, «Understanding the Term Structure of Interest Rates: The Expectations Theory», Federal Reserve Bank of St. Louis, Review, 74, no. 4 (July/August 1992), pp. 36-50. James C. Van Home, Financial Market Rates and Flows (Englewood Cliffs, NJ: Prentice Hall, 1994), Chapter 5.
John H. Wood and Norma L. Wood, Financial Market (San Diego, CA: Harcourt Brace Jovanovich, 1985), pp. 645-651. 5. Обсуждение теории предпочтительных условий временной зависимости процентных ставок см. в работах: Frank J. Fabozzi and Franco Modigliani, Capital Markets: Institutions and Instruments (Englewood Cliffs, NJ: Prentice Hall, 1992), pp. 387-388. James C. Van Home, Financial Market Rates and Flows (Englewood Cliffs, NJ: Prentice Hall, 1994), pp. 101, 112-113.
Richard Roll, «After-Tax Investment Results from Long-Term vs. Short-Term Discount Coupon Bonds», Financial Analysts Journal, 40, no. 1 (January/February 1984), pp. 43-54. Ricardo J. Rodriguez, «Investment Horizon, Taxes and Maturity Choice for Discount Coupon Bonds», Financial Analysts Journal, 44, no. 5 (September/October 1988), pp. 67-69.
жүктеу/скачать 7.35 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
| ||||||||||||||||||||||||||
(5.22)
(5.23)
(5.28)
(5.31)
> 0, то отсюда следует, что: